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2017届广州市普通高中毕业班综合测试(一)(理数)试题及答案


2017 届广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)
本试卷共 4 页,23 小题, 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一、选择题:本小题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 (1)复数 ?1 ? i ? ?
2

2 的共轭复数是 1? i
(B) 1 ? i (C) ? 1 ? i
2

(A) 1 ? i

(D) ? 1 ? i

(2)若集合 M ? x x ? 1? , N ? y y ? x , x ? 1 ,则 (A) M ? N (B) M ? N (C) N ? M (D) M ? N ? ?

?

?

?

(3)已知等比数列 ?an ? 的各项都为正数, 且 a3 , a5 ,a4 成等差数列,

1 2



a3 ? a5 的值是 a4 ? a6 5 ?1 2 3? 5 2
(B)

(A)

5 ?1 2 3? 5 2

(C)

(D)

(4)阅读如图的程序框图. 若输入 n ? 5 , 则输出 k 的值为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

x2 y 2 ? 1 的一条渐近线方程为 2 x ? 3 y ? 0 , F1 , F2 分别 (5)已知双曲线 C : 2 ? a 4
是双曲线 C 的左,右焦点, 点 P 在双曲线 C 上, 且 PF 1 ? 7 , 则 PF2 等于 (A) 1 (B) 13 (C) 4 或 10 (D) 1 或 13

1

(6)如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是 某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图, 且该几何体的体积为

8 , 则该几何体的俯视图可以是 3

(7)五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的 硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为 (A)

1 2

(B)

15 32

(C)

11 32

(D)

5 16

C: (8)已知 F 1 , F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左, 右焦点, 椭圆 C 上存在点 P a 2 b2

使 ?F 1PF 2 为钝角, 则椭圆 C 的离心率的取值范围是 (A) ?

? 2 ? ? 2 ,1? ? ? ?

(B) ?

?1 ? ,1? ?2 ?

(C) ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ? ?
x

(D) ? 0, ?

? ?

1? 2?

x (9)已知 p : ?x ? 0, e ? ax ? 1 成立, q : 函数 f ? x ? ? ? ? a ? 1? 在 R 上是减函数, 则 p 是

q的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (10) 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四 个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥 P ? ABC 为鳖臑, PA ⊥平面

ABC , PA ? AB ? 2 , AC ? 4 , 三棱锥 P ? ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上 ,
则球 O 的表面积为 (A) 8? (B) 12? (C) 20? (D) 24? ( 11 )若直线 y ? 1 与函数 f ? x ? ? 2sin 2x 的图象相交于点 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,且

2? ,则线段 PQ 与函数 f ? x ? 的图象所围成的图形面积是 3 2? ? 2? ? ? 3 ? 3 ? 2 (D) ? 3 ? 2 (A) (B) ? 3 (C) 3 3 3 3

x1 ? x2 ?

2016 3 2 3 1 ? k ? 3 f x ? x ? x ? x ? (12)已知函数 ? ? , 则? f ? ? 的值为 2 4 8 ? 2017 ? k ?1

(A) 0

(B) 504

(C) 1008

(D) 2016

2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13~21 题为必考题,每个考生都必须作答。第 22~23 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本小题共 4 题,每小题 5 分。 (13)已知 a ? 1, b ?
n

2 ,且 a ? (a ? b) ,则向量 a 与向量 b 的夹角是
3

.

(14) ? 3 ? x ? 的展开式中各项系数和为 64 ,则 x 的系数为 (15)已知函数 f ? x ? ? ?

.(用数字填写答案)

x ? 0, 若 f ? a ? ? 2 , 则实数 a 的取值范围是 . ?1 ? log 2 x, x ? 0, * (16)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, 已知 a1 ? 2 , 对任意 p, q ? N , 都有 a p?q ? a p ? aq ,
则 f ?n? ?

?21? x ,

Sn ? 60 (n ? N * )的最小值为 n ?1

.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 如图, 在△ ABC 中, 点 P 在 BC 边上, ?PAC ? 60? , PC ? 2, AP ? AC ? 4 . (Ⅰ) 求 ?ACP ; (Ⅱ) 若△ APB 的面积是

A

3 3 , 求 sin ?BAP . 2

B

P

C

(18) (本小题满分 12 分) 近年来,我国电子商务蓬勃发展. 2016 年“618”期间,某网购平台的销售业绩高达 516 亿元人民币, 与此同时, 相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统. 从该评价系统中选出 200 次成功交易, 并对其评价进行统计, 网购者对商品的满意率为 0.6,对服务的满意率为 0.75,其中对商品和服务都满意的交易为 80 次. (Ⅰ) 根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,并回答能否有 99%的把握认为“网购者对 商品满意与对服务满意之间有关系”? 对服务满意 对商品满意 对商品不满意 合计 200 80 对服务不满意 合计

(Ⅱ) 若将频率视为概率,某人在该网购平台上进行的 3 次购物中,设对商品和服务都满 意的次数为随机变量 X ,求 X 的分布列和数学期望 EX .

n ? ad ? bc ? 附: K ? (其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量) ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2
2

P?K2 ? k?

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

3

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

(19) (本小题满分 12 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, AD // BC , AB ⊥ BC , BD ⊥ DC , 点 E 是 BC 边的 中点, 将△ ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD ⊥平面 BCD ,连接 AE , AC , DE , 得到如 图 2 所示的几何体. (Ⅰ) 求证: AB ⊥平面 ADC ; (Ⅱ) 若 AD ? 1 ,二面角 C ? AB ? D 的平面角的正切值为 6 ,求二面角 B ? AD ? E 的余弦值.

A

D

A

D

B

E
图1

C
B E2 图 C

(20) (本小题满分 12 分) 过点 P ? a, ?2 ? 作抛物线 C : x ? 4 y 的两条切线, 切点分别为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? .
2

(Ⅰ) 证明: x1 x2 ? y1 y2 为定值; (Ⅱ) 记△ PAB 的外接圆的圆心为点 M , 点 F 是抛物线 C 的焦点, 对任意实数 a , 试 判断以 PM 为直径的圆是否恒过点 F ? 并说明理由. (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

a ? a ? 0? . x

(Ⅰ) 若函数 f ? x ? 有零点, 求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 证明:当 a ?

2 1 , b ? 1 时, f ? ln b ? ? . e b

请考生在第 22~23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? 3 ? t, (t 为参数 ) . 在以坐标原点为极点, ? y ? 1 ? t, ?? ? x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C : ? ? 2 2 cos ? ? ? ? . 4? ? (Ⅰ) 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ) 求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值.
在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ? (23) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
4

已知函数 f ? x ? ? x ? a ?1 ? x ? 2a . (Ⅰ) 若 f ?1? ? 3 ,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 若 a ? 1, x ? R , 求证: f ? x ? ? 2 .

数学(理科)参考答案
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题 (1)B (7)C 二、填空题 (13) 三、解答题 (17) 解: (Ⅰ) 在△ APC 中, 因为 ?PAC ? 60 , PC ? 2, AP ? AC ? 4 , 由余弦定理得 PC ? AP ? AC ? 2 ? AP ? AC ? cos ?PAC , ………………………1 分
2 2 2
2 2 ? 所以 2 ? AP ? ? 4 ? AP ? ? 2 ? AP ? ? 4 ? AP ? ? cos 60 , 2

(2)C (8)A

(3)A (9)B

(4)B (10)C

(5)D (11)A

(6)D (12)B

? 4

(14) ?540

(15) ? ??, ? ? ?8, ?? ? 2

? ?

1? ?

(16)

29 2

?

整理得 AP ? 4 AP ? 4 ? 0 , ………………………2 分
2

A

解得 AP ? 2 . ………………………3 分 所以 AC ? 2 . ………………………4 分 所以△ APC 是等边三角形. ………………………5 分 所以 ?ACP ? 60 .
?

B

P

C

………………………6 分
?

(Ⅱ) 法 1: 由于 ?APB 是△ APC 的外角, 所以 ?APB ? 120 . ………………………7 分 因为△ APB 的面积是 所以 PB ? 3 .

3 3 1 3 3 , 所以 ? AP ? PB ? sin ?APB ? .…………………8 分 2 2 2

………………………………………………………………………9 分
5

在△ APB 中, AB ? AP ? PB ? 2 ? AP ? PB ? cos ?APB
2 2 2

? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3 ? cos120?
? 19 ,
所以 AB ? 19 . ………………………………………………………………………10 分 在△ APB 中, 由正弦定理得 所以 sin ?BAP ?

AB PB ? , sin ?APB sin ?BAP

………………………11 分

3sin120? 3 57 .………………………………………………12 分 ? 38 19
A

法 2: 作 AD ? BC , 垂足为 D , 因为△ APC 是边长为 2 的等边三角形, 所以 PD ? 1, AD ? 3, ?PAD ? 30? . ……………7 分 因为△ APB 的面积是 所以 PB ? 3 . 所以 BD ? 4 .

B

P

D

C

3 3 1 3 3 , 所以 ? AD ? PB ? . 2 2 2

………………………8 分

………………………………………………………………………9 分

在 Rt△ ADB 中, AB ? 所以 sin ?BAD ?

BD2 ? AD2 ? 19 , ……………………………………10 分

BD 4 AD 3 ? , cos ?BAD ? . ? AB AB 19 19

? 所以 sin ?BAP ? sin ?BAD ? 30

?

?

? sin ?BAD cos30? ? cos ?BAD sin 30? ………………………11 分

?

4 3 3 1 ? ? ? 19 2 19 2
3 57 . ……………………………………………………………12 分 38

?
(18)解: (Ⅰ) 2 ? 2 列联表:

对服务满意 对商品满意 对商品不满意 80 70

对服务不满意 40 10

合计 120 80

6

合计

150

50

200

………………………………………………………………………2 分

200 ?? 8 ? 0 1? 0 4 ?0 ? 7 0 K ? ?1 1 . 1 1 1, 150 ? 5? 0 1? 20 80
2 2

………………………………………3 分

因为 11.111 ? 6.635 , 所以能有 99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”. …………4 分 (Ⅱ) 每次购物时,对商品和服务都满意的概率为

2 ,且 X 的取值可以是 0,1,2,3. 5

…………………………………………………………6 分

27 54 ? 3? 1? 2? ? 3? P ? X ? 0? ? ? ? ? ; P ? X ? 1? ? C3 ; ? ??? ? ? ? 5 ? 125 ? 5 ? ? 5 ? 125
8 ? 2 ? ? 3 ? 36 ? 3? 3?2? . ……………10 分 P ? X ? 2 ? ? C32 ? ? ? ? ? = ;P ? X ? 3? ? C3 ? ? ?? ? = ? 5 ? ? 5 ? 125 ? 5 ? ? 5 ? 125
X 的分布列为:
2 1 3 0

3

2

X
P

0

1

2

3

27 125

54 125

36 125

8 125
………………………………11 分 ………………………………12 分

所以 EX ? 0 ?

27 54 36 8 6 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 125 125 125 125 5

或者:由于 X ~ B? 3, ? ,则 EX ? 3 ?

? 2? ? 5?

2 6 ? . 5 5

………………………………12 分

(19) 解: (Ⅰ) 因为平面 ABD ⊥平面 BCD ,平面 ABD ? 平面 BCD ? BD , 又 BD ⊥ DC , 所以 DC ⊥平面 ABD . …………………………………1 分 因为 AB ? 平面 ABD ,所以 DC ⊥ AB . …………………………………2 分 又因为折叠前后均有 AD ⊥ AB ,DC ∩ AD ? D , …………………………………3 分 所以 AB ⊥平面 ADC . …………………………………………………………………4 分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 AB ⊥平面 ADC ,所以二面角 C ? AB ? D 的平面角为∠ CAD . ……5 分 又 DC ⊥平面 ABD , AD ? 平面 ABD ,所以 DC ⊥ AD .

CD ? 6. AD 因为 AD ? 1 ,所以 CD ? 6 .
依题意 tan ?CAD ? 设 AB ? x ? x ? 0? ,则 BD ?

……………………………………………………6 分

x2 ?1 .
x AB CD ? ,即 ? 1 AD BD
7

依题意△ ABD ~△ BDC ,所以

6 x ?1
2

.

………………7 分

解得 x ?

2 ,故 AB ? 2, BD ? 3, BC ? BD 2 ? CD 2 ? 3 .

………………8 分

法 1:如图所示,建立空间直角坐标系 D ? xyz ,则 D(0,0,0) , B( 3,0,0) , C (0, 6 ,0) ,

? 3 6 ? ? 3 6? E? ? 3 , 0, 3 ? ?, ? 2 , 2 ,0? ? , A? ? ? ? ? ???? ? 3 6 ? ??? ? ? 3 6? 所以 DE ? ? , DA ? ? , , 0 ? ? 2 2 ? ? 3 , 0, 3 ? ?. ? ? ? ?
由(Ⅰ)知平面 BAD 的法向量 n ? (0,1,0) .……………………………………………9 分 设平面 ADE 的法向量 m ? ( x, y, z)
z A

? ?? ???? ? ?m ? DE ? 0, ? ? 由 ? ?? ??? 得? ? ? ?m ? DA ? 0, ? ? ?

3 x? 2 3 x? 3

6 y ? 0, 2 6 z ? 0. 3
x B

D

令 x ? 6 ,得 y ? ? 3, z ? ? 3 , 所以 m ? ( 6,? 3,? 3) . 所以 cos ? n, m ??

E

C

y

………………………………………………10 分 ………………………………………………11 分

1 ?? . 2 | n|?| m|
1 . 2

n?m

由图可知二面角 B ? AD ? E 的平面角为锐角, 所以二面角 B ? AD ? E 的余弦值为 ……………………………………………12 分

法 2 :因为 DC ⊥平面 ABD , 过点 E 作 EF // DC 交 BD 于 F , 则 EF ⊥平面 ABD . 因为 AD ? 平面 ABD , 所以 EF ⊥ AD . ………………………………………………………………… 9 分 过点 F 作 FG ⊥ AD 于 G ,连接 GE , 所以 AD ⊥平面 EFG ,因此 AD ⊥ GE . 所以二面角 B ? AD ? E 的平面角为 ?EGF . ………………………………………10 分 A 由平面几何知识求得

EF ?

1 6 1 2 , FG ? AB ? , CD ? 2 2 2 2
2 2

G D F B E C

所以 EG ? EF ? FG ? 2 .

FG 1 ? . 所以 cos∠ EGF = EG 2
所以二面角 B ? AD ? E 的余弦值为 (20)解:

………………………………………………11 分

1 . ………………………………………………12 分 2

8

2 (Ⅰ) 法 1:由 x ? 4 y ,得 y ?

1 2 1 1 x ,所以 y? ? x . 所以直线 PA 的斜率为 x1 . 4 2 2 1 2 1 2 x1 , y2 ? x2 . 4 4

因为点 A ? x1 , y1 ? 和 B ? x2 , y2 ? 在抛物线 C 上, 所以 y1 ? 所以直线 PA 的方程为 y ?

1 2 1 x1 ? x1 ? x ? x1 ? . …………………………………1 分 4 2

因为点 P ? a, ?2 ? 在直线 PA 上, 所以 ?2 ?
2

1 2 1 x1 ? x1 ? a ? x1 ? ,即 x12 ? 2ax1 ? 8 ? 0 . ………………………………2 分 4 2
…………………………………………3 分

同理, x2 ? 2ax2 ? 8 ? 0 .
2

所以 x1 , x2 是方程 x ? 2ax ? 8 ? 0 的两个根. 所以 x1 x2 ? ?8 . 又 y1 y2 ? …………………………………………4 分 …………………………………………5 分 …………………………………………6 分

1 2 1 2 1 2 x1 ? x2 ? ? x1 x2 ? ? 4 , 4 4 16

所以 x1 x2 ? y1 y2 ? ?4 为定值.

法 2:设过点 P ? a, ?2 ? 且与抛物线 C 相切的切线方程为 y ? 2 ? k ? x ? a ? , ………………1 分 由?

? y ? 2 ? k ? x ? a?, 2 消去 y 得 x ? 4kx ? 4ka ? 8 ? 0 , 2 ? x ? 4 y,
2

由 ? ? 16k 2 ? 4 ? 4ak ? 8? ? 0 , 化简得 k ? ak ? 2 ? 0 . ……………………………2 分 所以 k1k2 ? ?2 .
2 由 x ? 4 y ,得 y ?

…………………………………………………………………3 分

1 2 1 x ,所以 y? ? x . 4 2 1 1 x1 ,直线 PB 的斜率为 k 2 ? x2 . 2 2
…………………………………………4 分 …………………………………………5 分 …………………………………………6 分

所以直线 PA 的斜率为 k1 ? 所以

1 x1 x2 ? ?2 , 即 x1 x2 ? ?8 . 4

又 y1 y2 ?

1 2 1 2 1 2 x1 ? x2 ? ? x1 x2 ? ? 4 , 4 4 16

所以 x1 x2 ? y1 y2 ? ?4 为定值. (Ⅱ) 法 1:直线 PA 的垂直平分线方程为 y ? 由于 y1 ?

y1 ? 2 x ?a? 2? ? ? ?x? 1 ?, 2 x1 ? 2 ?

……………7 分

1 2 2 x1 x ? 8 ? 2ax1 , 4 , 1

9

所以直线 PA 的垂直平分线方程为 y ? 同理直线 PB 的垂直平分线方程为 y ? 由①②解得 x ?

ax1 x ?a? 2? ? ? ?x? 1 ? . ① ……………8 分 4 x1 ? 2 ? ax2 x ?a? 2? ?? ?x? 2 ? . ② ……………9 分 4 x2 ? 2 ?

3 a2 a , y ? 1? , 2 2
……………………………………………………10 分

所以点 M ?

?3 a2 ? a,1 ? ? . 2 ? ?2

抛物线 C 的焦点为 F ? 0,1? , 则 MF ? ? ?

???? ? 3 ? a 2 ? ??? a, ? ? , PF ? ? ? a,3? . 2 ? ? 2

???? ??? ? 3a 2 3a 2 ? ? 0 ,……………………………………………………11 分 由于 MF ? PF ? 2 2 ???? ??? ? 所以 MF ? PF .
所以以 PM 为直径的圆恒过点 F . …………………………………………………12 分

? 3 ? a2 ? ? 另法: 以 PM 为直径的圆的方程为 ? x ? a ? ? x ? a ? ? ? y ? 2 ? ? y ? 1 ? ? ? 0. ……11 分 2 ? 2 ? ? ?
把点 F ? 0,1? 代入上方程,知点 F 的坐标是方程的解. 所以以 PM 为直径的圆恒过点 F . …………………………………………………12 分 法 2:设点 M 的坐标为 ? m, n ? , 则△ PAB 的外接圆方程为 ? x ? m ? ? ? y ? n ? ? ? m ? a ? ? ? n ? 2 ? ,
2 2 2 2

由于点 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 在该圆上, 则 ? x1 ? m ? ? ? y1 ? n ? ? ? m ? a ? ? ? n ? 2 ? ,
2 2 2 2

? x2 ? m ? ? ? y2 ? n ?
2

2

? ? m ? a ? ? ? n ? 2? .
2 2

两式相减得 ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? 2m? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? 2n ? ? 0 , ① …………7 分 由(Ⅰ)知 x1 ? x2 ? 2a, x1 x2 ? ?8, y1 ?

1 2 1 2 x1 , y2 ? x2 ,代入上式得 4 4
……………………………………8 分 ②

? x1 ? x2 ? ? 4a ? 4m ? a 3 ? 4a ? 2an ? ? 0 ,
当 x1 ? x2 时, 得 8a ? 4m ? a ? 2an ? 0 ,
3

???? ??? ? 假设以 PM 为直径的圆恒过点 F ,则 MF ? PF , 即 ? ?m, n ?1?? ? ?a, ?3? ? 0 ,
得 ma ? 3? n ?1? ? 0 , 由②③解得 m ? ③ ……………………………………………………9 分

3 1 a, n ? 1 ? a 2 , …………………………………………………10 分 2 2
10

所以点 M ?

1 ? ?3 a,1 ? a 2 ? . 2 ? ?2

……………………………………………………11 分

当 x1 ? x2 时, 则 a ? 0 ,点 M ? 0,1? . 所以以 PM 为直径的圆恒过点 F . (21)解: (Ⅰ)法 1: 函数 f ? x ? ? ln x ? …………………………………………………12 分

a 的定义域为 ? 0, ??? . x a 1 a x?a 由 f ? x ? ? ln x ? , 得 f ? ? x ? ? ? 2 ? 2 . x x x x

……………………………………1 分

因为 a ? 0 ,则 x ? ? 0, a ? 时, f ? ? x ? ? 0 ; x ? ? a, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以函数 f ? x ? 在 ? 0, a ? 上单调递减, 在 ? a, ??? 上单调递增. ………………………2 分 当 x ? a 时, ? ? f ? x ?? ? min ? ln a ? 1. 当 ln a ? 1 ? 0 , 即 0 ? a ? …………………………………………………3 分

1 时, 又 f ?1? ? ln1 ? a ? a ? 0 , 则函数 f ? x ? 有零点. …4 分 e
? 1? . ? e? ?
……………………………………………………5 分

所以实数 a 的取值范围为 ? 0, 法 2:函数 f ? x ? ? ln x ? 由 f ? x ? ? ln x ?

a 的定义域为 ? 0, ??? . x

a ? 0 , 得 a ? ? x ln x . …………………………………………………1 分 x

令 g ? x ? ? ?x ln x ,则 g? ? x ? ? ? ? ln x ? 1? . 当 x ? ? 0, ? 时, g? ? x ? ? 0 ; 当 x ? ? , ?? ? 时, g? ? x ? ? 0 . 所以函数 g ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递增, 在 ? , ?? ? 上单调递减. ……………………2 分

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

故x ?

1 1 1 1 ?1? 时, 函数 g ? x ? 取得最大值 g ? ? ? ? ln ? . …………………………3 分 e e e e ?e? 1 a 有零点, 则 0 ? a ? . ………………………………………4 分 e x
? 1? . ? e? ?
…………………………………………………5 分

因而函数 f ? x ? ? ln x ?

所以实数 a 的取值范围为 ? 0,

(Ⅱ) 令 h ? x ? ? x ln x ? a , 则 h? ? x ? ? ln x ?1 .

11

当0 ? x ?

1 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 时, f ? ? x ? ? 0 . e e

所以函数 h ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减, 在 ? , ?? ? 上单调递增.

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

1 1 时, ? h ? x ?? ?? ?a. ? ? min e e 2 1 1 于是,当 a ? 时, h ? x ? ? ? ? a ? . e e e
当x ?

………………………………………6 分 ① ………………………………………7 分

令 ? ? x ? ? xe? x , 则 ?? ? x ? ? e? x ? xe? x ? e? x ?1 ? x ? . 当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以函数 ? ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增, 在 ?1, ?? ? 上单调递减.

1 . ……………………………………………………………8 分 e 1 于是, 当 x ? 0 时, ? ? x ? ? . ② ………………………………………………9 分 e
当 x ? 1 时, ? ?? ? x ? ? ? max ? 显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立.

2 时, x ln x ? a ? xe? x . ……………………………………………10 分 e 因为 b ? 1, 所以 ln b ? 0 .
故当 x ? 0, a ? 所以 ln b ? ln ? ln b? ? a ? ln b ? e? ln b . 所以 ln ? ln b ? ? (22)解: (Ⅰ) 由 ? …………………………………………11 分 ………………………………………12 分

a 1 1 ? , 即 f ? ln b ? ? . ln b b b

? x ? 3 ? t, 消去 t 得 x ? y ? 4 ? 0 , ? y ? 1 ? t,

………………………………………1 分 ………………………………………2 分

所以直线 l 的普通方程为 x ? y ? 4 ? 0 . 由 ? ? 2 2 cos ? ? ?

? ?

??

? ?? ? ? ? 2 2 ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? 2cos ? ? 2sin ? , ……3 分 4? 4 4? ?
………………………………………4 分

得 ? 2 ? 2? cos? ? 2? sin ? .

将 ? 2 ? x2 ? y2 , ? cos? ? x, ? sin ? ? y 代入上式, 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y , 即 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 . ………5 分
2 2

(Ⅱ) 法 1:设曲线 C 上的点为 P 1 ? 2 cos ? ,1 ? 2 sin ? , ………………………………6 分

?

?

12

则点 P 到直线 l 的距离为 d ?

1 ? 2 cos ? ? 1 ? 2 sin ? ? 4 2 2 ? sin ? ? cos ? ? ? 2 2

…………………………7 分

?

?? ? 2sin ? ? ? ? ? 2 4? ? ? . ………………………………………8 分 2
当 sin ? ? ?

? ?

??

? ? ?1 时, dmax ? 2 2 , 4?

………………………………………9 分

所以曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 2 2 .………………………………10 分 法 2: 设与直线 l 平行的直线为 l ? : x ? y ? b ? 0 , 当直线 l ? 与圆 C 相切时, 得 解得 b ? 0 或 b ? ?4 (舍去), 所以直线 l ? 的方程为 x ? y ? 0 . 所以直线 l 与直线 l ? 的距离为 d ? ………………………………………8 分 ………………………………………6 分

1?1? b 2

? 2 , ………………………………………7 分

0?4 2

? 2 2 . …………………………………9 分

所以曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 2 2 . ………………………………10 分 (23)解: (Ⅰ) 因为 f ?1? ? 3 ,所以 a ? 1 ? 2a ? 3 . ………………………………………1 分

2 2 ,所以 ? ? a ? 0 ; ……………2 分 3 3 1 1 ② 当 0 ? a ? 时,得 a ? ?1 ? 2a ? ? 3 ,解得 a ? ?2 ,所以 0 ? a ? ; ……………3 分 2 2 1 4 1 4 ③ 当 a ? 时,得 a ? ?1 ? 2a ? ? 3 ,解得 a ? ,所以 ? a ? ; ……………4 分 2 3 2 3
① 当 a ? 0 时,得 ?a ? ?1 ? 2a ? ? 3 ,解得 a ? ? 综上所述,实数 a 的取值范围是 ? ? , ? . (Ⅱ) 因为 a ? 1, x ? R , 所以 f ? x ? ? x ? a ? 1 ? x ? 2a ? ? x ? a ? 1? ? ? x ? 2a ? ……………………………7 分

? 2 4? ? 3 3?

………………………………………5 分

? 3a ?1

……………………………………………………………………8 分
13

? 3a ? 1
? 2.

……………………………………………………………………9 分 ……………………………………………………………………10 分

14


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