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二次函数精选练习题


二次函数精选练习压轴题 1.如图,已知二次函数 y=x2+bx+c 过点 A(1,0),C(0,-3) (1)求此二次函数的解析式; (2)在抛物线上存在一点 P 使△ABP 的面积为 8,请直接写出点 P 的坐标.

2.已知二次函数 y=a(x﹣m)2﹣a(x﹣m)(a,m 为常数,且 a≠0). (1)求证:不论 a 与 m 为何值,该函数的图象与 x 轴总有两个公共点; (2)设该函数的图象的顶点为 C,与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 D. ①当△ABC 的面积等于 1 时,求 a 的值; ②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时,求 m 的值.

3. 已知二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与 x 轴交于 A(x1,0) 、B(x2,0) (x1<x2) 两点,与 y 轴交于点 C,x1,x2 是方程 x2+4x﹣5=0 的两根. (1)若抛物线的顶点为 D,求 S△ABC:S△ACD 的值; (2)若∠ADC=90° ,求二次函数的解析式.

4. 水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售,经过还价,实际价格每千克比原 来少 2 元,发现原来买这种水果 80 千克的钱,现在可买 88 千克. (1)现在实际购进这种 水果每千克多少元? (2)王阿姨准备购进这种水果销售,若这种水果的销售量 y(千克)与销售单价 x(元/千 克)满足如图所示的一次函数关系. ①求 y 与 x 之间的函数关系式; ②请你帮王阿姨拿个主意, 将这种水果的销售单价定为多少时, 能获得最大利润?最大利润 是多少?(利润=销售收入﹣进货金额)

5.为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:由政府协调,本市企业按成本价 提供产品给大学毕业生自主销售, 成本价与出厂价之间的差价由政府承担. 李明按照相关政 策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件 10 元,出厂价为 每件 12 元, 每月销售量 y (件) 与销售单价 ( x 元) 之间的关系近似满足一次函数: y=﹣10x+500. (1) 李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元, 那么政府这个月为他承担的总差价 为多少元? (2)设李明获得的利润为 w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润? (3)物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于 25 元.如果李明想要每月获得的利润 不低于 300 元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元?

6. 已知△ABC 中,边 BC 的长与 BC 边上的高的和为 20. (1)写出△ABC 的面积 y 与 BC 的长 x 之间的函数关系式,并求出面积为 48 时 BC 的长; (2)当 BC 多长时,△ABC 的面积最大?最大面积是多少? (3)当△ABC 面积最大时,是否存在其周长最小的情形?如果存在,请说出理由,并求出 其最小周长;如果不存在,请给予说明.

7. 今年,6 月 12 日为端午节。在端午节前夕,三位同学到某超市调研一种进价为 2 元的粽 子的销售情况。请根据小丽提供的信息,解答小华和小明提出的问题。

8.已知:直线 y=ax+b 过抛物线 y=﹣x?﹣2x+3 的顶点 P,如图所示. (1)顶点 P 的坐标是 ( , ) ; (2)若直线 y=ax+b 经过另一点 A(0,11) ,求出该直线的表达式; (3)在(2)的条件下,若有一条直线 y=mx+n 与直线 y=ax+b 关于 x 轴成轴对称,求直线 y=mx+n 与抛物线 y=﹣x?﹣2x+3 的交点坐标.

9.如图,等腰梯形花圃 ABCD 的底边 AD 靠墙,另三边用长为 40 米的铁栏杆围成,设该花 圃的腰 AB 的长为 x 米. (1)请求出底边 BC 的长(用含 x 的代数式表示); (2)若∠BAD=60°,该花圃的面积为 S 米 2. ①求 S 与 x 之间的函数关系式(要指出自变量 x 的取值范围),并求当 S=93 根号三时 x 的 值;②如果墙长为 24 米,试问 S 有最大值还是最小值?这个值是多少?

10. 如图,抛物线的图象 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点, 已知 B 点坐标为(4,0). (1)求抛物线的解析式和抛物线的对称轴; (2)在对称轴上 是否存在一点 P,使得 PA+PC 最短,若存在,求出 P 的坐标,若不存在,请说明理由;(3) 在对称轴上是否存在一点 Q。 使得/QC-QB/若存在, 求出 Q 的坐标, 若不存在, 请说明理由; (4)若点 M 事线段 BC 下方的抛物线上一点,求△MBC 的面积的最大值,并求出此时 M 的坐标。

11. 如图,直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2+bx+6(a≠0)相交于 A( , )和 B(4,m),点 P 是线段 AB 上异于 A、B 的动点,过点 P 作 PC⊥x 轴于点 D,交抛物线于点 C. (1)求抛物线的解析式; (2)是否存在这样的 P 点,使线段 PC 的长有最大值,若存在,求出这个最大值;若不存

在,请说明理由;

12. 如图,抛物线 y=﹣ x2+mx+n 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,抛物线的对
称轴交 x 轴于点 D,已知 A(﹣1,0),C(0,2). (1)求抛物线的表达式; (2)在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使△PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形?如果存在, 直接写出 P 点的坐标;如果不存在,请说明理由; (3)点 E 时线段 BC 上的一个动点,过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F,当点 E 运 动到什么位置时,四边形 CDBF 的面积最大?求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的 坐标.

13. 如图,已知抛物线 y ? 交点为 C.

3 2 3 ,与 y 轴的 x ? x ? 3 与 x 轴的交点为 A、D(A 在 D 的右侧) 8 4

(1)直接写出 A、D、C 三点的坐标; (2)若点 M 在抛物线上,使得△MAD 的面积与△CAD 的面积相等,求点 M 的坐标; (3)设点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 B,在抛物线上是否存在点 P,使得以 A、B、 C、P 四点为顶点的四边形为梯形?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

14. 如图,抛物线交 x 轴于点 A(﹣2,0) ,点 B(4,0) ,交 y 轴于点 C(0,﹣4) . (1)求抛物线的解析式,并写出顶点 D 的坐标; (2) 若直线 y=﹣x 交抛物线于 M, N 两点, 交抛物线的对称轴于点 E, 连接 BC, EB, EC. 试 判断△EBC 的形状,并加以证明; (3)设 P 为直线 MN 上的动点,过 P 作 PF∥ED 交直线 MN 下方的抛物线于点 F.问:在 直线 MN 上是否存在点 P,使得以 P、E、D、F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请 求出点 P 及相应的点 F 的坐标;若不存在,请说明理由.

15. 如图,在直角坐标系中有一直角三角形 AOB,O 为坐标原点 ,OA=1,BO=3,将此三 角形绕原点 O 逆时针旋转 90°,得到△DOC.抛物线 经过点 A、B、C.

(1)求抛物线的解析式. (2)求抛物线的顶点坐标 (3)求△ABC 的面积 (4)求直线 CD 的解析式 (5)直线 y=x/3+m,当 m 为何值时与抛物线有一个交点?二个交点?没有交点?

(6)设抛物线对称轴 l,在 l 上是否存在一点 P,使得 PA+PB 最短?若存在,求出 p 点坐 标;若不存在请说明理由。

(7)设抛物线对称轴 l,在 l 上是否存在一点 Q,使得/QC-QB/最长?若存在,求出 Q 点坐 标;若不存在,请说明理由。

(8) 设抛物线对称轴 l, 在 l 上是否存在一点 M, 使得△MCD 是以 CD 为腰的等腰三角形? 若存在,求出 M 点坐标;若不存在,请说明理由。

(9)若点 S 是第二象限内抛物线上的动点,过 S 作 x 轴的垂线交 CD 于 M,是否存在一点 S,使得以四边形 SMDB 为平行四边形,若存在,求出 S 点坐标;若不存在,请说明理由。

(10)若点 T 是第二象限内抛物线上的动点,是否存在一点 T,使得△TCD 的面积最大? 若存在,求出△TCD 的面积的最大值,并求出此时 T 点的坐标;若不存在,请说明理由。

16. 在 2014 年巴西世界杯足球赛前夕,某体育用品店购进一批单价为 40 元的球服,如果按
单价 60 元销售,那么一个月内可售出 240 套.根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的 减少,即销售单价每提高 5 元,销售量相应减少 20 套.设销售单价为 x(x≥60)元,销售量 为 y 套. (1)求出 y 与 x 的函数关系式. (2)当销售单价为多少元时,月销售额为 14 000 元? (3)当销售单价为多 少元时,才能在一个月内获得最大利润?最大利润是多少?

17.某校在基地参加社会实践话动中,带队老师考问学生:基地计划新建一个矩形的生物园 地,一边靠旧墙(墙足够长),另外三边用总长 69 米的不锈钢栅栏围成,与墙平行的一边 留一个宽为 3 米的出入口, 如图所示, 如何设计才能使园地的而积最大?下面是两位学生争 议的情境: 请根据上面的信息,解决问题: (1)设 AB=x 米(x>0),试用含 x 的代数式表示 BC 的长; (2)请你判断谁的说法正确,为什么?

18. 某水果店销售某中水果,由历年市场行情可知,从第 1 月至第 12 月,这种水果每千克
售价 y1(元)与销售时间第 x 月之间存在如图 1(一条线段)的变化趋势,每千克成本 y2 (元)与销售时间第 x 月满足函数关系式 y2=mx2﹣8mx+n,其变化趋势如图 2.

(1)求 y2 的解析式; (2)第几月销售这种水果,每千克所获得利润最大?最大利润是多少?

19.已知抛物线 y=ax?+bx+c 经过点 A(-1,0),B(2,0),C(0,2)三点。(1)求这条抛物线的 解析式。(2)如图,点 P 是第一项先内此抛物线的一个动点,当点 P 运动到什么位置时, 四边形 ABPC 的面积最大?求出此时点 P 的坐标。 图:

20.如图,已知抛物线 y=-1/2x?+bx+c 图像经过 A(-1,0),B(4,0)两点。(1)求抛物线的 解析式(2)若 C(m,m-1)是抛物线上位于第一象限内的点,D 是线段 AB 上的一个动点 (不与 AB 重合)过 D 分别作 DE∥BC 交 AC 于 E,DF∥AC 交 BC 于 F.①求证:四边形 DECF 是矩形;②连接 EF,线段 EF 的长是否存在最小值?若存在,求出 EF 的最小值;若 不存在,请说明理由。 图:

21. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+ bx+4 与 x 轴的一个交点为 A(﹣2,0), 与 y 轴的交点为 C,对称轴是 x=3,对称轴与 x 轴交于点 B. (1)求抛物线的函数表达式; (2)经过 B,C 的直线 l 平移后与抛物线交于点 M,与 x 轴交于点 N,当以 B,C,M,N 为顶点的四边形是平行四边形时,求出点 M 的坐标; (3)若点 D 在 x 轴上,在抛物线上是否存在点 P,使得△PBD≌△PBC?若存在,直接写 出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

22 已知抛物线 l:y=ax2+bx+c(a,b,c 均不为 0)的顶点为 M,与 y 轴的交点为 N,我们 称以 N 为顶点,对称轴是 y 轴且过点 M 的抛物线为抛物线 l 的衍生抛物线,直线 MN 为抛 物线 l 的衍生直线. (1)如图,抛物线 y=x2﹣2x﹣3 的衍生抛物线的解析式是( 式是( ); ),衍生直线的解析

(2) 若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是 y=﹣2x2+1 和 y=﹣2x+1, 求这条抛物线 的解析式; (3)如图,设(1)中的抛物线 y=x2﹣2x﹣3 的顶点为 M,与 y 轴交点为 N,将它的衍生 直线 MN 先绕点 N 旋转到与 x 轴平行,再沿 y 轴向上平移 1 个单位得直线 n,P 是直线 n 上 的动点,是否存在点 P,使△POM 为直角三角形?若存在,求出所有点 P 的坐标;若不存 在,请说 明理由.

23. 如图,△ABC 的顶点坐标分别为 A(﹣6,0),B(4,0),C(0,8),把△ABC
沿直线 BC 翻折,点 A 的对应点为 D,抛物线 y=ax2﹣10ax+c 经过点 C,顶点 M 在直线 BC 上(1)证明四边形 ABCD 是菱形,并求点 D 的坐标; (2)求抛物线的对称轴和函数表达式; (3)在抛物线上是否存在点 P,使得△PBD 与△PCD 的面积相等?若存在,直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

24. 如图 1,已知抛物线 y=ax?+bx(a≠0)经过 A(3,0)、B(4,4)两点. (1)求抛物线的解析式; (2)将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点 D,求 m 的值及点 D 的坐标;

25. 已知抛物线:y1=-?x?+2x (1)求抛物线 y2 的解析式. (2)将抛物线 y1 向右平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位,得到抛物线 y2。求抛物线 y2 的解析式。 (3)如图,抛物线 y2 的顶点为 P,x 轴上有一动点 M,在 y1、y2 这两条抛物线上是否存在 点 N,使 O(原点)、P、M、N 四点构成以 OP 为一边的平行四边形?若存在,求出 N 点 的坐标;若不存在,请说明理由.

26. 如图,矩形 OBCD 的边 OD、OB 分别在 x 轴正半轴和 y 轴的负半轴上,且 OD=10,
OB=8,将矩形的边 BC 绕点 B 逆时针旋转,使点 C 恰好与 x 轴上的点 A 重合 (1)直接写出点 A、B 的坐标:A(____________,____________)、B(____________, ____________); (2)若抛物线 y=﹣ x +bx+c 经过 A、B 两点,则这条抛物线的解析式是____________; (3)若点 M 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点,作 MN⊥x 轴于点 N,问是否存在点 M, 使△AMN 与△ACD 相似?若存在,求出点 M 的横坐标;若不存在,说明理由; (4)当 ≤x≤7 时,在抛物线上存在点 P,使△ABP 得面积最大,求△ABP 面积的最大值.
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