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1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积


鸡西市第十九中学高一数学组 鸡西市第十九中学学案 2015 年( )月( )日 班级 姓名 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积 学习 目标 重点 难点 1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台体的表面积的求法; 2.了解柱、锥、台体的表面积计算公式;能运用柱、锥、台的表面积公式进 行计算和解决有关实际问题;3.培养空间想象能力和思维能力. 通过经历几何体的侧面展开过程, 感知几何体的形状, 理解几何体的表面积的 推导过程, 提高空间思维能力和空间想象能力, 增强探索问题和解决问题的信 心. [问题情境] 已知 ABB1A1 是圆柱的轴截面,AA1=a,AB=b,P 是 BB1 的中点;一小虫沿圆柱的侧面 从 A1 爬到 P,如何求小虫爬过的最短路程?要解决这个问题需要将圆柱的侧面展开,本 节我们将借助几何体的侧面展开图来研究几何体的表面积. 【探究点一】棱柱、棱锥、棱台的表面积 问题 1 在初中我们已经学过正方体和长方体的表面积, 以及它们的展开图, 你知道正方 体和长方体的展开图的面积与正方体和长方体的表面积的关系吗? 问题 2 几何体的表面积等于它的展开图的面积,那么,棱柱,棱锥,棱台的侧面展开图 是怎样的?如何求棱柱,棱锥,棱台的表面积? 例 1 已知棱长为 a,各面均为等边三角形的四面体 S—ABC,求它的表面积. 小结 在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角 形中求解,为此在解此类问题时,要注意直角三角形的应用. 1 鸡西市第十九中学高一数学组 训练 1 已知棱长为 5,底面为正方形,各侧面均为正三角形的四棱锥 S—ABCD,求它 的表面积. 例 2 已知正四棱台(上、下底是正方形,上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上 底面边长为 6,高和下底面边长都是 12,求它的侧 面积. 小结 解决有关正棱台的问题时,常用两种解题思路:一是把基本量转化到直角梯形中 去解决;二是把正棱台还原成正棱锥,利用正棱锥的有关知识来解决. 训练 2 在本例中,把棱台还原成棱锥,你能利用棱锥的有关知识求解吗? 【探究点二】圆柱、圆锥、圆台的表面积的求法 问题 1 如何根据圆柱的展开图,求圆柱的表面积? 2 鸡西市第十九中学高一数学组 问题 2 如何根据圆锥的展开图,求圆锥的表面积? 问题 3 如何根据圆台的展开图,求圆台的表面积? 问题 4 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系? S 柱=2πr(r+l) S 台=π(r′2+r2+r′l+rl) S 锥=πr(r+l) 例 3 一圆台形花盆,盆口直径 20 cm,盆底直径 15 cm,底部渗水圆孔直径 1.5 cm,盆 壁长 15 cm.为美化外表而涂油漆,若每平方米用 100 毫升油漆,涂 100 个这样的花盆需 要多少油漆?(π 取 3.14,结果精确到 1 mL) 小结 解决台体的问题通常要还台为锥,求面积时要注意侧面展开图的应用,上、下底 面圆的周长是展开图的弧长. 训练 3 圆台的上、下底面半径分别为 10 cm 和 20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为 180° ,那么圆台的表面积是多少?(结果中保留 π) 解 如图所示,设圆台的上底面周长为 c,因为扇环的圆心角是 180° , 1.棱柱、棱锥、棱台是由多个 围成的多面体,它们的表面积就是各个面的面 3 鸡西市第十九中学高一数学组 积的 . 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 3.旋转体的表面积 名称 图形 、 、 . 公式 底

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