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高一数学必修2《直线、平面平行的判定及其性质》练习题


高一数学必修 2《直线、平面平行的判定及其性质》练习题
第 1 题. 已知 ? ? ? ? a , ? ? ? ? m , ? ? ? ? b ,且 m//? ,求证: a//b . 答案:证明:

? ? ? ? m? ? ? ? m//? ? ? m//a ? ? a//b . ? ? ? ? a ? 同理 ? m//b ? ? ?

?
b

?
a

?

m

第 2 题. 已知: ? ? ? ? b , a//? , a//? ,则 a 与 b 的位置关系是(



A. a//b B. a ? b C. a , b 相交但不垂直 D. a , b 异面 答案:A. 第 3 题. 如图, 已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点,E ,F 分别是 PA ,BD 上的点且 PE∶EA ? BF ∶FD ,求证: EF// 平面 PBC .

P

E
D F

C

A

B

答案:证明:连结 AF 并延长交 BC 于 M .连结 PM ,

BF MF PE BF PE MF ? ? ? ,又由已知 ,∴ . FD FA EA FD EA FA 由平面几何知识可得 EF// PM ,又 EF ? PBC , PM ? 平面 PBC , ∴ EF// 平面 PBC .
∵ AD//BC ,∴
第 4 题. 如图,长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E1F 是平面 AC1 上的线段,求证: E1 F1// 平 1 1 1 面 AC . 答案:证明:如图,分别在 AB 和 CD 上截取 AE ? A1E1 , DF ? D1F1 ,连接 EE1 , FF1 , F D
1 1

C1

A1

E1
D

1

B1
C

A

EF .

∵ 长方体 AC1 的各个面为矩形,

∴ A1E1 平行且等于 AE , D1F1 平行且等于 DF ,
故四边形 AEE1 A , DFF D1 为平行四边形. 1 1

∴ EE1 平行且等于 AA1 , FF1 平行且等于 DD1 . ∵ AA1 平行且等于 DD1 ,∴ EE1 平行且等于 FF1 ,
四边形 EFF1 E1 为平行四边形, E1F //EF . 1

∵ EF ? 平面 ABCD , E1F1 ? 平面 ABCD , ∴ E1F1// 平面 ABCD .

D1 A1

F1

C1
B1

E1
D F

C

B E ? 第 5 题. 如图, 在正方形 ABCD 中,BD 的圆心是 A , 半径为 AB ,BD 是正方形 ABCD 的
对角线,正方形以 AB 所在直线为轴旋转一周.则图中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三部分旋转所得几何体的 体积之比为 .

A

A
Ⅰ Ⅱ Ⅲ

D

B

C

答案: 1∶1∶1 第 6 题. 如图,正方形 ABCD 的边长为 13 ,平面 ABCD 外一点 P 到正方形各顶点的距离 都是 13 , M , N 分别是 PA , DB 上的点,且 PM ∶MA ? BN∶ND ? 5∶8 . (1) 求证:直线 MN// 平面 PBC ; (2) 求线段 MN 的长.

P

M
D

C
2

E

N
B

A

(1) 答案:证明:连接 AN 并延长交 BC 于 E ,连接 PE ,

BN NE ? . ND AN BN PM NE PM ∵ ? ? ,∴ . ND MA AN MA ∴ MN //PE ,又 PE ? 平面 PBC , MN ? 平面 PBC , ∴ MN// 平面 PBC . ? (2) 解:由 PB ? BC ? PC ? 13 ,得 ?PBC ? 60 ; BE BN 5 5 65 ? ? ,知 BE ? ? 13 ? 由 , AD ND 8 8 8 91 8 PE ? 7 . 由余弦定理可得 PE ? ,∴ MN ? 8 13 第 7 题. 如图,已知 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M 为 PB 的中点, 求证: PD// 平面 MAC . P
则由 AD//BC ,得

M B
A

C
D
答 案 : 证 明 : 连 接 AC 、 BD 交 点 为 O , 连 接 MO , 则 MO 为 △BDP 的 中 位 线 ,

∴ PD//MO . ∵ PD ? 平面 MAC , MO ? 平面 MAC ,∴ PD// 平面 MAC . P

M

B A

C

O
D

第 8 题. 如图,在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E ,F 分别是棱 BC ,C1 D1 的中点,求证: 1

EF// 平面 BB1D1D .

D1 A1

F

C1
B1

3

D

C
E B

A

答案:证明:如图,取 D1 B1 的中点 O ,连接 OF , OB ,

1 1 ∵ OF 平行且等于 B1C1 , BE 平行且等于 B1C1 , 2 2 ∴ OF 平行且等于 BE ,则 OFEB 为平行四边形, ∴ EF // BO .
∵ EF ? 平面 BB1D1D , BO ? 平面 BB1D1D ,
∴ EF// 平面 BB1D1D .

D1 A1
O

F

C1
B1

D

C
B E

A

第 9 题. 如图,在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中,试作出过 AC 且与直线 D1B 平行的截面, 1 并说明理由.

D1 A1 B1

C1

D

C
B

A
答案: 如图, 解: 连接 DB 交 AC 于点 O , D1 D 的中点 M , 取 连接 MA ,MC , 则截面 MAC 即为所求作的截面.

D1 A1
M
D

C1
B1

C
O
B

A

∵ MO 为 △D1DB 的中位线,∴ D1B//MO .

∵ D1B ? 平面 MAC , MO ? 平面 MAC ,
4

∴ D1B// 平面 MAC ,则截面 MAC 为过 AC 且与直线 D1B 平行的截面.
第 10 题. 设 a , b 是异面直线, a ? 平面 ? ,则过 b 与 ? 平行的平面( A.不存在 B.有 1 个 C.可能不存在也可能有 1 个 D.有 2 个以上 答案:C. )

第 11 题. 如图,在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中,求证:平面 A1BD// 平面 CD1B1 . 1

D1 A1

C1
B1

C
A
答案:证明: ?

D

B

? B1B ∥ A1 A ? ? B1B ∥D1D A1 A ∥D1D ? ?

? 四边形 BB1D1D 是平行四边形
? D1 B1//DB ? ? ? DB ? 平面A1 BD ? D B ? 平面A BD 1 ? 1 1 ? D1 B1//平面A1 BD ? ? ?同理B1C //平面A1 BD ?D B ? B C ? B 1 1 ? 1 1

? 平面B1CD1//平面A1BD .
第 12 题. 如图, M 、 N 、 P 分别为空间四边形 ABCD 的边 AB , BC , CD 上的点,且 AM ∶MB ? CN∶NB ? CP∶PD . 求证: (1) AC// 平面 MNP , BD// 平面 MNP ; (2)平面 MNP 与平面 ACD 的交线 //AC .

A

M B

E
D

N
C

P

5

答案:证明: (1)

AM CN ? ? ? MN //AC ? MB NB ? AC ? 平面MNP ? ? AC //平面MNP . ? MN ? 平面MNP ? ? CN CP ? ? ? PN //BD ? NB PD ? BD ? 平面MNP ? BD//平面MNP . ? PN ? 平面MNP ? ?
(2)

设平面MNP ? 平面ACD ? PE ? ? AC ? 平面ACD ? ? PE //AC, ? AC //平面MNP ?
即平面MNP与平面ACD的交线//AC .
第 13 题. 如图,线段 AB , CD 所在直线是异面直 线, E , F ,G , H 分别是线段 AC ,CB , BD , DA 的中点. (1) 求证: EFGH 共面且 AB ∥ 面 EFGH , CD ∥ 面 EFGH ; (2) 设 P ,Q 分别是 AB 和 CD 上任意一点,求

A

E M P

H

C

D

Q
F

N
G
B

证: PQ 被平面 EFGH 平分.

答案:证明: (1)∵ E , F , G , H 分别是 AC , CB , BD , DA 的中点. ,

∴ EH //CD , FG//CD ,∴ EH //FG .因此, E , F , G , H 共面. ∵ CD//EH , CD ? 平面 EFGH , EH ? 平面 EFGH , ∴ CD// 平面 EFGH .同理 AB// 平面 EFGH .
(2)设 PQ ? 平面 EFGH = N ,连接 PC ,设 PC ? EF ? M .

△PCQ 所在平面 ? 平面 EFGH = MN ,

∵CQ// 平面 EFGH , CQ ? 平面 PCQ ,∴CQ//MN .
∵ EF 是 △ ABC 是的中位线, ∴ M 是 PC 的中点,则 N 是 PQ 的中点,即 PQ 被平面 EFGH 平分.

6

第 14 题. 过平面 ? 外的直线 l ,作一组平面与 ? 相交,如果所得的交线为 a , b , c ,…, 则这些交线的位置关系为( ) A.都平行 B.都相交且一定交于同一点 C.都相交但不一定交于同一点 D.都平行或都交于同一点 答案:D. 第 15 题. a , b 是两条异面直线, A 是不在 a , b 上的点,则下列结论成立的是( ) A.过 A 且平行于 a 和 b 的平面可能不存在 B.过 A 有且只有一个平面平行于 a 和 b C.过 A 至少有一个平面平行于 a 和 b D.过 A 有无数个平面平行于 a 和 b 答案:A. 第 16 题. 若空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC ,BD 的长分别是 8, 过 AB 的中点 E 12, 且平行于 BD 、 AC 的截面四边形的周长为 . 答案:20. 第 17 题. 在空间四边形 ABCD 中, E , F , G , H 分别为 AB , BC , CD , DA 上的 一点, EFGH 为菱形, AC// 平面 EFGH ,BD// 平面 EFGH ,AC ? m ,BD ? n , 且 若 则 AE:BE ? . 答案: m∶n . ? 第 18 题. 如图,空间四边形 ABCD 的对棱 AD 、 BC 成 60 的角,且 AD ? BC ? a ,平行 于 AD 与 BC 的截面分别交 AB 、 AC 、 CD 、 BD 于 E 、 F 、 G 、 H . (1)求证:四边形 EGFH 为平行四边形; (2) E 在 AB 的何处时截面 EGFH 的面积最大?最大面积是多少?

A E
F

B

H

D

G
答案: (1)证明:∵ BC // 平面 EFGH , BC ? 平面 ABC , 平面 ABC ? 平面 EFGH ? EF ,

C

∴ BC//EF .同理 BC//GH , ∴ EF //GH ,同理 EH //FG , ∴ 四边形 EGFH 为平行四边形. ? (2)解:∵ AD 与 BC 成 60 角,
∴ ?HGF ? 60 或 120 ,设 AE : AB ? x ,∵ ? ?

EF AE ? ? x, BC AB

BC ? a ,∴ EF ? ax ,由
得 EH ? a(1 ? x) .

EH BE ? ? 1? x , AD AB

7

∴ S四边形EFGH ? EF ? EH ? sin 60 ?

? ax ? a(1 ? x) ?

3 2

?

3 2 3 2? 1 1? a (? x 2 ? x) ? a ??( x ? )2 ? ? . 2 2 2 4? ?
1 3 2 时, S最大值 ? a , 2 8

当x?

即当 E 为 AB 的中点时,截面的面积最大,最大面积为

3 2 a . 8

第 19 题. P 为 △ ABC 所在平面外一点,平面 ? // 平面 ABC , ? 交线段 PA , PB , PC 于 A'B'C' , PA'∶A'A ? 2∶3 ,则 S△AB'C' ∶S△ABC ? ' .

答案: 4∶25 第 20 题. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 是平行四边形,M ,N 分别是 AB ,PC 的中点. 求证: MN// 平面 PAD .

P

P

N N
D D

C
A

E

C

A M B
答案:证明:如图,取 CD 的中点 E ,连接 NE , ME ∵ M , N 分别是 AB , PC 的中点,

M

B

∴ NE//PD , ME//AD , 可证明 NE// 平面 PAD , ME// 平面 PAD . 又 NE ? ME ? E , ∴ 平面 MNE// 平面 PAD , 又 MN ? 平面 MNE ,∴ MN// 平面 PAD .

8

第 21 题. 已知平面 ? // 平面 ? , AB , CD 是夹在两平行平面间的两条线段, A , C 在 ? 内, B , C 在 ? 内,点 E , F 分别在 AB , CD 上,且 AE∶EB ? CF∶FD ? m∶n . 求证: EF// 平面 ? . 答案:证明:分 AB , CD 是异面、共面两种情况讨论. (1) 当 AB , CD 共面时,如图( a )

∵? //? ,∴ AC//BD ,连接 E , F .
∵ AE∶EB ? CF∶FD ,∴ EF //AC//BD 且 EF ? ? , AC ? ? ,∴ EF// 平面 ? .

A

C

?

E

F D ?
图( a )

B

A

C

?

G
E
H
B

F D ?
图( b )

(2) 当 AB , CD 异面时,如图( b ) ,过点 A 作 AH //CD 交 ? 于点 H .
∶ 在 H 上 取 点 G , 使 AG∶ GH ? m n, 连 接 EF , 由 ( 1 ) 证 明 可 得 GF// HD , 又

AG∶ GH ? AE EB EG//BH .∴ 平面 EFG// 平面 ? // 平面 ? . ∶ 得
又 EF ? 面 EFG ,∴ EF// 平面 ? .

9

第 22 题. 已知 ? ? ? ? a , ? ? ? ? m , ? ? ? ? b ,且 m//? ,求证: a//b .

答案:证明:

? ? ? ? m? ? ? ? m//? ? ? m//a ? ? a//b . ? 同理 ? m//b ? ? ?? ?a ? ?

?
b

?
a

?

m

第 23 题. 三棱锥 A ? BCD 中, AB ? CD ? a ,截面 MNPQ 与 AB 、 CD 都平行,则截面

MNPQ 的周长是(
A. 4a C. B. 2a

) .

3a 2

D.周长与截面的位置有关

答案:B.

第 24 题. 已知: ? ? ? ? b , a//? , a//? ,则 a 与 b 的位置关系是( A. a//b C. a 、 b 相交但不垂直 答案:A. B. a ? b D. a 、 b 异面

) .

第 25 题. 如图, 已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点,E 、F 分别是 PA 、BD
10

上的点且 PE : EA ? BF : FD ,求证: EF// 平面 PBC .

P
E
D

C
A
F

B

答案:证明:连结 AF 并延长交 BC 于 M . 连结 PM ,

BF MF ? , FD FA PE BF PE MF ? ? 又由已知 ,∴ . EA FD EA FA 由平面几何知识可得 EF// PM , 又 EF ? PBC , PM ? 平面 PBC , ∴ EF// 平面 PBC .
∵ AD//BC ,∴

第 26 题. 如图,长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E1F 是平面 AC1 上的线段,求证: E1 F1// 1 1 1 平面 ABCD .

D1 A1

F1

C1
B1
C
B

E1
D

A

答案:证明:如图,分别在 AB 和 CD 上截得 AE ? A1E1 , DF ? D1F1 ,连接 EE1 , FF1 ,

EF .

∵ 长方体 AC1 的各个面为矩形,

∴ EE1 平行且等于 AA1 , FF1 平行且等于 DD1 . ∵ AA1 平行且等于 DD1 ,∴ EE1 平行且等于 FF1 ,
四边形 EFF1 E1 为平行四边形,

E1F1//EF .
11

∵ EF ? 平面 ABCD , E1F1 ? 平面 ABCD , ∴ E1F1// 平面 ABCD .

D1 A1

F1

C1
B1

E1
D F

C
B

A

E

第 27 题. 已知正方体 ABCD ? A B1C1D1 , 1 求证:平面 AB1D1// 平面 C1BD .

D1 A1 B1

C1

D

C
B

A

答案:证明:因为 ABCD ? A B1C1D1 为正方体, 1 所以 D1C1//A B1 , D1C1 ? A B1 . 1 1 又 AB//A B1 , AB ? A1B1 , 1 所以 D1C1//AB , D1C1 ? AB , 所以 D1C1BA 为平行四边形. 所以 D1 A//C1B .由直线与平面平行的判定定理得

D1 A// 平面 C1BD .

12

同理 D1 B1// 平面 C1BD ,又 D1 A ? D1B1 ? D1 , 所以,平面 AB1D1// 平面 C1BD .

第 28 题. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也平行于这 个平面. 如图,已知直线 a , b 平面 ? ,且 a//b , a//? , a , b 都在 ? 外. 求证: b//? .

?

a

b

?

c

答案:证明:过 a 作平面 ? ,使它与平面 ? 相交,交线为 c . 因为 a//? , a ? ? , ? ? ? ? c , 所以 a//c . 因为 a//b , 所以 b//c . 又因为 c ? ? , b ? ? , 所以 b//? .

第 29 题. 如图,直线 AA' , BB' , CC' 相交于 O , AO ? A'O , BO ? B'O , CO ? C'O . 求证: ABC// 平面 A'B'C' .

C'
B' A'

O
A
13

B

C

' ' 答案:提示:容易证明 AB//AB' , AC//AC' . 进而可证平面 ABC// 平面 A'B'C' .

第 30 题. 直线 a 与平面 ? 平行的充要条件是( A.直线 a 与平面 ? 内的一条直线平行 B.直线 a 与平面 ? 内两条直线不相交 C.直线 a 与平面 ? 内的任一条直线都不相交 D.直线 a 与平面 ? 内的无数条直线平行 答案:C.



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