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2018年高考数学一轮复习专题31数列求和教学案理.


专题 31 数列求和

1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式; 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法。

1.求数列的前 n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前 n 项和公式

n(a1+an) n(n-1) Sn= =na1+ d.
2 2 ②等比数列的前 n 项和公式 (ⅰ)当 q=1 时,Sn=na1; (ⅱ)当 q≠1 时,Sn= (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式 的推导过程的推广. (6)并项求和法 一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 an= (-1) f(n)类型,可采用两项合并求解. 例如,Sn=100 -99 +98 -97 +?+2 -1 =(100+99)+(98+97)+?+(2+1)=5 050. 2.常见的裂项公式
2 2 2 2 2 2

a1(1-qn) a1-anq = . 1-q 1-q

n

-1-

(1)

1

n(n+1) n n+1

1 1 = - .

1 ? 1 1? 1 - (2) = ? ?. (2n-1)(2n+1) 2?2n-1 2n+1? (3) 1

n+ n+1

= n+1- n.

高频考点一

分组转化法求和

1 1 2 例 1、(2016·天津卷)已知{an}是等比数列,前 n 项和为 Sn(n∈N+),且 - = ,S6=63.

a1 a2 a3
n 2

(1)求{an}的通项公式; (2)若对任意的 n∈N+,bn 是 log2an 和 log2an+1 的等差中项,求数列{(-1) bn}的前 2n 项和.

【方法规律】(1)若数列{cn}的通项公式为 cn=an±bn,且{an},{bn}为等差或等比数列,可采

-2-

用分组求和法求数列{cn}的前 n 项和. (2)若数列{cn}的通项公式为 cn=?
? ?an,n为奇数, ?bn,n为偶数, ?

其中数列{an},{bn}是等比数列或等差数列,

可采用分组求和法求{an}的前 n 项和. 1 1 1 1 1 【变式探究】 (1)数列 1 ,3 ,5 ,7 ,?,(2n-1)+ n,?的前 n 项和 Sn 的值等于( 2 4 8 16 2 1 2 A.n +1- n 2 1 2 C.n +1- n-1 2 (2)数列{an}的通项公式 an=ncos A.1 008 【答案】 (1)A (2)A 1 2 B.2n -n+1- n 2 1 2 D.n -n+1- n 2 )


2

,其前 n 项和为 Sn,则 S2 016 等于( B.2 016 C.504 D.0

)

高频考点二

错位相减法求和
2

例 2、(2016·山东卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n +8n,{bn}是等差数列,且 an=bn+bn+
1

.

(1)求数列{bn}的通项公式; (an+1) (2)令 cn= n .求数列{cn}的前 n 项和 Tn. (bn+2) 【解析】 (1)由题意知,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=6n+5. 当 n=1 时,a1=S1=11,符合上式. 所以 an=6n+5.设数列{bn}的公差为 d, 由?
?a1=b1+b2, ? ?11=2b1+d, ? 即? ? ?a2=b2+b3, ? ?17=2b1+3d,
n+1

可解得 b1=4,d=3.所以 bn=3n+1.
-3-

(6n+6) n+1. (2)由(1)知,cn= . n =3(n+1)·2 (3n+3) 又 Tn=c1+c2+?+cn. 得 Tn=3×[2×2 +3×2 +?+(n+1)×2 2Tn=3×[2×2 +3×2 +?+(n+1)×2 两式作差,得 -Tn=3×[2×2 +2 +2 +?+2
n
2 3 4 3 4 2 3

n+1

n+1

].

n+2

].

n+1

-(n+1)×2

n+2

]

? 4(1-2 )-(n+1)×2n+2?=-3n·2n+2. =3×?4+ ? 1-2 ? ?
所以 Tn=3n·2
n+2

.

【方法规律】(1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前 n 项和时, 可采用错位相减法求和, 一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比, 然后作差求解; (2)在写出“Sn” 与“qSn” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn -qSn”的表达式. 【变式探究】 已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x -5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列? n?的前 n 项和. ?2 ?
?an?
2

-4-

高频考点三

裂项相消法求和
2

例 3、Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0,an+2an=4Sn+3. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= 1

anan+1

,求数列{bn}的前 n 项和.

-5-

【方法规律】(1)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项, 也有可能前面剩两项,后面也剩两项. (2)将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项 公式相等. 【变式探究】 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,已知 S3=a7,a8-2a3=3. (1)求 an; 1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn.

Sn

【解析】 (1)设数列{an}的公差为 d,
?3a1+3d=a1+6d, ? 由题意得? ?(a1+7d)-2(a1+2d)=3, ?

解得 a1=3,d=2, ∴an=a1+(n-1)d=2n+1.
-6-

(2)由(1)得 Sn=na1+ ∴bn= 1

n(n-1) d=n(n+2),
2

? ? n(n+2) 2?n n+2?

1 ? 1?1 = - .

∴Tn=b1+b2+?+bn-1+bn 1?? 1? ?1 1? ? 1 - 1 ?+?1- 1 ?? = ??1- ?+? - ?+?+? ? ? ?? 3? ?2 4? 2?? ?n-1 n+1? ?n n+2?? 1 1 ? 1? 1 - = ? 1+ - ? 2 n+1 n+2? 2? 1 ? 3 1? 1 + = - ? ?. 4 2?n+1 n+2? 1? ? 2 【举一反三】在数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足 Sn=an?Sn- ?. 2? ? (1)求 Sn 的表达式; (2)设 bn=

Sn ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n+1

-7-

1.【2016 高考山东理数】 (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=3n +8n, ?bn ? 是等差数列,且 an ? bn ? bn?1.
2

(Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ?

(an ? 1)n?1 . 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn. (bn ? 2)n

【答案】 (Ⅰ) bn ? 3n ? 1; (Ⅱ) Tn ? 3n ? 2 n?2 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cn ?

(6n ? 6)n?1 ? 3(n ? 1) ? 2n?1 , n (3n ? 3)

又 Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? ? ? cn , 得 Tn ? 3?[2 ? 22 ? 3? 23 ? 4 ? 24 ???? ? (n ? 1) ? 2n?1 ] ,

2Tn ? 3?[2 ? 23 ? 3? 24 ? 4 ? 25 ???? ? (n ?1) ? 2n?2 ] ,
两式作差,得
-8-

?Tn ? 3 ? [2 ? 22 ? 23 ? 24 ? ??? ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n? 2 ]
4(2n ? 1) ? (n ? 1) ? 2n ? 2 ] 2 ?1

? 3 ? [4 ?

? ?3n ? 2n ? 2
所以 Tn ? 3n ? 2 n?2 【2015 江苏高考,11】数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? an ? n ? 1( n ? N * ) ,则数列 { 前 10 项和为 【答案】

1 }的 an

20 11

【解析】由题意得:
an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? n ? n ? 1 ? ? ? 2 ? 1 ?
1 1 1 1 2n 20 ? 2( ? ), Sn ? 2(1 ? )? , S10 ? an n n ?1 n ?1 n ?1 11

n(n ? 1) 2

所以

【2015 高考天津,理 18】 (本小题满分 13 分)已知数列 {an } 满足

an?2 ? qan (q为实数,且q ? 1),n ? N *, a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 a2 + a3 , a3 + a4 , a4 + a5 成等差数列.
(I)求 q 的值和 {an } 的通项公式; (II)设 bn ?

log 2 a2 n , n ? N * ,求数列 {bn } 的前 n 项和. a2 n?1

?1 ? n2 2 , n为奇数, n?2 ? 【答案】(I) an ? ? n ; (II) S n ? 4 ? n ?1 . 2 ? 2 2 , n为偶数. ?

-9-

(II) 由(I)得 bn ?

log 2 a2 n n ? n ?1 ,设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,则 a2 n ?1 2

Sn ? 1 ?

1 1 1 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? n ?1 , 0 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? n 2 2 2 2 2

两式相减得

1 1 1 1 1 1 n 1 ? 2n n 2 n Sn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? ? n ? 2? n ? n , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 n?2 整理得 S n ? 4 ? n ?1 2 n?2 所以数列 ?bn ? 的前 n 项和为 4 ? n ?1 , n ? N * . 2 【2015 高考四川,理 16】设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2an ? a1 ,且 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列.
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记数列 {

1 1 成立的 n 的最小值. } 的前 n 项和 Tn ,求得 | Tn ? 1|? 1000 an

【答案】 (1) an ? 2n ; (2)10.

- 10 -

(2)由(1)得

1 1 ? n. an 2

1 1 [1 ? ( )n ] 1 1 1 1 2 2 ? 1? 1 . 所以 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 2 2 2 2 2n 1? 2
由 | Tn ? 1|?
9

1 1 1 n ,得 |1 ? n ? 1|? ,即 2 ? 1000 . 1000 2 1000
10

因为 2 ? 512 ? 1000 ? 1024 ? 2 , 所以 n ? 10 . 于是,使 | Tn ? 1|?

1 成立的 n 的最小值为 10. 1000

2 【2015 高考新课标 1,理 17】 Sn 为数列{ an }的前 n 项和.已知 an >0, an ? an = 4Sn ? 3 .

(Ⅰ)求{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列{ bn }的前 n 项和. an an?1
1 1 ? 6 4n ? 6

【答案】 (Ⅰ) 2n ? 1 (Ⅱ) 【解析】 (Ⅰ)当 n ? 1 时, 当

a12 ? 2a1 ? 4S1 ? 3 ? 4a1 +3 ,因为 an ? 0 ,所以 a1 =3,
=

n?2
?1 n





2 2 an ? an ? an ?1 ? an?1

4Sn ? 3 ? 4Sn?1 ? 3

=

4 an





(an ?

a )

(? an

?1

an ?)

2 ? a? ( an a ) ? an ? an?1 =2, n1 n 0 ,所以 ,因为

- 11 -

所以数列{ 所以

an }是首项为 3,公差为 2 的等差数列,

an = 2n ? 1 ;
1 1 1 1 ? ( ? ), (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3
1 1 1 1 1 1 1 [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn =

所 以 数 列 { bn } 前 n 项 和 为 b1 ? b2 ? ? ? bn = =

1 1 ? . 6 4n ? 6
*

1. (2014·江西卷)已知首项都是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N )满足

anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.
(1)令 cn= ,求数列{cn}的通项公式; (2)若 bn=3
n-1

an bn

,求数列{an}的前 n 项和 Sn.

2. (2014·全国卷)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=10,a2 为整数,且 Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= 1

anan+1

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

- 12 -

3. (2014·山东卷)已知等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=(-1)
n-1

4n ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1

2×1 【解析】 (1)因为 S1=a1,S2=2a1+ ×2=2a1+2, 2

S4=4a1+

4×3 ×2=4a1+12, 2
2

由题意得(2a1+2) =a1(4a1+12),解得 a1=1, 所以 an=2n-1. (2)由题意可知,

bn=(-1)n-1
=(-1) =(-1)
n-1

4n anan+1

4n (2n-1)(2n+1)

n-1

? 1 + 1 ?. ?2n-1 2n+1? ? ?

当 n 为偶数时, + Tn=?1+ ?-? + ?+?+? 3 3 5 2n-3 1 =1- 2n+1 = 2n . 2n+1

? ?

1?

?1 1? ? ? ?

? 1 ?

1 ? ? 1 1 ? + -? 2n-1? 2 n - 1 2 n +1? ? ? ?

当 n 为奇数时,

- 13 -

+ + Tn=?1+ ?-? + ?+?-? + 3 3 5 2n-3 2n-1? ?2n-1 2n+1?

? ?

1?

?1 1? ? ? ?

? 1 ?

1 ?

? 1 ? ?

1 ?

?

1 =1+ 2n+1 = 2n+2 . 2n+1
n-1

2n+2 ? ?2n+1,n为奇数,? 2n+1+(-1) 所以 T =? ?或T = 2n+1 ? 2n ,n为偶数. ? ?2n+1
n n

? ? ?
2 2 2

4. (2013·江西卷)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn-(n +n-1)Sn-(n +n)=0. (1)求数列{an}的通项公式 an; n+1 5 * (2)令 bn= . 2 2,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,证明:对于任意的 n∈N ,都有 Tn< (n+2) an 64

1 n * 5. (2013·湖南卷)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=(-1) an- n,n∈N ,则 2 (1)a3=________;

- 14 -

(2)S1+S2+?+S100=________.

6. (2013·山东卷)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; an+1 * (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn+ n =λ (λ 为常数),令 cn=b2n(n∈N ),求数列{cn} 2 的前 n 项和 Rn. 【解析】 :(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 由 S4=4S2,a2n=2an+1
? ?4a1+6d=8a1+4d, 得? ?a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1, ?

解得 a1=1,d=2,因此 an=2n-1,n∈N . n n n-1 n-2 (2)由题意知 Tn=λ - n-1,所以 n≥2 时,bn=Tn-Tn-1=- n-1+ n-2 = n-1 . 2 2 2 2 n-1 2n-2 ?1? * 故 cn=b2n= 2n-1 =(n-1)? ? ,n∈N . 2 ?4? 0 1 2 3 n-1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? 所以 Rn=0×? ? +1×? ? +2×? ? +3×? ? +?+(n-1)×? ? , ?4? ?4? ?4? ?4? ?4? 1 2 3 n-1 n 1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? 则 Rn=0×? ? +1×? ? +2×? ? +?+(n-2)×? ? +(n-1)×? ? , 4 ?4? ?4? ?4? ?4? ?4?
- 15 -

*

两式相减得 1 2 3 n-1 n 3 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Rn=? ? +? ? +? ? +?+? ? -(n-1)×? ? 4 ?4? ?4? ?4? ?4? ?4? 1 ?1?n -? ? n 4 ?4? ?1? = -(n-1)×? ? 1 ?4? 1- 4 1 1+3n?1?n = - ? ? , 3 3 ?4? 1 3n+1 整理得 Rn= 4- n-1 . 9 4 1 3n+1 所以数列{cn}的前 n 项和 Rn= 4- n-1 . 9 4

1.等差数列{an}的通项公式为 an=2n+1, 其前 n 项和为 Sn, 则数列? ?的前 10 项的和为(
?n?

?Sn?

)

A.120 【答案】 C

B.70

C.75

D.100

?Sn? Sn 10×9 【解析】析 因为 =n+2,所以? ?的前 10 项和为 10×3+ =75. n 2 ?n?

2.数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 Sn=1-2+3-4+?+(-1) A.9 【答案】 A B.8 C.17 D.16

n-1

·n,则 S17=(

)

3.数列{an}的通项公式为 an=(-1) A.200 【答案】 B 【解析】析 B.-200

n-1

·(4n-3),则它的前 100 项之和 S100 等于( C.400 D.-400

)

S100=(4×1-3)-(4×2-3)+(4×3-3)-?-(4×100-3)=4×[(1-2)+(3

-4)+?+(99-100)]=4×(-50)=-200. 4.已知数列 5,6,1,-5,?,该数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之 和,则这个数列的前 16 项之和 S16 等于( A.5 B.6 ) C.7 D.16
- 16 -

【答案】 C 【解析】析 根据题意这个数列的前 7 项分别为 5,6,1,-5,-6,-1,5,6,发现从第 7 项起,数字重复出现,所以此数列为周期数列,且周期为 6,前 6 项和为 5+6+1+(-5) +(-6)+(-1)=0. 又因为 16=2×6+4,所以这个数列的前 16 项之和 S16=2×0+7=7.故选 C. 5.已知数列{an}满足 a1=1,an+1·an=2 (n∈N+),则 S2 016=( A.2
2 016

n

)

-1
1 008

B.3·2 -1 D.3·2

1 008

-3 -2

C.3·2

1 007

【答案】 B 2 an+2·an+1 2 an+2 【解析】 a1=1,a2= =2,又 = n =2.∴ =2.∴a1,a3,a5,?成等比数列; a1 an+1·an 2 an
n+1

a2,a4,a6,?成等比数列,
∴S2 016=a1+a2+a3+a4+a5+a6+?+a2 015+a2 016 =(a1+a3+a5+?+a2 015)+(a2+a4+a6+?+a2 016) = 1-2 2(1-2 ) 1 008 + =3·2 -3.故选 B. 1-2 1-2
1 008 1 008

6.在等差数列{an}中,a1>0,a10·a11<0,若此数列的前 10 项和 S10=36,前 18 项和 S18=12, 则数列{|an|}的前 18 项和 T18 的值是________. 【答案】 60 【解析】析 由 a1>0,a10·a11<0 可知 d<0,a10>0,a11<0, ∴T18=a1+?+a10-a11-?-a18 =S10-(S18-S10)=60. 7.整数数列{an}满足 an+2=an+1-an (n∈N ),若此数列的前 800 项的和是 2013,前 813 项的 和是 2000,则其前 2015 项的和为________. 【答案】 -13
*

8.已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,? n∈N 2Sn=an+an,令 bn=

*,

2

1

an an+1+an+1 an

,设{bn}

- 17 -

的前 n 项和为 Tn,则在 T1,T2,T3,?,T100 中有理数的个数为________. 【答案】 9

9.已知数列{an}中,a1=3,a2=5,且{an-1}是等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【解析】 (1)∵{an-1}是等比数列且 a1-1=2,

a2-1 a2-1=4, =2, a1-1
∴an-1=2·2
n-1

=2 ,∴an=2 +1.

n

n

- 18 -

(2)bn=nan=n·2 +n, 故 Tn=b1+b2+b3+?+bn=(2+2×2 +3×2 +?+n·2 )+(1+2+3+?+n). 令 T=2+2×2 +3×2 +?+n·2 , 则 2T=2 +2×2 +3×2 +?+n·2
2 3 2 3 4 2 3 2 3

n

n

n

n+1

.
n+1

两式相减,得-T=2+2 +2 +?+2 -n·2 2?1-2 ? n+1 = -n·2 , 1-2 ∴T=2(1-2 )+n·2 ∵1+2+3+?+n= ∴Tn=(n-1)·2
n+1 n n+1 n

n

=2+(n-1)·2 2 ,

n+1

.

n?n+1? n2+n+4
2



.
2 2 2

10.正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn-(n +n-1)Sn-(n +n)=0. (1)求数列{an}的通项公式 an;

n+1 5 * (2)令 bn= . 2 2,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,证明:对于任意的 n∈N ,都有 Tn< ?n+2? an 64

- 19 -

1 11.已知数列{an}的前 n 项和是 Sn,且 Sn+ an=1(n∈N+). 2 (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)设 bn=log1(1-Sn+1)(n∈N+),令 Tn= + +?+ ,求 Tn. b1b2 b2b3 bnbn+1 3 【解析】 (1)当 n=1 时,a1=S1, 1 2 由 S1+ a1=1,得 a1= , 2 3 1 1 当 n≥2 时,Sn=1- an,Sn-1=1- an-1, 2 2 1 1 则 Sn-Sn-1= (an-1-an),即 an= (an-1-an), 2 2 1 所以 an= an-1(n≥2). 3
- 20 -

2 1 故数列{an}是以 为首项, 为公比的等比数列. 3 3

n 2 ?1?n-1 ?1? 故 an= ·? ? =2·? ? (n∈N+). 3 ?3? ?3?

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