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14.3《空间直线和平面的位置关系》教案(2)(沪教版高三上)教师版


中小学 1 对 1 课外辅导专家

空 间 直 线 和 平 面的 位 置 关 系

运动员起跑时,腿部与地面给你怎样一种形象?运动员投出的标枪落地以后,标枪一定会垂 直地面吗?大都是怎样的状态?

[说明] 运动员投出的标枪落地以后,大多是插在地面上的,它们的状态有时“偏陡”些, 有时“偏平”些,如何描述标枪落地时“偏陡”或“偏平”的程度呢?这就涉及到标枪所在 的直线与地面所成角的大小了,这节课我们要研究直线与平面所成的角 二、学习新课 问题 1: 前面我们学习了直线与平面垂直, (1) 这其实是直线和平面相交的一种特殊情况, 我们对它的研究,是将其转化为考察直线和平面内直线的位置关系来进行的,它体现了什么 数学思想方法? (2)类比上述数学思想方法,我们该如何刻画一条直线与一个平面所成的角呢? [说明] 引导学生回顾直线与平面垂直的位置关系研究中体现的“平面化、降维”的数学 思想方法,通过对已学知识与思想方法的回忆,寻找新知识的“生长点”,同时渗透类比的 数学思想方法.

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 定义:

1.平面的斜线

当直线 l 与平面 ? 相交且不垂直时,叫做直线 l 与平面 ? 斜交, l 叫做平面 ? 的斜线. 斜线 l 与平面 ? 的交点 M 叫做斜足,斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的 斜线段.如图 14—22 2.射影 如图 14—22,设直线 l 与平面 ? 斜交于点 M ,过 l 上任意点

A ,作平面 ? 的垂线,

垂足为 O ,我们把点 O 叫做点 A 在平面 ? 上的射影,直线 OM 叫做直线 l 在平面 ? 上的 射影, 3.直线和平面所成角 规定直线 l 与其平面 ? 上的射影 OM 所成的锐角叫做直线 l 与平面 ? 所成的角. 我们规定,当直线 l 与平面 ? 垂直时,它们所成的角等于 90? ; 若直线 l 与平面 ? 平行或直线 l 在平面 ? 上时,它们所成的角为 0? ;

A

[说明]教师边画出课本图形 14-22,边讲解. 点 O—点 A 在平面 ? 上的射影 AO—点 A 到平面的垂线段

?

O

M

图 14—22

直线 AM—平面的一条斜线

M—斜足

线段 AM—斜线段

直线 OM—斜线 AM 在平面上的射影 线段 OM—斜线段 AM 在平面 ? 上的射影

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 问题 2: 1.直线 l 与平面 ? 所成的角的大小与点 A 在 l 上的取法有关吗? 2.直线和平面所成角的范围是多少? 3.证明: PQ 与平面 ? 内经过点 Q 的直线所成的所有角中, ?PQP 最小. 1 [说明] 直线 l 与平面 ? 所成的角的大小与点 A 在 l 上的取法无关;直线和平面所成角的范围 是 [0,

?

] ;斜线和平面所成角的范围是 (0, ) 2 2

?

2.例题分析 例 1.已知正方体 ABCD ?

A1 B1C1 D1 中的棱长为 a ,

(1) 求直线 AB1 和平面 A B1C1 D1 所成的角; 1 (2)求直线 DB1 和平面 A B1C1 D1 所成的角; 1 (3)求直线 A1 B 和平面 A B1CD 所成的角 1 解: (1) 45 ; (2) arcsin
0

3 0 ; (3) 30 . 3

[说明] 通过本例熟练掌握正方体的棱与面、对角线与面的关系,掌握求平面的斜线与平面所 成角的其本步骤: “一找二证三求” ,三步都必须要清楚地写出来. 例 2.如图, ∠BOC 在α 内,OA 是α 的斜线, ∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC=a,求:OA 和平面α 所成角的大小

A C

分析:此题关键是确定 A 在 ? 内的射影. 在本例中,可直接作 AH 在 ? 内的射影. 也可过 A 作 AH

B

O

? BC 于 H ,进而证明 AH ? 平面? ,从而确认 H 是 A

? 平面? 于 H ,进而证明 H 在 BC 上.
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中小学 1 对 1 课外辅导专家 可求得 OA 和平面α 所成角的大小为 45 . [说明]正确确定点在平面上的射影的位置,是求直线与平面所成角的关键,只有确定了射影 的位置,才能将空间问题顺利地转化为平面的问题. 确定点在平面上的射影位置有以下几种方法: (1) 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上; (2) 利用已知的垂直关系得出线面垂直,确定射影. 例 3.在例 1 的正方体 ABCD ? 求 BD1 和平面 DMN 所成的角. 分析:在本例中仍可“一找二证三求”来求 BD1 和平面 DMN 所成的角.但 BD1 是正方体 的体对角线,而平面
0

A1 B1C1 D1 中,若 M , N

分别是 AD1 , CD1 , 的中点,

DMN 是 正 方 体 的 面 对 角 线 所 在 的 面 , 因 此 可 以 通 过 证 明

BD1 ? DMN 来说明 BD1 和平面 DMN 所成的角为 900 .
[说明] 直线和平面所成的角,包括直线和平面垂直,直线和平面平行或在平面内,即 90 角 和 0 角情况,所以求直线和平面所成角时,可先看是否是以上两种特例. 3.问题拓展 例 4.如图,已知 ?BAC 在平面 ? 内, P ? ? , ?PAB ? ?PAC , 求证:点 P 在平面 ? 上的射影在 ?BAC 的平分线上. 证明:作 PO ? ? , PE ? AB, PF ? AC ,垂足分别为 O, E, F ,连结 OE , OF , OA ,
0 0

? PE ? AB, PF ? AC ? ? Rt ?PAE ? Rt ?PAF ? AE ? AF P ∵ ??PAE ? ?PAF , ? PA ? PA ?

? PO ? ? ? AB ? PO , ? ? AB ? ?

E

B

?

A

O C F

又∵ AB ? PE ,∴ AB ? 平面 PEO ,∴ AB ? OE .同理 AC ? OF . 在 Rt ?AOE 和 Rt ?AOF , AE ? AF , OA ? OA , ∴ Rt ?AOE ? Rt ?AOF ,∴ ?EAO ? ?FAO , 精锐教育网站: www.1smart.org 空间直线和平面的位置关系——线面斜交作者: 李忠华 -4-/8

中小学 1 对 1 课外辅导专家 即点 P 在平面 ? 上的射影在 ?BAC 的平分线上. [说明] 本题给出了一个很重要的结论:平面的一条斜线,如果和这个平面内斜线为顶点的 角的两边成等角,那么这条斜线在这个平面上的射影是这个角的平分线所在的直线,这个结 论在解答一些问题时常常用到,如前面的例 2. 三、巩固练习 练习:1.如图,已知六边形 ABCDEF 是边长为 a 的正六边形,PA 垂直于六边形 ABCDEF 所在 的平面 M,并且 PA=a,求点 P 与正六边形各顶点连线和平面 M 所成的角

P

F A B
四、课堂小结 求直线与平面所成角解题的一般步骤是:

E D C

(1)找出这个角; (2)证明该角符合题意; (3)作出这个角所在的三角形,解三角形,求出 角;求角度问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角的问题,即在线线成角中找到答案.

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 五、作业布置 1.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.

2.A 是△BCD 所在平面外的点,∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°,AB=3,AC=AD=2. (1)求证:AB⊥CD; (2)求 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值. [说明] 通过作业进一步掌握求直线和平面所成角的基本步骤.掌握确定点在平面上的射影的 方法. 六、教学设计说明

直线与平面所成的角,是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关 系进行定量分析的一个重要概念. 研究时要分清:斜线、垂线、直线,因此涉及的概念较多,为了便于学生理解记忆,要 注意边讲边画图,并在图上注出有关概念的名称. 为了更好的理解直线与平面所成的角的概念,引导学生回顾直线与平面垂直的位置关系 研究中体现的“平面化、降维”的数学思想方法,通过对已学知识与思想方法的回忆,寻找 新知识的“生长点”,同时渗透类比的数学思想方法. 接着通过例 1,掌握求直线和平面所成的角的常用方法: 射影转化法.具体步骤如下:①找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连结垂足和斜足,得出 斜线在平面的射影,确定出所求的角;③把该角置于三角形中计算. 通过例 2,了解正确确定点在平面上的射影的位置,是求直线与平面所成角的关键,只有确 定了射影的位置,才能将空间问题顺利地转化为平面的问题.而确定点在平面上的射影位置有 以下几种方法: (1) 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上;

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 (2) 利用已知的垂直关系得出线面垂直,确定射影. 通过例 3,对直线与平面所成的角的范围更准确、全面的理解. 通过例 4,了解一个很重要的结论:平面的一条斜线,如果和这个平面内斜线为顶点的角 的两边成等角,那么这条斜线在这个平面上的射影是这个角的平分线所在的直线,这个结论 在解答一些问题时常常用到. 总之,对于直线与平面所成的角的计算,总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的 角,并把它置于一个平面图形,而且是一个三角形的内角来解决,而这种转化就是利用直线 与平面的平行与垂直来实现的,因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应 用.通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力.

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