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山东省临沂市2013届高三5月高考模拟考试文科数学试题(解析版)


山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟考试文科数学试题 (解析版)
2013.5 本试卷分为选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区 和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使 用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷

(选择题共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设 z ? 1 ? i (i 是虚数单位) ,则 (A) 1 ? i 【答案】A (B) ? 1 ? i

2 2 ? z 等于 z
(C) ?i (D) ? 1 ? i

2 2 2 2(1 ? i) 2(1 ? i) ?z ? ? (1 ? i)2 ? ? 2i ? ? 2i ? 1 ? i ? 2i ? 1 ? i ,所以选 A. z 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2
2.已知集合 A ? y y≥0 ,A ? B=B, 则集合 B 可能是 ∣

?

?

∣ (A) y y = ?

?

x,x≥0

?

?1? (B) ? y y = ? ? ,x ? R? ∣ ?2?
(D)R
x

x

(C) y y=ln x,x> ∣ 0 【答案】B

?

?

?1? 因为 A ? B =B, 所以 B ? A ,因为 ? y y = ? ? ,x ? R? ? { y y ? 0} ,所以选 B. ∣ ?2?
( +? 上单调递增的函数是 3.下列函数中既是偶函数,又在区间 0, )
(A) y ? x (B) y ? |x| ? 1 (C) y ? ? x ? 1 (D) y ? 2 【答案】B ( +? 上单调递减,不成立。D 为非奇非偶函数,不 因为 A 是奇函数,所以不成立。C 在 0, ) 成立,所以选 B.
3 2 x

4.某班共有 52 人,现根据学生的学号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本,已 知 3 号、29 号、42 号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的学号是 (A)10 【答案】D (B)11 (C)12 (D)16

因为 29 号、42 号的号码差为 13,所以 3 ? 13 ? 16 ,即另外一个同学的学号是 16,选 D. 5.将函数 y ? sin x 的图象向右平移 象对应的解析式为 (A) y ? 1 ? sin x 【答案】C (B) y ? 1 ? sin x (C) y ? 1 ? cos x (D) y ? 1 ? cos x

π 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,则所得的图 2

函数 y ? sin x 的图象向右平移 个单位长度,得到 y ? sin( x ?

?

π ? 个单位长度,得到函数为 y ? sin( x ? ) ,再向上平移 1 2 2 2 ) ? 1 ? 1 ? cos x ,选 C.

6.曲线 y ? e x 在点 A 处的切线与直线 x ? y ? 3 ? 0 平行,则点 A 的坐标为 (A) ?1, e 【答案】B

?

?1

?

(B) ? 0,1?

(C) ?1,e ?

(D) ? 0, 2 ?

直线 x ? y ? 3 ? 0 的斜率为 1,所以切线的斜率为 1,因为 y ' ? e x ,所以由 y ' ? e x ? 1 ,解 得 x ? 0 ,此时 y ? e0 ? 1 ,即点 A 的坐标为 ? 0,1? ,选 B. 7 . 阅 读 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 若 输 入 变 量 n 为 100 , 则 输 出 变 量 S 为

(A)2500 【答案】B

(B)2550

(C)2600

(D)2650

由程序可知,所求的变量 S ? 100 ? 98 ? ? ? 2 ,即 S ?

50(100 ? 2) ? 2550 ,选 B. 2

8.给出如下四个命题: ①若“p∧q”为假命题,则 p,q 均为假命题; ②命题“若 a> b ,则 2a>2b ? 1 ”的否命题为“若 a≤ b ,则 2a ≤2b ? 1 ”; ③命题“任意 x ? R, x ? 1 0 ”的否定是“存在 x0 ? R, x02 ? 1 0 ”; ≥ <
2

④在△ABC 中,“ A>B ”是“ sin A>sin B ”的充要条件. 其中不正确命题的个数是 ... (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 【答案】D ①若“p∧q”为假命题,则 p,q 至少有一个为假命题,所以①错误。②③正确。④在三角

形中,如 A>B ,则 a ? b ,由正弦定理得 所以其中不正确命题的个数是 1 个,选 D. ...

a b ? ,所以 sin A ? sin B ,所以④正确。 sin A sin B

9.设第一象限内的点( x, y )满足 ? 最大值是 4,则 (A)3 【答案】B

?2 x ? y ? 4 ≤ 0, 若目标函数 z ? ax ? by( a>0, b 0) 的 > ? x ? y ≥ 0,

1 1 ? 的最小值为 a b
(B)4 (C)8 (D)9

a z a z x ? ,平移直线 y ? ? x ? ,由 b b b b a z a z 图象可知,当直线 y ? ? x ? 经过点 A 时,直线 y ? ? x ? 的截距最大,此时 z 最大 b b b b
作出可行域如图,由 z ? ax ? by(a>0, b>0) 得 y ? ? 为 4.由 ?

?2 x ? y ? 4 = 0, ? x ? 4 , 4 得? , A4 即 () y?4 x ? y = 0, ? ?

, 代入 z ? ax ? by 得 4a ? 4b ? 4 , a ? b ? 1 。 即

所以

1 1 1 1 b a b a ? ? ( ? )a ? b ?) ? 2 ? ? ? 2 ? ? ( 2 a b a b a b a b

,当且仅当 4

b a ? ,即 a b

a 2 ? b2 , a ? b ?

1 1 1 时,取等号,所以 ? 的最小值为 4,选 B. 2 a b

10.函数 y ? ln sin x (? <x<π, 且x ? 0) 的图象大致是 ∣ ∣π

(A) 【答案】C

(B)

(C)

(D)

因为 sin x ? 1且 sin x ? 0 ,所以 ln sin x ? 0 ,所以选 C. 11.多面体 MN-ABCD 的底面 ABCD 为矩形,其正(主)视图和侧(左)视图如图,其中正 (主)视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则 AM 的长

(A) 3 【答案】C

(B) 5

(C) 6

(D) 2 2

,由正视图可知 MN ? 2, EF ? 4 ,由侧视图可知多面体的高 为 2 ,

BC ? 2

.





FK ? 1

,

MF ? 22 ?12 ? 5







AM ? MF 2 ? AF 2 ? ( 5) 2 ? 12 ? 6 ,选 C.
12.已知 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6 x ? abc, a ? b ? c, 且f (a ) ? f (b) ? f (c) ? 0 ,现给出如下 2 0 0 0 结论:① f (0) f (1)>0 ;② f (0) f(1) < ;③ f (0) f(2) > ;④ f (0) f(2) < .其中正
确结论的序号为: (B)①④ (C)②④ (D)②③

(A)①③ 【答案】D

函数的导数为 f '( x) ? 3x ? 9 x ? 6 ? 3( x ? 3x ? 2) ? 3( x ?1)( x ? 2) 。则函数在 x ? 1 处取
2 2

得极大值,在 x ? 2 处取得极小值,因为 f (a) ? f (b) ? f (c) ? 0 ,所以函数有 3 个零点,

9 ? ? f (1) ? 1 ? 2 ? 6 ? abc ? 0 ? 则 f (1) ? 0, f (2) ? 0 , 即 ? ,解得 ? f (2) ? 23 ? 9 ? 22 ? 6 ? 2 ? abc ? 0 ? ? 2
2 ? abc ?

5 ? ?abc ? 2 ,即 ? ?abc ? 2 ?

5 < , , 所 以 f (0) ? ?abc ? 0 , 所 以 f ( 0)f (1) 0 f (0) f (2)>0 . 所 以 选 D. 2

2013 年高考模拟试题

文科数学
2013.5

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案填写在答题纸给定的横线 上. 2 2 2 13.若△ABC 的边 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 4, C=60°,则 ab 的值为 且 . 【答案】4 由余弦定理得 cos C ?

1 4 a 2 ? b2 ? c 2 ,即 ? ,解得 ab ? 4 。 2 2ab 2ab

14.已知圆 C: x2 ? y 2 ? 18 ,直线 l: 4 x ? 3 y ? 25, 则圆 C 上任一点到直线 l 的距离小 于 2 的概率为 . 【答案】

1 4

圆的半径为 OC ? 3 2 ,圆心到直线的距离 d ?

25 32 ? 42

?

25 ? 5 ,要使圆 C 上任一点到 5

直线 l 的距离小于 2,则此时圆心到直线 BC 的距离为 3.此时圆上的点位于弧 BC 上。因为

OE ? 3 , OC ? 3 2 , 所 以 ?O C E?

?
4

, 所 以 ?B O C?

?
2

. 所 以 弧 BC 的 长 度 为

?

3 3 ? 1 3 3 ? . ?3 3 ? ? ,所以由几何概型得所求概率为 P ? 2 2 2 2? ? 3 3 4

? ? ? 由资料可知 y 和 x 呈线性相关关系,由表中数据算出线性回归方程 y ? bx ? a 中的 ? 万元. b ? 1. 23, 据此估计,使用年限为 10 年时的维修费用是 【答案】12.38
? 由题意知 x ? 4, y ? 5 ,即回归直线过点 (4,5) ,代入回归直线得 a ? 0.08 ,即回归直线方

15.假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费 y (万元)有如下的统计资料: 2 3 4 5 6 使用年限 x 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 维修费用 y

? ? 程为 y ? 1.23x ? 0.08 ,所以当 x ? 10 时, y ? 1.23 ?10 ? 0.08 ? 12.38 (万元) 。

16.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左顶点与抛物线 y 2 ? 2 px( p>0) 的焦点的 a 2 b2

距离为 4,且双曲线的一条渐近线与抛物线准线的交点坐标为( ?2, ?1 ) ,则双曲线的焦距 为 【答案】 2 5 双曲线的左顶点为 (?a, 0) ,抛物线的焦点为 ( .

p p , 0) ,准线方程为 x ? ? 。由题意知 2 2

p p ? (?a) ? 4 , 即 ?a ?4。 又双曲线的一条渐近线与抛物线准线的交点坐标为 (?2, ?1) , 2 2 p p b 所以 x ? ? ? ?2 , 解得 p ? 4 , 代入 ? a ? 4 得 a ? 2 。 且点 (?2, ?1) 也在渐近线 y ? x 2 2 a b 上,即 ?1 ? ? (?2) ,解得 b ? 1 ,所以 c ? a2 ? b2 ? 4 ? 1 ? 5 ,所以双曲线的焦距为 2

2c ? 2 5 。
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已 知 x ? R, ?>0 ,u ? (1, s i n ( x ? ? 最小正周期为π .

? )), ? v 2

2 (cosx ?

, 3 ?i n 函 数 f ( x ) ? u ? v ? sx ),

1 的 2

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的值域.

π 2

18. (本小题满分 12 分) 已知点(1,2)是函数 f ( x) ? a x (a>0且a ? 1) 的图象上一点,数列 ?an ? 的前 n 项和

Sn ? f ( n) ? 1 .

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)将数列 ?an ? 前 2013 项中的第 3 项,第 6 项,…,第 3k 项删去,求数列 ?an ? 前 2013 项中剩余项的和.

19. (本小题满分 12 分) 如图,AD ? 平面 ABC,AD∥CE,AC=AD=AB=1,∠BAC=90°,凸多 面体 ABCED 的体积为

E D

1 ,F 为 BC 的中点. 2
B

(Ⅰ)求证:AF∥平面 BDE; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BCE.

A

F 第 19 题图

C

20. (本小题满分 12 分) 某高校组织的自主招生考试,共有 1000 名同学参加笔 频率/组距 试,成绩均介于 60 分到 100 分之间,从中随机抽取 50 名 同学的成绩进行统计, 将统计结果按如下方式分为 4 组: 第 0.036 1 组[60,70) 第 2 组[70,80) 第 3 组[80,90) 第 4 组[90,100]. 0.03 , , , 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图, 且笔试成绩 0.014 在 85 分(含 85 分)以上的同学有面试资格. (Ⅰ) 估计所有参加笔试的 1000 名同学中, 有面试资格 o 6 70 8 90 100 的人数; 0 0 第 20 题图 (Ⅱ)已知某中学有甲、乙两位同学取得面试资格,且甲 的笔试比乙的高;面试时,要求每人回答两个问题,假设甲、乙两人对每一个问题答对的概率均 为 概率. ; 若甲答对题的个数不少于乙, 则甲比乙优先获得高考加分资格.求甲比乙优先获得高考加分资格的

得分

1 2

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ax . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 a ? 数 k 的值.

1 , g ( x) ? x( f ( x) ? 1), ( x>1) ,且 g ( x) 在区间 (k , k ? 1) 内存在极值,求整 2

22. (本小题满分 14 分)

y
A Q M F1 O F2 N

x2 y 2 如图, 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a>b>0) 的左、 右焦点分别为 F1、 a b 3 F2,离心率为 ,点 A 是椭圆上任一点,△AF1F2 的周长为 4+2 3 . 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

l

x

(-4,0) (Ⅱ)过点 Q 任作一动直线 l 交椭圆 C 于 M,N 两点,记 第 22 题图 ???? ??? ? ???? ? ???? MQ ? ?QN ,若在线段 MN 上取一点 R,使得 MR ? ?? RN ,则当直线 l 转动时,点 R 在某
一定直线上运动,求该定直线的方程.

2013 年高考模拟试题

文科数学参考答案及评分标准

2013.5 说明: 一、本解答只给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容参照评分标准酌情赋分. 二、 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确答案应得分数的一半; 如果后 继部分的解答有较严重的错误或又出现错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题: (每小题 5 分,满分 60 分) 1.(A) 2.(B) 3.(B) 4.(D) 5.(C) 6.(B) 7.(B) 8.(D) 9.(B) 10.(C) 11.(C) 12.(D) 二、填空题: (每小题 4 分,满分 16 分) 13. 4 14.

1 4

15. 12.38

16. 2 5

三、解答题:

v 17.解: (Ⅰ)依据题意, f ( x) ? u? ?

1 π 1 ? (1,sin(? x ? )) ? (cos 2 ? x, 3 sin ? x) ? 2 2 2 1 ? cos 2 ? x ? 3 sin ? x ? cos ? x ? …… ……… ……… ……… …(1 分 ) 2

1 ? cos 2? x 3 1 ? sin 2? x ? 2 2 2 1 3 ? cos 2? x ? sin 2? x 2 2 ?
π ? sin(2? x ? ) . … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ( 4 6 ? ?>0, 函数的最小正周期 T=π , 2 π 2 π ? 2? ? ? ? 2,? ? ? 1. ………………………………………(6 T π π x ) ………………………………(7 ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 f ( x) ? sin( 2 ? 6 π π π 7 当 0≤ x≤ 时 , 可 得 ≤2 x ? ≤ π … … … … … … … … … ( 8 2 6 6 6 1 π 有 ? ≤ sin(2 x ? )≤1 …………………………………………(11 2 6 π 1 所以函数 y ? f ( x) 在 [0, ] 上的值域是 [ ? ,1]………………(12 2 2
分)

分) 分) 分) 分) 分)

x 18.解: (Ⅰ)把点(1,2)代入函数 f ( x) ? a ,得 a ? 2 .……………………(1 分)

? Sn ? f (n) ?1 ? 2n ?1, … … … … … … … … … … … … … … … … ( 2 分 )

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 21 ?1 ? 1; …………………………………(3 分) 当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn?1

? (2n ?1) ? (2n?1 ?1)
? 2n?1 … … … …… …… …… … … …… …… … …( 5 分)
经验证可知 n ? 1 时,也适合上式,

? an ? 2n?1 .…………………………………………………………(6 分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列 ?an ? 为等比数列,公比为 2,故其第 3 项,第 6 项,…,第 2013 项也为等比数列, 首项 a3 ? 23?1 ? 4, 公比 23 ? 8, a2013 ? 22012 为其第 671 项………………………………………………………………(8 分) ∴此数列的和为

4(1 ? 8671 ) 4(22013 ? 1) ? ……………………(10 分) 1? 8 7

又数列 ?an ? 的前 2013 项和为

S2013

1? (1 ? 22013 ) ? ? 22013 ? 1, …………………………………(11 分) 1? 2
2013

∴ 所 求 剩 余 项 的 和 为 (2

? 1) ?

4(22013 ? 1) 3(22013 ? 1) ? …(12 分) 7 7

19. (Ⅰ)证明:∵AD⊥平面 ABC,AC ? 面 ABC,AB ? 面 ABC, ∴AD⊥AC,AD⊥AB, ∵AD∥CE,∴CE⊥AC ∴四边形 ACED 为直角梯形.……………(1 分) 又∵∠BAC=90°,∴AB⊥AC,∴AB⊥面 ACED.
B G A F 第 19 题图 D

E

C

………………(2 分) ∴凸多面体 ABCED 的体积 V ?

1 ? S ACED ? AB 3

1 1 1 ? ? ? ( 1? CE ? ? ? ) 1 1 , 3 2 2
求得 CE=2.……………………………………………………( 3 分) 取 BE 的中点 G,连结 GF,GD,

则 GF∥EC,GF ?

1 CE=1, 2

∴GF∥AD,GF=AD,四边形 ADGF 为平行四边形, ∴AF∥DG.………………………………………………………(5 分) 又∵GD ? 面 BDE,AF ? 面 BDE, ∴AF∥平面 BDE.………………………………………………(7 分) (Ⅱ)证明:∵AB=AC,F 为 BC 的中点, ∴AF⊥BC.………………………………………………………(8 分) 由(Ⅰ)知 AD⊥平面 ABC,AD∥GF,∴GF⊥面 ABC. ∵AF ? 面 ABC,∴AF⊥GF. ……………………………………(9 分) 又 BC ? GF=F,∴AF⊥面 BCE.…………………………………(10 分) 又∵DG∥AF,∴DG⊥面 BCE.……………………………(11 分) ∵DG ? 面 BDE,∴面 BDE⊥面 BCE.……………………(12 分) 20.解: (Ⅰ)设第 i(i ? 1, 2,3, 4) 组的频率为 f i ,则由频率分布直方图知

f4 ? 1 ? (0.014 ? 0.03 ? 0.036) ?10 ? 0.2 … … … … … … … … … … ( 2 分 )
所以成绩在 85 分以上的同学的概率 P≈

f3 0.036 ?10 +f 4 ? ? 0.2 ? 0.38, 2 2

…………………………………(5 分) 故这 1000 名同学中,取得面试资格的约有 1000×0.38=380 人.…(6 分) (Ⅱ)设答对记为 1,打错记为 0,则所有可能的情况有: 甲 00 乙 00,甲 00 乙 10,甲 00 乙 01,甲 00 乙 11,甲 10 乙 00,甲 10 乙 10,甲 10 乙 01, 甲 10 乙 11,甲 01 乙 00,甲 01 乙 10,甲 01 乙 01,甲 01 乙 11,甲 11 乙 00,甲 11 乙 10, 甲
11



01 ,甲 11



11 ,共

16 个………………………………………(9 分)

甲答对题的个数不少于乙的情况有: 甲 00 乙 00,甲 10 乙 00,甲 10 乙 10,甲 10 乙 01,甲 01 乙 00,甲 01 乙 10,甲 01 乙 01, 甲
11



00,甲 11



01,甲 11



10,甲 11



11,共

11 个……………(11 分)

故甲比乙优先获得高考加分资格的概率为 2 1 . 解 : Ⅰ ) 由 已 知 x>0, f ?( x) ? (

1 1 ? ax ?a ? .…………………………(1 分) x x

11 .………………………(12 分) 16

> 当 a≤0 时 , f ?( x ) 0,函 数 f ( x ) 在 (0, ??) 内 单 调 递 增 ; … … … ( 2 分 ) > 当 a>0 时 , 由 f ?( x ) 0 ,得 1 ? ax>0, ∴ 0< x<
由 f ?( x)<0, 得 1 ? ax<0, ∴ x>

1 ;……………(3 分) a

1 .……………………(4 分) a

∴ f ( x ) 在 (0, ) 内 单 调 递 增 , 在 ( , ??) 内 单 调 递 减 . … … … … ( 5 分 )

1 a

1 a

(Ⅱ)当 a ?

1 1 1 2 1) 时, g ( x) ? x( f ( x) ? 1) ? x(ln x ? x ? 1) ? x ln x ? x ? x ( x> 2 2 2

∴ g ?( x) ? ln x ? x ? 2( x> … … … … … … … … … … … … … … … ( 6 分 ) 1), 令 F ( x) ? g ?( x) ? ln x ? x ? 2( x> , 1) 则 F ?( x) ?

1 ? 1<0, ∴ F ( x) 在 (1, ??) 内单调递减.……………………(8 分) x

> ∵ F (1) ? 1 0, F (2) ? ln 2>0,

F ( 3 ) g? ( 3 ) ? ?

ln 3 ? ? ? 3

2? > 3 1 0 , ln

F (4) ? g ?(4) ? ln 4 ? 4 ? 2 ? ln 4 ? 2<0. … … … … … … … … … … ( 9 分 )
∴ F ( x) 即 g ?( x ) 在(3,4)内有零点,即 g ?( x ) 在(3,4)内存在极值. …………………………………(11 分) 又 ∵ g ( x) 在 (k , k ? 1) 上 存 在 极 值 , 且 k ? z , ∴ k = 3 . … … … … … ( 1 2 分 ) 22.解(Ⅰ)∵△AF1F2 的周长为 4 ? 2 3 , ∴ 2a ? 2c ? 4 ? 2 3, 即 a ? c ? 2 ? 3 . … … … … … … … … ( 1 分 ) 又 e?

c 3 ? , 解 得 a ? 2 ,c ? a 2

2 2 2 … 3 ,b ? a ? c ? 1 . … … … … … ( 3 分 )

∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. … … … … … … … … … … … … ( 4 分 ) 4

(Ⅱ)由题意知,直线 l 的斜率必存在, 设其方程为 y ? k ( x ? 4), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ).

? x2 2 ? ? y ?1 由? 4 , ? y ? k ( x ? 4) ?
得 (1 ? 4k ) x ? 32k x ? 64k ? 4 ? 0. … … … … … … … … … … … … … ( 6 分 )
2 2 2 2

?32k 2 64k 2 ? 4 , x1 x2 ? 则 x1 ? x2 ? ……………………………………(7 分) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
由 MQ ? ?QN ,得 (?4 ? x1 , ? y1 ,) ? ?( x2 ? 4, y2 ) ∴ ?4 ? x1 ? ? ( x2 ? 4), ∴ ? ? ?

???? ?

????

x1 ? 4 .……………………………………(8 分) x2 ? 4

设点 R 的坐标为( x0 , y0 ) ,由 MR ? ? RN , 得 ( x0 ? x1 , y0 ? y1 ) ? ?? ( x2 ? x0 , y2 ? y0 ), ∴ x0 ? x1 ? ?? ( x2 ? x0 ),

????

??? ?

解得 x0 ?

x1 ? ? x2 ? 1? ?

x1 ?

x1 ? 4 ? x2 x2 ? 4 2 x x ? 4( x1 ? x2 ) ? 1 2 . ………………(10 分) x1 ? 4 ( x1 ? x2 ) ? 8 1? x2 ? 4
64k 2 ? 4 ?32k 2 8 ? 4? ?? , 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2

而 2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 2 ?

( x1 ? x2 ) ? 8 ?

?32k 2 8 ?8 ? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

8 2 ∴ x0 ? 1 ? 4k ? ?1, … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ( 1 3 分 ) 8 1 ? 4k 2 故点 R 在定直线 x ? ?1 上. ………………………………………………(14 分) ?


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