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新课改数学选修2-2综合测试题(含答案)


新课改高二数学选修 2-2 模块综合测试题
(本科考试时间为 120 分钟,满分为 100 分) 说明:本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ,试卷Ⅰ分值为 30 分,试卷Ⅱ分值为 70 分。

第I卷
一.选择题(本大题有 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.在“近似替代”中,函数 f ( x ) 在区间 [ xi , xi?1 ] 上的近似值( (A)只能是左端点的函数值 f ( xi ) )

(B)只能是右端点的函数值 f ( xi ?1 )

(C)可以是该区间内的任一函数值 f ??i ?(?i ? [ xi , xi?1 ] ) (D)以上答案均正确 2.已知 z1 ? m2 ? 3m ? m2i,z2 ? 4 ? (5m ? 6)i ,其中 m 为实数,i 为虚数单位,若 z1 ? z2 ? 0 ,则 m 的 值为 (A) 4 (B) ?1 ( ) (C) 6 (D) 0

3.已知三角形的三边分别为 a, b, c ,内切圆的半径为 r ,则三角形的面积为 s ?

1 (a 2

? b ? c)r ;四面体的四个面的面积分别为 s1 , s2 , s3 , s4 ,内切球的半径为 R 。类比三角形的面积可得四面
体的体积为( (A) V ? (C) V ? )

1 ( s1 ? s 2 ? s3 ? s 4 ) R 2

(B) V ?

1 ( s1 ? s 2 ? s3 ? s 4 ) R 3

1 ( s1 ? s 2 ? s3 ? s 4 ) R 4
x ?0

(D) V ? (s1 ? s2 ? s3 ? s4 ) R

4.设 f (x)为可导函数,且满足 lim ( ) (B)-1

f (1) ? f (1 ? x) =-1,则曲线 y=f (x)在点(1, f(1))处的切线的斜率是 2x 1 2

(A)2

(C)

(D)-2

5.若 a、b、c 是常数,则“a>0 且 b2-4ac<0”是“对任意 x∈R,有 ax2+bx+c>0” 的 ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)必要条件
3 2 2 6.函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1 处有极值 10, 则点 ( a, b) 为





(A) (3,?3)

(B) (?4,11)
2

(C) (3,?3) 或 (?4,11)
2

(D)不存在 )

7.若 a, b ? R ,则复数 (a ? 4a ? 5) ? (?b ? 2b ? 6)i 表示的点在(
第 1 页

(A)在第一象限 (C)在第三象限 8. 曲线 y ? e x , y ? e? x (A) e ? e
?1

(B)在第二象限 (D)在第四象限 和直线 x ? 1 围成的图形面积是
?1



) (D)

(B) e ? e

(C) e ? e ? 2

?1

e ? e?1 ? 2


9.点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点, 则点 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是( (A) 1 (B)

2

(C)



(D)

2 2

10 . 设 f ( x) ? x2 ? ax ? b ( a, b ? R ) , 当 x ? ?1,1 时 , f ( x) 的 最 大 值 为 m , 则 m 的 最 小 值 为 ( (A) )

?

?

1 2

(B) 1

(C)

3 2

(D) 2

第I卷
二.填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.定义运算

a b 1 ?1 ? ad ? bc ,若复数 z 满足 ? 2 ,其中 i 为虚数单位,则复数 c d z zi


z?

12.如图,数表满足:⑴第 n 行首尾两数均为 n ;⑵表中递推关系类似杨辉三角, 记第 n(n ? 1) 行第 2 个数为 f ( n) .根据表中上下两行数据关系, 1 可以求得当 n …2 时, f (n) ? . 2 2 3 4 3 4 7 7 4 ? ? ? .

13.设函数 f(x)=n2x2(1-x)n(n 为正整数),则 f(x)在[0,1]上的最大值为

14.物体 A 的运动速度 v 与时间 t 之间的关系为 v ? 2t ? 1 ( v 的单位是 m / s , t 的单位是 s ) ,物体 B 的 运动速度 v 与时间 t 之间的关系为 v ? 1 ? 8t ,两个物体在相距为 405 m 的同一直线上同时相向运动。 则它们相遇时,A 物体的运动路程为: 三 解答题(本大题共 5 小题,共 54 分) 15(本小题满分 10 分) (1) 求定积分

?

1

?2

x2 ? 2 dx 的值;

(2)若复数 z1 ? a ? 2i(a ? R) , z2 ? 3 ? 4i , 且

z1 为纯虚数,求 z1 z2
第 2 页

16(本小题满分 10 分) 求由 y ? sin x 与直线 y ?

2 2x 所围成图形的面积 3?

17(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)求曲线 y ? f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线方程; (3)求证:对任意的正数 a 与 b ,恒有 ln a ? ln b ? 1 ?

x x ?1

b . a

第 3 页

18(本小题满分 10 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ( x 2 ? 2ax)e x . (Ⅰ)当 x 为何值时, f ( x) 取得最小值?证明你的结论; (Ⅱ)设 f ( x) 在 [ ?1,1] 上是单调函数,求 a 的取值范围

19(本小题满分 12 分)
2 设数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? nan ? 1, n ? 1, 2, 3,?,

(1) 当 a1 ? 2 时,求 a2 , a3 , a4 ,并由此猜想出 ?an ? 的一个通项公式; (2) 当 a1 ? 3 时,证明对所有 n ? 1 ,有 ① an ? n ? 2 ②

1 1 1 1 ? ?? ? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 2

第 4 页

新课改高二数学选修 2-2 模块综合测试题参考答案
1 C
11 1-i

2B

3B
12

4D

5A

6B

7D
13 4(

8D

9B

10 A
14 72m

n2 ? n ? 2 2
(2)

n n?2 ) n?2

15 (1)

1? 8 2 3

10 3

3? ? x?? ? y ? sin x ? 4 ? ? 16 解:由 ? 或 2 2x ? ? 2 y ? ? ?y ? ? ? ? ? 2 ? 3? ? x? ? ?x ? 0 ? 3? 3? 4 ,0] 上的面积,再计算出 [0, ] 上的面 或? ,本题的图形由两部分构成,首先计出 [ ? ? 4 4 ?y ? 0 ?y ? 2 ? 2 ?
积,然后两者相加即可;于是
3? 4

2 2x 2 2x 2x 2 S? ? ( ? sin x)dx ? ? (sin x ? )dx ? ( ? cos x) ? (? cos x ? 3? 3? 3? 3? 3? 0 ?
? 4 4

0

0

2x 16 ? (8 ? 3 2? ) ) ? 3? 0 8
2

3? 4

17 (1)单调增区间 (0, ??) ,单调减区间 ( ?1, 0) (2)切线方程为 x ? 4 y ? 4 ln 2 ? 3 ? 0 (3)所证不等式等价为 ln 而 f ( x ) ? ln(1 ? x ) ?

a b ? ?1 ? 0 b a

1 1 ? 1 , 设 t ? x ? 1, 则 F (t ) ? ln t ? ? 1 , 由 ( 1 ) 结 论 可 得 , x ?1 t

F (t )在(0,1)单调递减,在(1, ??)单调递增,由 此 F (t )min ? F (1) ? 0 , 所 以 F (t ) ? F (1) ? 0 即
1 a F (t ) ? ln t ? ? 1 ? 0 ,记 t ? 代入得证。 t b
18 解析: (1)略 (2)由 f ( x) ? (2 x ? 2a)e ? ( x ? 2ax)e ? e [ x ? 2(1 ? a) x ? 2a]
/ x 2 x x 2

令 f ( x) ? 0 ,即 x ? 2(1 ? a) x ? 2a ? 0 ,得 x1 ? a ? 1 ? 1 ? a 2 , x2 ? a ? 1 ?
/ 2

第 5 页

1 ? a 2 ,其中 x1 ? x 2
当 x 变化时, f / ( x) 、 f ( x) 的变化情况如下表:

x
f / ( x)
f ( x)

(??, x1 )

x1

( x1 , x2 )

x2

( x2 ,??)

?

0 极大值

?

0 极小值

?

当 a ? 0 时, x1 ? ?1, x2 ? 0, f ( x) 在 ( x1 , x2 ) 上单调递减; 由此可得: f ( x) 在 [ ?1,1] 上是单调函数的充要条件为 x2 ? 1 ,即 a ? 1 ? 1 ? a 2 ? 1 ,解得 a ? 即所求 a 的取值范围为 [ ,?? ) ; 19

3 ; 4

3 4

第 6 页


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