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数列求和教案

数列求和
数列求和常见的几种方法: (1) 公式法:① 等差(比)数列的前 n 项和公式; ② 自然数的乘方和公式: 1 ? 2 ? 3 ? ...... ? n ?

(2) 拆项重组:适用于数列 自然数的乘方;

?an ? 的通项公式 an ? bn ? cn ,其中 ?bn ? 、?cn ? 为等差数列或者等比数列或者 ?an ? 的通项公式 an ? bn ? cn ,其中 ?bn ? 为等差数列, ?cn ? 为等比数列; ?an ? 的通项公式: an ? n(n ? 1) , an ? n(n ? k ) (其中 k 为常数)型;
k 1

1 n(n ? 1) 2 1 12 ? 22 ? 32 ? . . . .? n . . 2 ? n n (? 6

1 n) (? 2

1)

(3) 错位相减:适用于数列 (4) 裂项相消:适用于数列

(5) 倒序相加:根据有些数列的特点,将其倒写后与原数列相加,以达到求和的目的. (6) 分段求和:数列 二、例题讲解 例 1、 (拆项重组)求和: 3

?an ? 的通项公式为分段形式

1 1 1 1 ? 5 ? 7 ? ...... ? [(2n ? 1) ? n ] 2 4 8 2

练习 1:求和 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ...... ? n(n ? 1)

例 2、 (裂项相消)求数列

1 1 1 1 1 , , , ,..., 的前 n 项和 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9 (2n ? 1)(2n ? 1)

练习 2:求 S n ? 1 ?

1 1 1 1 ? ? ? ... ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n

1

例 3、 (错位相减)求和:

1 4 7 3n ? 2 ? 2 ? 3 ? ... ? 2 2 2 2n

练习 3:求 Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ? 4x3 ? ... ? nxn?1 ( x ? 0)

例 4、 (倒序相加)设 求: f (

4x f ( x) ? x ,利用课本中推导等差数列前 n 项和的方法, 4 ?2

1 2 3 1000 )? f ( )? f ( ) ? ... ? f ( ) 的值 1001 1001 1001 1001

例 5、已知数列 求数列

?an ? 的通项公式为 an ? ?2n ? 3(n ? 5) (n ? N * )
?

?3n ? 2(n ? 4)

?an ? 的前 n 项和 Sn

2

检测题 1.设 f (n) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2
4 7 10

) (n ? N ) ,则 f (n) 等于( 2 n 2 n ?1 2 n ?3 2 n?4 A. (8 ? 1) B. (8 ? 1) C. (8 ? 1) D. (8 ? 1) 7 7 7 7 1 2.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an ? ,则 S5 等于( ) n(n ? 1) 5 1 1 A.1 B. C. D. 6 6 30 3.设 {an } 是公比大于 1 的等比数列,Sn 为数列 {an } 的前 n 项和. 已知 S3 ? 7 , 且 a1 ? 3, 3a2,a3 ? 4 构成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式. (2)令 bn ? ln
a3 n?1

3n?10

,n ? 1 , 2,, ... 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。

4. 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? … ? 3
2

n ?1

an ?

n * ,a?N . 3

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)设 bn ?

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn an

5.求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

6:求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

7:数列{an}的前 n 项和 S n ? 2an ? 1 ,数列{bn}满 b1 ? 3, bn?1 ? an ? bn (n ? N ? ) . (Ⅰ )证明数列{an}为等比数列;(Ⅱ )求数列{bn}的前 n 项和 Tn。

4 , 6 8: 求数列 2 ,

1 4

1 8

1 1 ,, 2n ? n ?1 , ... 的前 n 项和 Sn . 16 2


3

9、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ... ? ? ?1 ?

n ?1

? n ,求 S100 .

10:在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值.

11:求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

12:求 S ? 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ... ? (?1)n?1 n2 ( n ? N? )

2x 2x ? 2 (1)证明: f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? 1;
13:已知函数 f ? x ? ? (2)求 f ? .

?1? ?? ? 10 ?

? 2? f ? ?? ? 10 ?

? 8? ? f ? ?? ? 10 ?

? 9? f ? ? 的值。 ? 10 ?

4


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