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第1章 分析力学基础 1-6拉格朗日第二类方程的积分_图文

1-6

拉格朗日第二类方程的积分

拉格朗日第二类方程的求解需要对拉格朗日第二类方程进行 积分。

对于保守系统,可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的
首次积分,从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简 化。

保守系统拉格朗日方程的首次积分包括:能量积分、循环
积分。

M1-1

一、能量积分 设系统所受的约束为定常约束,则 ri ? ri ( q1 , q2 , ... qN ) 中不 显含t ,则
?ri vi ? ri ? ? qk k ?1 ?qk
N

? ?ri ?ri ? 1 1 1 T ? ? mi vi ?vi ? ? mi ? ? qk ? ? ql ? ? ? mkl qk ql 2 k , l ?1 2 i ?1 2 i ?1 ? k ?1 ?qk ? q l l ?1 ?
n

n

N

N

N

其中

?ri ?ri mkl ? ? mi ? ? q ? q k l i ?1
M1-2

n

是广义坐标的函数,称为广义质量

很容易证明
?T q ? 2T ? k ? q k k ?1
N

注意势能 V 不含 qi 项,可得
?L q ? ?(T ? V ) q ? 2T k ? k ? ? q ? q k k k ?1 k ?1
N N

d ?L ? ?L ? 0 将方程 两边乘 qk 对k求和 dt ?qk ?qk

? d ? ?L ? ?? dt ? ?qk k ?1 ?

N

? q ? ?L q ? ? 0 ? k ?q k ? k ? ?
M1-3

? d ? ?L ? ?? dt ? ?qk k ?1 ?
N

N

? q ? ?L q ? ? 0 ? k ?q k ? k ? ?

? d ? ?L ? ? L ? L ? ? ?? ? qk ? ? qk ? qk ? dt ? ?qk ? ?qk ?qk ? k ?1 ? d ? L ? L ? L ? ? ? ? ? ?? qk ? ? ? qk ? qk ? ?qk ? dt k ?1 ? ?qk ? k ?1 ? ?qk ?
N N

d d T d L ?2 ? ? (2T ? L) ? 0 dt dt dt 积分上式,可得。
2T ? L ? C T ?V ? C
M1-4

积分上式,可得。
T ?V ? C

上式是保守系统的机械能守恒定律,也称为保守系统的广义能

量守恒。也称为保守系统的拉格朗日方程的能量积分。

M1-5

二、循环积分 如果拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标 qk , 则该坐标 称为保守系统的循环坐标或可遗坐标。 当 qk (k ? N ) 为系统的循环坐标时,必有

于是拉氏方程成为

?L ? 0 ?qk
d ( ?L ) ? ?L ? 0 dt ?qk ?qk

积分得:

?L ? C ?qk

(k ? N )

称为拉格朗日方程的循环积分
M1-6

因L = T - V,而V中不显含 qk ,故上式可写成

?L ? ? (T ?V ) ? ?T ? p ? C k ?qk ?qk ?qk
pk称为广义动量,因此循环积分也可称为系统的广义动量 积分。 保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。

能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一
次得到的,它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。 一个系统的能量积分只可能有一个;而循环积分可能不止 一个,有几个循环坐标,便有几个相应的循环积分。
M1-7

[例 ]

楔形体重P,斜面倾角?,置于光滑水平面上。均质圆柱体重

Q,半径为 r ,在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系统静止,且圆 柱体位于斜面最高点。

试求:(1)系统的运动微分方程;(2)楔形体的加速度;(3)系统的能
量积分与循环积分。

解:研究楔形体与圆柱体组成 的系统。系统受理想、完整、 定常约束,具有两个自由度。 取广义坐标为x, s ;各坐标原点

均在初始位置。
M1-8

我们已知道系统动能和势能为
1 V ? Ph ? Q (h ? s ? sin? ? r cos? ) 3
P ?Q 2 3 Q 2 Q 1 T? ? x ? s ? xs cos? 2 g 4g g

1 ? P ? Q x 2 ? 3 Q s 2 ? Q xs cos? ? 1 Ph ? Q(h ? s ? sin ? ? r cos? ) ? C 1 2 g 4g g 3

当t =0时, x ??s ? ? 0 ,x = s = 0 , 代入上式中,得

1 C1 ? Ph ?Q ( h ? rcos? ) 3 1 ? P ? Q x 2 ? 3 Q s 2 ? Q xs cos? ? Q ? s ? sin? ? 0 2 g 4g g
M1-9

由于拉格朗日函数L中不显含广义坐标x,故 x 为系统循环 坐标,故有循环积分:

?L ?T P ?Q ? Q ? Px ? ? ? x ? scos? ?C2 ? ?x ? ?x g g

??s ? ? 0 ,故上式中C2 = 0 ,可得 t = 0时 x
( P ? Q ) x ? Qs cos? ? 0

1 ? P ? Q x 2 ? 3 Q s 2 ? Q xs cos? ? Q ? s ? sin? ? 0 2 g 4g g
上两式即为系统的能量积分和循环积分。 第二式实际上是
系统的机械能守恒方程。 第一式实质上是系统的动量在x方向 守恒。
M1-10

[例] 一均质圆柱体可绕其垂直中心轴自由
转动,圆柱表面刻有倾角为 ? 的螺旋槽。 小球 M 自静止沿槽下滑,已知小球质量为

m1圆柱体质量为m2,半径为R,
试求:小球下降高度为 h 时,小球相对圆 柱体的速度,圆柱体的角速度?。

解:系统受理想、完整、定常约束,

具有两个自由度。取广义坐标为?, s ;
各坐标原点均在初始位置。

M1-11

小球的动能

T1 ? 1 m1v12 2 ? 1 m1[vr 2 ? ve 2 ? 2vr ve cos(180 ? ? )] 2 ? 1 m1 (s 2 ? R2? 2 ? 2sR? cos ? ) 2 圆柱体的动能 T2 ? 1 J? 2 ? 1 m2 R 2? 2 2 4 系统的动能

T ? T1 ? T2

M1-12

系统的势能(取小球的起点为势能零点):

V ? ?m1 gs sin?
系统的拉格朗日函数为
2 2 2 2 2 1 1 L ? m1 (s ? R ? ? 2sR? cos ? ) ? m2 R ? ? m1gs sin ? 2 4 2 2 2 1 L ? [2m1s ? (2m1 ? m2 ) R ? ? 4m1sR? cos ? ] ? m1gs sin ? 4

由于拉格朗日函数L中不显含时间t,广义坐标?,故?为 系统循环坐标,故有循环积分和能量积分。
?L ? C 1 ??

T ? V ? C2
M1-13

?L ? C 1 ??

1 [(2m ? m ) R2? ? 2m sR cos ? ] ? C 1 2 1 1 2
1 [2m s 2 ? (2m ? m ) R2? 2 ? 4m sR? cos ? ] ? m gs sin ? ? C 1 1 2 1 1 2 4

T ? V ? C2

当t =0时, ? ? s ? 0 代入上式中,得
C1 ? C2 ? 0 (2m1 ? m2 ) R2? ? 2m1sR cos ? ? 0
1 [2m s 2 ? (2m ? m ) R2? 2 ? 4m sR? cos ? ] ? m gs sin ? ? 0 1 1 2 1 1 4

化简,得

2m1 ?? s cos ? (2m1 ? m2 ) R
2 2m1 sin 2 ? ? m2 2 s ? 2 gs sin ? ? 0 (2m1 ? m2 )
M1-14

2m1 ?? s cos ? (2m1 ? m2 ) R
2 2 2m1 sin ?

? m2 2 s ? 2 gs sin ? ? 0 (2m1 ? m2 )

当ssin? =h ,得
2 2m1 sin 2 ? ? m2 2 s ? 2 gh ? 0 (2m1 ? m2 )

(2m1 ? m2 )2 gh s? 2m1 sin 2 ? ? m2 2m1 cos ? 2 gh ?? R (2m1 ? m2 )(2m1 sin 2 ? ? m2 )

M1-15

M1-16

1 T ? ? mkl qk ql 2 k , l ?1 ?T ? m q kl l ? ?qk l ?1
N ? ? ?T q ? mkl ql ?qk ? ?qk k ? ? ? ? ? k ?1 k ?1 ? l ?1 ? N N

N

N

?T q ? ? ?qk k k ?1

N

k ,l ?1

? mkl qk ql

N

? 2T

M1-17

T ? 1 ? mkl qk ql ? 1 (m11q1q1 ? m12q1q2 ? m21q2q1 ? m22q2q2 ) 2 k , l ?1 2

2

?T ? 1 (2m q ? 2m q ) ? m q ? m q ? m q 11 1 12 2 11 1 12 2 1l l ? ?q1 2 l ?1
?T ? 1 (2m q ? 2m q ) ? m q ? m q ? m q 21 1 22 2 21 1 22 2 2l l ? ?q2 2 l ?1
2

2

?T ? m q kl l ?qk ? l ?1

N

M1-18

n N N ? ? 1 ? r ? r 1 i i T ? ? mi vi ?vi ? ? mi ? ? qk ? ? ql ? 2 i ?1 2 i ?1 ? k ?1 ?qk ?ql ? l ?1 n N N N ? ? ? ? ?ri ?ri ?ri ?ri 1 1 ? qk ql ? ? ? mi ? ?? ? qk ql ? ? ? mi ? ? 2 i ?1 ? k ?1 l ?1 ?ql ?qk ? ? 2 i ?1 ? k,l ?1 ?ql ?qk n

n

?ri ?ri 1 ? ? ? mi ? qk ql ? 1 2 k,l ?1 i ?1 ?ql ?qk 2
n

N

n

k , l ?1

? mkl qk ql

N

?ri ?ri mkl ? ? mi ? ?qk ?ql i ?1

M1-19


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