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安徽省百校论坛2017届高三上学期第二次联考理数试题Word版含答案.doc


数学理试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
2 1.若集合 A ? x ? Z | x ? x ? 12 ? 0 , B ? ? x | x ? sin 5? ? , 则 A ? B 中元素的个数为 (

?

?



A.2

B.3

C.4

D.5 )

2.设向量 a ? ? 2, m? , b ? ?1, ?1? ,若 b ? ? a ? 2b ? ,则实数 m 等于( A.2 B.4 C.6 D.-3

3.已知正项等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 4a2 ? a4 ,则

S4 等于( a2 ? a5



A.

5 6

B.

5 7

C.

3 4

D.

7 9

2 ? 0 ,则下列叙述正确的是( ) 2x 2 A. ? p 为: ?x ? ?1, ?? ? , log 3 ? x ? 2 ? ? x ? 0 B. ? p 为: 2 2 2 ?x ? ?1, ?? ? , log 3 ? x ? 2 ? ? x ? 0 C. ? p 为: ?x ? ? ??,1? , log 3 ? x ? 2 ? ? x ? 0 2 2 D. ? p 是假命题
4.已知命题 p : ?x ? ?1, ?? ? , log 3 ? x ? 2 ? ? 5.已知函数 f ? x ? 是偶函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 处切线的斜率为-1,则实数 a 的值为( A. ? ) D. ?

ax 2 .若曲线 y ? f ? x ? 在点 ? ?1, f ? ?1? ? x ?1

3 4

B.

4 3

C.

3 2

3 2

6.若 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 2b sin 2 A ? 3a sin B ,且 c ? 2b , 则

a 等于( b



A.

2 2

B.

3 3

C. 2

D. 3 )

7.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且 3a3 ? a6 ? 4 , 则 “ a2 ? 1 ” 是 “ S5 ? 10 ” 的 (

A.充分不必要条件 分也不必要条件 8.已知 4cos ? ? ?

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充

? ?

??

?? ?? ? ? ? cos ? ? ? ? ? sin 2? ,则 tan ? 2? ? ? 等于( 3? 6? 6? ? ?
3 9
C. ?



A.

1 6

B.

3 6

D. ?

3 3

? x ? y ? 3 ? 0, ? 9.已知约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, ,表示的可行域为 D ,其中 a ? 1 ,点 ? x0 , y0 ? ? D ,点 ? x?a ?

? m, n? ? D .若 3x0 ? y0 与
A.

n ?1 的最小值相等,则实数 a 等于( m
C.2 D.3



5 4

B.

3 2

10.将函数 f ? x ? ? sin 2x 的图象向右平移 ? ? 0 ? ? ? 函数 g ? x ? 在区间 ? 0, 则 ? 的取值范围是( A. ?

? ?

??

? 个单位后得到函数 g ? x ? 的图象.若 2?

? ? ? ?? ? ? 上单调递增,且函数 g ? x ? 的最大负零点在区间 ? ? , ? ? 上, ? ? 3? ? 3 12 ?
) B. ?

?? ? ? , ?12 4 ? ?

? ? 5? ? , ? ? 6 12 ?

C. ? , ? ?6 3?

?? ? ?
??? ?

D. ?

?? ? ? , ? ? 6 4?

11.在 ? ABCD 中, ?BAD ? 60? , E 是 CD 上一点,且 AE ? 若 AC ?EB ? A.

???? ??? ? 1 2

1 ???? 2 AD ,则 ? 等于( 2 3 B. C.2 2
x 2

? ??? ? ??? ? ???? 1 ??? AB ? BC , AB ? ? AD . 2

) D.3

12.已知函数 f ? x ? ? ae ? x ? ? 2a ? 1? x ,若函数 f ? x ? 在区间 ? 0,ln 2? 上有最值,则实数

a 的取值范围是(
A. ? ??, ?1?

) B. ? ?1,0? 第Ⅱ卷(共 90 分) C. ? ?2, ?1? D. ? ??,0? ? ? 0,1?

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

5? x ? sin , x ? 0, ? ? 2 13.已知函数 f ? x ? ? ? 则 f ?f 3 3 ?? ? ? 1 ? ? log x, x ? 0, 3 ? ?6

? ?



14.已知非零向量 a , b 满足 2 a ? 3 b , a? ? a ? 2b? ? b2 ,则 a 与 b 的夹角的余弦值 为 .

15.设函数 f ? x ? ?

9 ? sin 2 x 的最小值为 m ,且与 m 对应的 x 最小正值为 n ,则 8cos 2 x ? 16


m? n ?

16.已知数列 ?an ? 满足 an ?1 ? 2 ? 50 项和为 .

a ?1 3an ? 4 ,且 a1 ? 1 ,设 bn ? n ,则数列 ?bn ? bn?1? 的前 2 2an ? 3

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 2sin A ? a cos B, b ? 5 . (1)若 c ? 2 ,求 sin C ; (2)求 ?ABC 面积的最大值. 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 3 sin 2 x ? 2cos 2 x ? a 在区间 ? ? (1)求函数 f ? x ? 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值为 2. , ? 12 2 ? ?

? ? ?? 上的值域; , ? 12 2 ? ?

(2)设 ? , ? ? ? 0,

? ? 10 ? ? ? ?1 ?, f ? ? ? ? ? , 12 ? 13 ? 2? ?2

?? 6 ?1 f ? ? ? ? ? ,求 sin ?? ? ? ? 的值. 3? 5 ?2
, Sn , a 成等差数列 ? n ? N ? ? .

19. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 2 (1)求 a 的值及数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? ? ? an ?1? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 20. (本小题满分 12 分)
n?1

如图,在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且

1 a sin A cos C ? c sin A cos A ? c , D 为 AC 边上一点. 3

(1)若 c ? 2b ? 4, S ?BCD ?

5 ,求 DC 的长; 3

(2)若 D 是 AC 的中点,且 cos B ? 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2x ? ax ? 8 .
3 2

2 5 , BD ? 26 ,求 ?ABC 的最短边的边长. 5

(1)若 f ? x ? ? 0 对 ?x ??1, 2? 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在整数 a ,使得函数 g ? x ? ? f ? x ? ? 4ax ?12a x ? 3a ? 8 在区间 ? 0, 2 ? 上存
2 2 3

在极小值,若存在,求出所有整数 a 的值;若不存在,请说明理由. 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? ln x, F ? x ? ? e ? ax ,其中 x ? 0, a ? 0 .
x

(1)若 f ? x ? 和 F ? x ? 在区间 ? 0,ln3? 上具有相同的单调性,求实数 a 的取值范围; (2)若 a ? ? ??, ? 值.

? ?

1? ax ?1 , 且函数 g ? x ? ? xe ? 2ax ? f ? x ? 的最小值为 M ,求 M 的最小 2? e ?

试卷答案 一、选择题 1. B 2. C

A ?? ? 3 , ?2 , ? 1, 0 ? , 1, B2 ? ? ,x x ? A ? B ? ??3, ?2, ?1? ,故选 B . ?| ,则0 ?b ? ? a? 2 b ? ,所以 b?? a ? 2b? ? 0 ,即 4 ? m ? 2 ? 0 ,得 m ? 6 .
设公比为 q ,由 4a2 ? a4 得 q ? 2,

3. A 4. D

a1 ? 24 ? 1? 5 S4 ? ? . a2 ? a5 2a1 ? a1 24 6
2 2 ? 0 ,又函数 f ? x ? ? log 3 ? x ? 2 ? ? x 在 x 2 2

? p 为: ?x ? ?1, ?? ? , log 3 ? x ? 2 ? ?

?1, ??? 上是增函数,所以 f ? x? ? f ?1? ? 0 ,故 p 是真命题,即 ? p 是假命题.
5. B 当 x ? 0 时, f ′ ? x? ?

ax 2 ? 2ax

? x ? 1?

2

,函数 f ? x ? 是偶函数, f ′ ? ?1? ? ?1 ∴ f ′ ?1? ? 1,



3a 4 ? 1 ,得 a ? . 4 3
由 2b sin 2 A ? 3a sin B 得 4sin B sin A cos A ? 3sin A sin B ,得 cos A ?

6. C

3 , 4

又. c ? 2b ∴ a ? b ? c ? 2bc cos A ,则
2 2 2

a ? 2. b

7. A

设公差为 d , 由 3a3 ? a6 ? 4 得 3a2 ? 3d ? a2 ? 4d ? 4 , 即 d ? 2a2 ? 4 , 则由 S5 ? 10



5 ? a1 ? a5 ? ? 2

5 ? a2 ? a4 ? 5 ? 6a2 ? 8 ? ? ? 10 ,即有 a2 ? 2 .选 A . 2 2
8. B 由已知得

?? ? ?? ?? ? ? ?4sin ?? ? ? cos ? ? ? ? ? ?2sin ? 2? ? ? ? ? sin 2? ? 3 cos 2? ? sin 2? ,即 6? 6? 3? ? ? ?
?? 3 ? tan 2? ? ,∴ tan ? 2? ? ? ? 6? 2 ?
3 3 ? 2 3 ? 3. 9 3 3 1? ? 2 3

9. C

作出大致可行域,则取点 ?1, 2 ? 时,3x0 ? y0 取最小值 1.

n ?1 表示经过可行域内一点 m

? m, n? 与点 ? 0, ?1? 的直线的斜率,当取直线 x ? y ? 3 ? 0 与 x ? a 的交点坐标 ? a,3 ? a ? 时,
n ?1 4?a ? 1 ,得 a ? 2 . 取最小值,即 m a
10. D

g ? x? ? s i n ? ? 2 ? 2x ? ,则函数 g ? x ? 的单调增区间为

? ? ? ? k ? ? ? ? , k ? ? ?? ? ?k ? Z ? , ? 4 4 ? ?
? ? ? ? ? ? 0, ? ? ? ? ? ? 4 ? ?? ? ? ? ? 0 ? ? ? ,∴ ?0, ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? ? ;由 解得 2 12 4 4 ? 3? ? 4 ? ? ? ?? ? ? , ? 3 ?4
2 x ? 2? ? k? 得 x ?
? k? ? ? ? ? k ? Z ? ,∴函数 g ? x ? 的最大负零点为 ? ? ,则 2 2

?
3

?? ?

?

11. C

2 12 6 12 6 4 ??? ? 1 ??? ? ??? ? ???? 1 ??? ? 1 ???? 由 AE ? AB ? BC 得 DE ? AB ? DC ,即 E 是 CD 的中点, 2 2 2

??

?

,解得

?

?? ?

?

.综上得

?

?? ?

?

.

则 AC ?EB ?

??? ? ??? ?

? ???? 1 ??? AB ? AD 2

?

1 ? 1 ??? ? AB ? AD ? ? AB ?2 ? 2

??? ? ????

2

?

? ???? ???? 2 1 ??? AB?AD ? AD , 2

??? ? ???? ? ?BAD ? 60?, AB ? ? AD ,
???? ??? ? 1 ???? 2 3 AC ?EB ? AD ,∴ 2? 2 ? ? ? 6 ? 0 ,得 ? ? 2 或 ? ? ? (舍去). 2 2
12. A

f′ , , ? 2 x1 ? 0 ? .当 a ? 0 时, ? x ? ? 0,ln 2? ,∴ ex ? 2 ?0 ? x? ? a ? xe ?2 ? ?2 x?1

f′ ? x? ? 0 在 ? 0,ln 2? 上恒成立,即函数 f ? x ? 在 ? 0,ln 2? 上单调递减,函数 y ? f ? x? 在区
x 间 ? 0,ln 2? 上无最值;当 a ? 0 时,设 g ? x ? ? a e ? 2 ? 2 x ? 1 ,则 g′ ? x? ? aex ? 2 ? 0 ,

?

?

g ? x ? 在 ? 0,ln 2? 上为减函数,又 g ? 0? ? ?a ?1, g ? ln 2? ? ?2ln 2 ?1 ? 0 ,若函数 f ? x ? 在
区间 ? 0,ln 2? 上有最值,则函数 g ? x ? 有极值,即 g ? x ? ? 0 有解,∴ g ? 0? ? ?a ?1 ? 0 ,得

a ? ?1 .
二、填空题 13.

3 2

f ? f 3 3?? ? ?

? ?

? ? 4? ? 10 f? ? ? ? s i?n ? 3 ? 3? ?

? ?? ?

sin ? 3

?

3 . 2

14.

1 3

b ? b2 ,∴ 2 a ?b cos ? a, b ?? b ,? 2 a ? 3 b ,∴ 由 a ? 2b ? a ? b 得 2a?
1 . 3

2

cos ? a, b ??

15.

? 3

f ? x? ?

9 8 c o s x2?

c o s x2? 1 ? ? 16 2

9 co x? s2 2 3 8 ? ? , cxo ?s 2 12 2 2

?cos ? 2x ? ?1 ? 0 ,∴ f ? x ?
9 3 3 1 cos 2 x ? 2 8 ? 2 ? ? ? 0 ,当且仅当 ,即 cos 2 x ? ? 时等号成立,则 x 的 ? 4 2 2 cos 2 x ? 2 2
最小正值为 n ? ∴m?n ?

?

?
3

3



.

16.

50 201

由 an ?1 ? 2 ?

3an ? 4 2an ? 3 1 1 1 得 ,即 ? ? ? 2 ,∴数列 2an ? 3 an ? 1 an ?1 ? 1 an?1 ? 1 an ? 1

? 1 ? a ?1 1 1 1 3 ? 2 为公差的等差数列, 则 ∴ bn ? n , ? 2n ? , ? ? 是以 为首项, 2 2 4 n? 3 an ? 1 2 ? an ? 1 ?
则 bn ? bn?1 ?

? 4n ? 3?? 4n ? 1?

1

1? 1 1 ? 1? 1 ? 50 . ? ? ? b2 ? … ? b50 ? b51 ? ?1 ? ? ,∴ b1 ? ?? 4 ? 4n ? 3 4 n ? 1 ? 4 ? 201 ? 201
三、解答题 17.解: (1)? 2sin A ? a cos B, ∴ 2sin B ? 5 cos B , 即 tan B ?

sin A sin B ? ,b ? 5 , a b

5 5 ,∴ sin B ? , 2 3

? c ? 2 ,∴ sin C ?

c sin B 2 ? . b 3 2 (2)由(1)得 cos B ? , 3 4 4 2 2 2 ∴ 5 ? a ? c ? ac ? 2ac ? ac ? ac , 3 3 3 15 即有 ac ? , 2

则当 2 x ?

?
6

?

?
2

,即 x ?

?
3

时, f ? x ? 取最大值 2,即有 2 ? a ? 1 ? 2 ,得 a ? ?1 .

∴ f ? x ? ? 2sin ? x ? 则当 2 x ?

? ?

??

?, 6?

?
6

??

?
3

,即 x ? ?

?
12

时, f ? x ? 取最小值 ? 3 .

(1)? f ? ∴ sin ? ?

? ? 10 ?1 ? ? ? ? 2sin ? ? , 12 ? 13 ?2
5 3 , cos ? ? , 13 5

?? 6 ?1 f ? ? ? ? ? 2cos ? ? , 3? 5 ?2

12 4 ? ?? ?? , ? ? ? 0, ? ,∴ cos ? ? ,sin ? ? , 13 5 ? 2?
∴ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ?

15 48 33 ? ?? . 65 65 65

19.解: (1)? 2n?1 , Sn , a 成等差数列,∴ 2Sn ? 2n?1 ? a , 当 n ? 1 时, 2S1 ? 2a1 ? 4 ? a , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 ,

??an ? 是等比数列,∴ a1 ? 1 ,则 4 ? a ? 2 ,得 a ? ?2 ,
n ?1 n? N? . ∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2

?

?

(2)由(1)得 bn ? ? 2n ?1? an ? ? 2n ?1?? 2
2 3

n?1


n?1

则 Tn ? 1?1 ? 3? 2 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 ? …? ? 2n ?1?? 2

,①

2Tn ? 1? 2 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ? …? ? 2n ? 3?? 2n?1 ? ? 2n ?1?? 2n , ②,
①-② 得 ?Tn ? 1?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 22 ? …? 2 ? 2n?1 ? ? 2n ?1?? 2n ,

? 1 ? 2 ? 2 ? 22 ? … ? 2n ?1 ? ? ? 2n ? 1??2 n ? 1 ? 4 ? 2n ?1 ? 1? ? ? 2n ? 1??2 n

? ? ? 2n ? 3?? 2n ? 3 .
∴ Tn ? ? 2n ? 3?? 2n ? 3 .

1 c, 3 1 ∴ sin A sin A cos C ? sin C sin A cos A ? sin C , 3 1 即 sin A sin B ? sin C . 3 2 (1)? c ? 2b ,∴ sin C ? 2sin B ,则 sin A ? , 3 1 8 ∴ S?ABC ? bc sin A ? , 2 3
20.解:? a sin A cos C ? c sin A cos A ?

5 CD S?BCD , ? AC ? 2, S?BCD ? , ? 3 AC S?ABC
∴ CD ?

5 . 4

(2)由 cos B ?

2 5 5 得 sin B ? , 5 5

?C ? ? ? ? A ? B ? ,∴ 3sin A ? 5 sin ? A ? B ? ,
则 sin A ? cos A ,得 tan A ? 1 ∴A?

?
4

,则 c ?
2

1 2 2 b ? bc ? 26 , 4 2

? sin A ?

5 1 2 1 ? sin C 且 sin B ? ? sin C , 5 3 2 3

∴c ?

9 1 3 3 5 2 10 ,b ? c? a ,∴ a 2 ? a 2 ? a 2 ? 26 . 5 10 5 5 3 5

解得 a ? 2 5 ,∴ b ? 2 2, c ? 6 . ∴ ?ABC 的最短边的边长 2 2 .

21.解: (1)由 f ? x ? ? 0 得 a ? 设 h ? x? ? 2x ?

2 x3 ? 8 8 ? 2x ? 2 , 2 x x

16 8 ,则 h′ ? x? ? 2 ? 3 , 2 x x

? x ??, 2? ,∴ h′ ? x? ? 0 ,则 h ? x ? 在 ?1, 2? 上是减函数,
∴ h ? x ?max ? h ?1? ? 10 ,

? f ? x ? ? 0 对 ?x ??1, 2? 恒成立,即 a ? 2 x ?
∴ a ? 10 ,则实数 a 的取值范围为 ?10, ??? . (2)? g ? x ? ? 2x ? 3ax ?12a x ? 3a ,
3 2 2 3

8 对 ?x ??1, 2? 恒成立, x2

∴ g′ ? x? ? 6x ? 6ax ?12a ? 6 ? x ? a?? x ? 2a ? ,
2 2

①当 a ? 0 时, g′ ? x? ? 0 , g ? x ? 单调递增,无极值. ②当 a ? 0 时,若 x ? ?2a ,或 x ? a ,则 g′ ? x? ? 0 ;若 ?2a ? x ? a ,则 g′ ? x? ? 0 . ∴当 x ? a 时,有极小值.

? g ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上有极小值,∴ 0 ? a ? 2 .∴存在整数 a ? 1 .
③当 a ? 0 时,若 x ? a 或 x ? ?2a ,则 g′ ? x? ? 0 ;若 a ? x ? ?2a ,则 g′ ? x? ? 0 . ∴当 x ? ?2a 时, g ? x ? 有极小值.

? g ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上有极小值,
∴ 0 ? ?2a ? 2 ,得 ?1 ? a ? 0 . 由①②③得,存在整数 a ? 1 ,使得函数 g ? x ? 在区间 ? 0, 2 ? 上存在极小值. 22.解: (1) f ′ ? x? ? a ?

1 ax ? 1 ? , F′ ? x ? ? e x ? a, x ? 0 , x x

? a ? 0, f ′ ? x ? ? 0 在 ? 0, ??? 上恒成立,即 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递减.
当 ?1 ? a ? 0 时, F′ ? x ? ? 0 ,即 F ? x? 在 ? 0, ??? 上单调递增,不合题意; 当 a ? ?1 时,由 F′ ? x ? ? 0 ,得 x ? ln ? ?a ? ,由 F′ ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? ln ? ?a? . ∴ F ? x ? 的单调减区间为 0,ln ? ?a ? ,单调增区间为 ln ? ?a ? , ?? .

?

?

?

?

? f ? x ? 和 F ? x ? 在区间 ? 0,ln3? 上具有相同的单调性,
∴ ln ? ?a ? ? ln3 ,解得 a ? ?3 , 综上, a 的取值范围是 ? ??, ?3? . (2) g′ ? x ? ? eax?1 ? axeax?1 ? a ? 由e
ax ?1

1 1? ? ? ? ax ? 1? ? e ax ?1 ? ? , x x? ?

?
2

1 1 ? ln x 1 ? ln x ln x ? 2 ? 0 得到 a ? , p′ ,设 p ? x ? ? ? x? ? 2 , x x x x
2

当 x ? e 时, p′ ? x? ? 0 ;当 0 ? x ? e 时, p′ ? x? ? 0 .
2 2 2 从而 p ? x ? 在 0, e 上递减,在 e , ?? 上递增.∴ p ? x ? min ? p e ? ?

?

?

?

?

? ?

当a ? ? 在 ? 0, ?

1 1 ? ln x 1 ax ?1 ? ? 0, 时, a ? ,即 e 2 e x x

1 . e2

? ?

1? ? x? ? 0, g ? x? 递减; ? 上, ax ?1 ? 0, g′ a?

在??

1? ? 1 ? , ?? ? 上, ax ?1 ? 0, g′ ? x? ? 0, g ? x? 递增.∴ g ? x ?min ? g ? ?? ? , ? a ? ? a? 1 t ? 1? ? ? 0, e2 ? , g ? ? ? ? h ? t ? ? 2 ? ln t ? 1? 0 ? t ? e2 ? , ? a e ? a?
1 1 2 ? ? 0, h ? t ? 在 ? 0, e 2 ? 上递减.∴ h ? t ? ? h ? e ? ? 0 ; 2 ? e t

设t ? ?

h′ ?t ? ?

∴ M 的最小值为 0.


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