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2014一轮复习课件 第5章 第1节 数列的概念与简单表示法


考纲要求 1.了解数列的概念和 几种简单的表示方法 (列表、图象、通项公 式). 2.了解数列是自变量 为正整数的一类特殊 函数.

考情分析 1.从考查内容看,Sn与an的关系、数 列的递推公式是考查的重点和热 点;同时又考查转化、方程与函 数、分类讨论等思想方法. 2.从考查形式看,以解答题为主, 题目具有一定的综合性,属中高档 题.

一、数列的基本知识 1.数列的定义 按照 一定顺序 排列着的一列数称为数列,数列中的每一

个数叫做这个数列的项.
2.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与 序号n 之间的关系可以用一个式子 来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

1.(1)数列是否可以看作一个函数?若是,则其定义域是什 么?(2)数列的通项公式唯一吗?是否每个数列都有通项公式?
提示:(1)可以看作一个函数,其定义域是正整数集 N*(或 它的有限子集{1,2,3,?,n}),可表示为 an=f(n). (2)不唯一,如数列-1,1,-1,1,?的通项公式可以为 an =(-1) 或
n

?-1 ? an=? ?1 ?

?n为奇数? ,有的数列没有通项公式. ?n为偶数?

3.数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开 始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个 公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

4.数列的分类

分类原则 按项数分类

类型
有穷数列 无穷数列 递增数列

满足条件 有限 项数______
无限 项数______ an+1>an an+1<an an+1=an an+1、an大小不确 定

按项与项间 的大小关系 分类

递减数列 常数列

其中n∈N*

摆动数列

2.如何根据数列的通项公式判定数列的单调性?

提示:(1)已知 an=f(n),若 f(n)的单调性可以确定,则{an} 的单调性可以确定; ?>0 ? * (2) 比 较 法 : 如 当 n ∈ N 时 , an + 1 - an ?=0 ?<0 ? ?递增数列 ? ?常数列 ?递减数列 ?

则 {an} 为

.

5.数列的表示法 列表法 、 图象法 、 解析法 、递推法.

二、数列通项公式的求法 1.已知数列的前几项,求其通项公式. 根据观察、归纳的方法求解. 2.特殊数列 (1)等差数列:an=a1+(n-1)d. (2)等比数列:an=a1qn-1. 3.已知数列前 n 项和 Sn,或前 n 项和与 an 的关系求通项. 利用
?S ?n=1?, ? 1 an=? ?Sn-Sn-1?n≥2?, ?

求解.

4.已知递推公式求通项
?a =a ? 1 (1)已知? ?an+1=qan+b, ?

求 an 时,利用待定系数法求解,

b 其关键是确定待定系数 λ, an+1+λ=q(an+λ)进而得 λ= 使 . q-1
?a =a, ? 1 (2)已知? ?an=an-1+f?n??n≥2?, ?

求 an 时, 利用累加法求解,

即 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1)的方法.
?a =a ? 1 (3)已知? ?an=f?n?an-1?n≥2? ?

求 an 时,利用累乘法求解,即

a2 a3 an an=a1· · · ?· 的方法. a1 a2 an-1

2 3 4 5 1.数列 1,3,5,7,9,?的一个通项公式 an 是( n A. 2n+1 n C. 2n-3 n B. 2n-1 n D. 2n+3

)

解析:观察分子、分母得分子的形式为n(n∈N*).分母为2n -1(n∈N*)的形式,故B选项符合.

答案:B

2.数列 2、 5、2 2、?,则 2 5是该数列的( A.第 6 项 C.第 10 项 B.第 7 项 D.第 11 项

)

解析:原数列可写成 2、 5、 8,?.∵2 5= 20, ∴20=2+(n-1)×3,∴n=7.
答案:B

2n 3.已知数列{an}的通项公式是 an= ,那么这个数列 3n+1 是( ) A.递增数列 C.摆动数列 B.递减数列 D.常数列

2n 2 解析:an= = ,所以 an 随 n 的增大而增大,因此 1 3n+1 3+n 数列为递增数列.

答案:A

4. 已知数列{an}的通项公式是 a2·3=________. a

?3n+1,n为奇数, ? an=? ?2n-2,n为偶数, ?



解析:易知a2=2,a3=10,所以a2·a3=20. 答案:20

5.数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=________.
解析:当 n=1 时,a1=S1=2; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(n2+1)-[(n-1)2+1] =n2-(n-1)2=2n-1,
?2 ? ∴an=? ?2n-1 ?

?n=1?, ?n≥2?.

?2,n=1, ? 答案:? ?2n-1,n≥2 ?

由数列的前几项求通项公式 【考向探寻】 1.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 2.运用观察、归纳、猜想的方法求通项公式.

【典例剖析】

(1)(2013·宜春模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上
摆成各种形状来研究数.例如:

他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三
角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…这样 的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是 A.289 C.1 225 B.1 024 D.1 378

(2)写出下列数列的一个通项公式: ①3,5,7,9,?. 1 3 7 15 31 ②2,4,8,16,32,?. 2 4 6 8 10 ③3,15,35,63,99,?. 3 1 3 1 3 ④-1,2,-3,4,-5,6,?.

(1) 先 求 出 三 角 形 数 和 正 方 形 数 的 通 项 公

式,然后验证即可.
(2)观察an与n的关系,归纳规律,写出an.

(1)解析:设图 1 中数列 1,3,6,10,?的通项为 an,则 a2- a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,?,an-an-1=n. 将以上各式两边相加,得 an -a1 =2+3+4+?+n= ?n-1??n+2? , 2 n?n+1? ∴an= 2 . 而图 2 中数列的通项公式 bn=n2.经验证知只有 1 225 满足 49×50 a49= 2 =b35=352=1 225. 答案:C

(2)解:①各项减去 1 后为正偶数,所以 an=2n+1. ②每一项的分子比分母少 1,而分母组成数列 21,22,23 , 2n-1 24,?,所以 an= n . 2 ③ 分 子 为 2,4,6,8,10 , ? , 2n ; 分 母 为

1×3,3×5,5×7,7×9,9×11 , ? , (2n - 1)(2n + 1) , 故 an = 2n . ?2n-1??2n+1?

④奇数项为负, 偶数项为正, 故通项公式中含有因子(-1)n; 各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4?; 而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为 1,偶数项 为 3, 即奇数项为 2-1,偶数项为 2+1, 2+?-1?n 所以 an=(-1)n· n . ? 1 ?-n,n为正奇数 也可写成 an=? ?3,n为正偶数 ?n

.

(1)据所给数列的前几项求其通项公式时,需根

据以下几方面的特征进行分析.
①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③拆项后的特征; ④各项符号特征等,并对此进行归纳、联想.

(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归

纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得出
的结果是不可靠的,要注意代值检验.对于正负符号变化,可 用(-1)n或(-1)n+1来调整. (3)观察、分析问题的特点是最重要的,观察要有目的,观 察出项与项数之间的关系、规律,利用我们熟知的一些基本数

列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决.

【活学活用】 1.写出下列数列的一个通项公式. 2 10 17 26 37 (1)3,-1, 7 ,- 9 ,11,-13,?. (2)3,33,333,3 333,?.

解:(1)偶数项为负而奇数项为正,故通项公式中必含有因 子(-1)n+1,观察各项绝对值组成的数列,从第 3 项到第 6 项可 见,分母分别由奇数 7,9,11,13 组成,而分子则是 32+1,42+ 12+1 1,52+1,62+1,按照这样的规律,第 1、2 两项可改写为 , 2+1 22+1 n2+1 + - ,所以 an=(-1)n 1 . 2· 2+1 2n+1 9 99 999 9 999 (2)将数列各项改写为3, 3 , 3 , 3 ,?,分母都是 3, 而分子分别是 10-1,102-1,103-1,104-1,?, 1 n 所以 an=3(10 -1).

根据条件求数列的通项公式 【考向探寻】 1.利用an与Sn的关系求通项公式an; 2.利用递推关系求通项公式an.

(1) 已 知 数 列 {an} 中 , a1 = 0 , an + 1 = an + (2n -

1)(n∈N*),则an=________;
n (2)已知数列{an}中,a1=1,an= an-1(n≥2,n∈N*), n-1 则 an=________; (3)设数列{an}的前 n 项和
? Sn? Sn,点?n, n ?(n∈N*)在函数 ? ?

y=

3x-2 的图象上,求数列{an}的通项公式.

题号 (1) (2) (3)

分析 利用累加法求解; 利用累乘法求解; 先求出Sn,再利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求 解.

解:(1)由题意知an+1-an=2n-1.
∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =0+1+3+…+(2n-5)+(2n-3) =(n-1)2, ∴该数列的通项公式为an=(n-1)2.

a2 a3 an (2)n≥2,n∈N 时,an=a1×a ×a ×?× an-1 1 2
*

n-2 n-1 2 3 n =1× × ×?× × × 1 2 n-3 n-2 n-1 =n. 又 a1=1,满足上式. ∴该数列通项公式为 an=n.

Sn (3)依题意,得 n =3n-2, 即 Sn=3n2-2n. 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)] =6n-5, 当 n=1 时, a1=S1=3×12-2×1=6×1-5,满足上式. ∴an=6n-5(n∈N*).

(1)根据条件求数列的通项公式时,首先要对所给的条件进
行分析,判断所属的类型,然后再结合相应的方法求解. (2)解题中要注意转化、待定系数等方法的运用.

利用an =Sn -Sn-1(n≥2)求通项公式时,一定要验证n=1时 的情形.若n=1时,an 适合Sn -Sn-1 ,则通项公式为一个表达 式;否则要写成分段函数的形式.

【活学活用】

2.已知{an}满足a1=3,an+1=2an+1,则an=________.
解析:由条件知an+1+1=2(an+1) ∴数列{an +1}是以a1 +1=4为首项,以2为公比的等比数 列. ∴an+1=4·2n-1=2n+1,

∴an=2n+1-1.
答案:2n+1-1

? n+1 1? an ?1+ ?an+ n .设 bn= , 3.在数列{an}中,a1=1,an+1= n? 2 n ?

则数列{bn}的通项公式 bn=________.
an+1 an 1 解析:由已知得 b1=a1=1,且 = n +2n, n+1 1 即 bn+1=bn+ n, 2

从而有 bn=b1+(b2-b1)+?+(bn-bn-1) 1 1 1 1 =1+2+22+?+ n-1=2- n-1(n≥2). 2 2 又 b1=1 满足上式,故所求通项公式 bn=2- n-1. 2 1

答案:2- n-1 2

1

数列的综合应用 【考向探寻】 1.与数列有关的单调性、最值等问题. 2.数列与函数、方程的综合问题.

【典例剖析】 (12 分)已知数列{an}的通项
?10? an=(n+1)?11?n(n∈N*), ? ?

试问该数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项的项数;若 没有,说明理由.
本题可用作差法或作商法比较 an 与 an+1 的大
?a ≥a + ? n n 1 ? 小,也可用 ?an≥an-1 ?

列出不等式组,求 n 值即可.

?10? ?10? - ? n ? ?n+1??11? ≥n· ?n 1, ? ? ? ?11? 方法一:令? ?10? ?10? + n ??n+1?? ? ≥?n+2?· ?n 1 ? 11? ? ? ?11? ?10n+10≥11n, ? 整数得? ?11n+11≥10n+20 ?

4分

…………………………8 分

解得 9≤n≤10…………………………………………10 分 又 n∈N*,∴n=9 或 n=10. 故数列{an}有最大项,此时 n=9 或 n=10.…………12 分

方法二:∵an+1-an
?10? + ?10? n 1 ? ? =(n+2)· ? -(n+1)· ?n ?11? ?11 ? ?10? 9-n =?11?n·11 ,…………………………………………3 ? ?



当 n<9 时,an+1-an>0, 即 an+1>an;

当n=9时,an+1-an=0,
即an+1=an;当n>10时,an+1-an<0, 即an+1<an.9分 故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…, ∴数列{an}中有最大项,为第9项和第10项. ……………………12分

(1)数列是一类特殊的函数,解题时注意函

数与方程思想的应用,同时转化思想也是解题的常用方法.
(2)数列最大项、最小项、数列有界性问题可借助数列的单 调性来解决,判断单调性时常用①作差法,②作商法,③结合 函数图象等方法.
(3)若求最大项 an,则 若求最小项 an,则
?a ≥a + ? n n 1 ? an 满足 ?an≥an-1; ?

?a ≤a - ? n n 1 ? an 满足 ?an≤an+1. ?

本例解题过程中易出现只得出a9这一项,而忽视了a9=a10, 从而导致误解.

【活学活用】
4.设函数f(x)=log2x-logx2(0<x<1),数列{an}满足f(2an) =2n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)判断数列的单调性.

1 解:(1)f(2an)=log22an-log2 an 2=an-a , n 1 所以 an-a =2n?a2-2nan-1=0. n n 所以 an=n± n2+1, 因为 x∈(0,1),所以 2an∈(0,1),所以 an<0, 所以 an=n- n2+1.

(2)方法一:an+1-an=(n+1)- ?n+1?2+1-(n- n2+1) =1-[ ?n+1?2+1- n2+1] 2n+1 2n+1 =1- >1- =0. 2 2 ?n+1?+n ?n+1? +1+ n +1 所以 an+1>an,所以数列{an}是递增数列.

an+1 ?n+1?- ?n+1?2+1 方法二:∵ a = n n- n2+1 n+ n2+1 = <1. 2 n+1+ ?n+1? +1 又∵an<0, ∴an+1>an, ∴数列{an}是递增数列.

忽视n的取值范围致误
已知数列{an}中,a1=1,前 n 项的和为 Sn,对任 3 意的自然数 n≥2,an 是 3Sn-4 与 2- Sn-1 的等差中项.求通 2 项 an.

由已知得

? ? 3 2an=(3Sn-4)+?2-2Sn-1?,又 ? ?

an=Sn-Sn-1 得 an

an+1 =3Sn-4, n+1=3Sn+1-4.两式相减得 an+1-an=3an+1, a 故 = an
? 1? 1 - ,又 a1=1,故 an=?-2?n. 2 ? ?

an+1 1 错因主要忽视了 =- 成立的前提 n≥2, 只能说明数列 an 2 从第 2 项起为等比数列,至于整个数列{an}是否为等比数列还 a2 1 需验证 是否等于- , 这种在解答过程中忽视数列“定义域” a1 2 限制而致错的题目频率是非常高的,应引起足够的重视.

解:由已知,当 n≥2 时,
? ? 3 2an=(3Sn-4)+?2-2Sn-1? ? ?

① ②

又 an=Sn-Sn-1, 得 an=3Sn-4(n≥2), an+1=3Sn+1-4, 以上两式相减得 an+1-an=3an+1, an+1 1 ∴ a =-2 n

∴a2,a3,?,an,?成等比数列,其中 a2=3S2-4=3(1+a2)-4. 1 1 即 a2= ,q=- , 2 2 ∴当 n≥2 时,an=a2q ?1, ? ∴an=? ? 1?n-1 ?-?-2? , ? ? ?
n-2

? 1? - 1? 1?n-2 = ?-2? =-?-2?n 1, 2? ? ? ?

?n=1?, ?n≥2?.

数列是一种特殊的函数,其特殊性在于定义域 为正整数集,因此对于an,Sn而言,要求n≥1,这一点在解题中 容易忽视.因此在解题中要注意对题目条件及隐含条件的挖 掘,避免出现错误.

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