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吉林省东北师大附中2007—2008学年度高三第四次摸底考试数学试题(理科)

吉林省东北师大附中 2007—2008 学年度高三第四次摸底考试 数学试题(理科)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 共 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.第Ⅰ卷的答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,第Ⅱ卷的答案或解答过程均写在答题纸内的指定处,写在 试题卷上的无效. 2.答题前,考生务必将自己的“班级”、“学号”、“姓名”写在答题卡和答题纸上. 3.考试结束后,只交答题卡和答题纸. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.) 1.已知命题 p : 对任意x ? R,有cos x ? 1 ,则 A. ?p:存在x ? R,使 cos x ? 1 C. ?p:存在x ? R,使 cos x ? 1 ( )

B. ?p:对任意 x ? R,有cos x ? 1 D. ?p:对任意 x ? R,有cos x ? 1 ( )

2.已知向量 a ? ?? 3 , 4?, b ? ?3 , ? 4? ,则 a 与 b A.垂直 C.平行且同向 3.复数 B.不垂直也不平行 D.平行且反向

1 i ? 的值是 1? i 2 1 1 A.- B. 2 2

( C.



1? i 2

D.

1? i 2

4.某校有学生 4500 人,其中高三学生 1500 人.为了解学生的身体素质情况,采用按年级分层抽样的方 法,从该校学生中抽取一个 300 人的样本.则样本中高三学生的人数为( A.50 B.100 C.150 D.20 )

5.双曲线 x2-y2=4 的两条渐进线和直线 x=2 围成一个三角形区域(含边界),则该区域可 表示为 ( )

?x ? y ? 0 ? A. ? x ? y ? 0 ?x ? 2 ?

?x ? y ? 0 ? B. ? x ? y ? 0 ?x ? 2 ?

?x ? y ? 0 ? C. ? x ? y ? 0 ?x ? 2 ?

?x ? y ? 0 ? D. ? x ? y ? 0 ?x ? 2 ?
1 , 则 a40 等于 ( 4
D.11 )

6.已知数列{an}对于任意 m、n∈N*,有 am+an=am+n,若 a1 ? A.8 B.9 C.10

7 . 已 知定 义 域为 R 的函 数 f ?x ? 在 区 间 ?4, ? ?? 上 为 减 函数, 且 函 数 y ? f ?x ? 4? 为 偶 函数 ,则 ( A. f ?2? ? f ?3? B. f ?2? ? f ?5? C. f ?3? ? f ?5? )

D. f ?3? ? f ?6? S E

8.如图,在正四面体 S—ABC 中,E 为 SA 的中点,F 为?ABC 的中心,则异面直线 EF 与 AB 所成的角是 A.30? C.60?
8





B.45? D.90? ( ) D.-56 A B F C

1? ? 9.在 ? x 2 ? ? 的展开式中,含 x 的项的系数是 x? ?
A.55 B.-55

C.56

10.已知函数 f ?x ? ? A sin??x ? ? ?? x ? R,A ? 0,? ? 0, ? ? 解析式是 A. f ?x ? ? 2 sin? ?x ?

? ?

??

? 的图象(部分)如图所示,则 f ?x ? 的 2?
( )

? ?

??

??x ? R ? 6?

y 2

B. f ?x ? ? 2 sin? 2?x ?

? ?

??

??x ? R ? 6?
O

C. f ?x ? ? 2 sin? ?x ?

? ?

??

??x ? R ? 3?

1 3

5 6
x

D. f ?x ? ? 2 sin? 2?x ?

? ?

??

??x ? R ? 3?

-2

11.an 是(1+x)n+1(n?N*)的展开式中含 x2 的项的系数,则 lim ? ? A.1 B.2 C.3

?1 1 1 ? ? ??? ? ?( n ?? a an ? ? 1 a2 ?
D.4



x2 y2 ? ? 1 ,过右焦点 F 做不垂直于 x 轴的弦交椭圆于 A、B 两点,AB 的垂直平分线交 12.已知椭圆 9 5
x 轴于 N,则 NF : AB ? A. ( )

1 2

B.

1 3

C.

2 3

D.

1 4

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.若函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? 4 x 的图象关于直线 y ? x 对称,则 f ( x) ? ________; 14.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 15.为使函数 f ( x ) ?

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 8 4




1? x 在 x ? ?1 处连续,需定义 f (?1) ? 1? x2

16 . 对 于 函 数 的 这 些 性 质 : ① 奇 函 数 ; ② 偶 函 数 ; ③ 增 函 数 ; ④ 减 函 数 ; ⑤ 周 期 性 ; 函 数

f ?x? ? x 5 ? 3x,x ? R 具有的性质的序号是



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(10 分)在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c , sin I.试判断△ ABC 的形状; II.若△ ABC 的周长为 16,求面积的最大值.

A? B C ? sin ? 2 . 2 2

18.(12 分)从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,设随机变量 表示所选 3 人中女生的人 数. (1)求所选 3 人都是男生的概率; (2)求ξ 的分布列及数学期望;

19.(本小题 12 分) 如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA , AB ? 2 ,点 E 在棱 AB 上移动. 1 ? AD ? 1 (1)求证: D1 E ? A1 D ; (2) E 为 AB 中点时,求点 E 到平面 ACD1 的距离; (3) AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小是

? . 4

20.(12 分)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 4a 2 ? 4 a3 ? ? ? 4
2

n ?1

n a n ? ,n ? N * . 4

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)设 bn ?

n n ? 4 n?1 , Sn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,求 lim . n ?? an Sn

21.(12 分)已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? 1 ? ln x . (Ⅰ)若 f ( x) 在 (0, ) 上是减函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ)函数 f ( x) 是否既有极大值又有极小值?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

1 2

22.(12 分)已知双曲线 C 的中心在原点,对称轴为坐标轴,其一条渐近线方程是 x ? y ? 0 ,且双曲线

C 过点 P(? 2 , 1) .
(1)求此双曲线 C 的方程; (2)设直线 l 过点 A(0, 1) ,其方向向量为 e ? (1, k ) (k ? 0) ,令向量 n 满足 n ? e ? 0 .双曲线 C 的右支 上是否存在唯一一点 B ,使得 n ? AB ? n . 若存在,求出对应的 k 值和 B 的坐标;若不存在, 说明理由.

吉林省东北师大附中 2007—2008 学年度高三第四次摸底考试 数学试题(理科)参考答案
一、选择题 CDBBB CDCDA BB 14.4 15.

13. y ? log4 x?x ? 0? 17.(10 分) 解:Ⅰ、 sin

1 2

16.①③

? ?C
2

? sin

?

C ? ? ? ? ? 即C ? 2 4 2 2

C C C C ? ? cos ? sin ? 2 sin( ? ) 2 2 2 2 4

所以此三角形为直角三角形. Ⅱ. 16 ? a ? b ? a 2 ? b 2 ? 2 ab ? 2ab

? ab ? 64(2 ? 2 ) 2 当且仅当 a ? b 时取等号,
此时面积的最大值为 32 6 ? 4 2 .

?

?

3 C4 1 18.(12 分)(1)解:所选 3 人都是男生的概率为 ? 3 C6 5

(2)解: 可能取的值为 0,1,2,

P(? ? k ) ?

k 3? k C2 ? C4 , k ? 0, 1, 2 , 3 C6

所以,ξ 的分布列为 0 P 的数学期望为 1 2

1 5

3 5

1 5

1 3 1 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 1 5 5 5

19.(12 分)解:(1)由于 AE ? 面AA1D1 D , A1 D ? AD1 ,根据三垂线定理, 得 D1 E ? A1 D . (2)设 E 到平面 ACD1 的距离为 h . (4 分)

在 ?ACD1 中, AC ? CD1 ? 5 , AD1 ? 而 S ?ACE ? 得h ?

2 , S ?AD1C ?

3 , 2

1 1 1 ,? VD1 -AEC= S ?ACE ? DD1 ? S ?AD1C ? h , 2 3 3
(8 分)

1 . 3

(3)过 D 作 DH ? CE 于 H ,连接 D1 H、DE ,则 D1 H ? CE .

? ?DHD1 为 二 面 角 D1 ? EC ? D 的 平 面 角 . 设 AE ? x, 则 BE ? 2 ? x, 在 ?D1 DH 中 ,

? ?DHD1 ?

?
4

,得 DH ? 1 .

2 由于 CE ? DH ? CD ? DA , 即 ( 2 ? x) ? 1 ? 2 ,

解得 x ? 2 ? 3 . 因此,当 x ? 2 ? 3 时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? . 4

(12 分)

20.(12 分)解:(I) a1 ? 4a 2 ? 4 a3 ? ? ? 4
2

n ?1

n an ? , 4

a1 ? 4a 2 ? 4 2 a3 ? ? ? 4 n ? 2 a n ?1 ? ? 4 n ?1 a n ? ? an ? n n ?1 ?n ? 2?, ? 4 4

n ?1 ?n ? 2?, 4

1 ?n ? 2? 4n 1 ?n ? N * ? 4n

验证 n ? 1 时也满足上式, ? a n ? (II) ∵ bn ?

n ,∴ bn ? n ? 4 n , an

S n ? 1 ? 4 ? 2 ? 4 2 ? 3 ? 43 ? ? ? n ? 4 n 4S n ?

?1? ?2?

1? 42 ? 2 ? 43 ? 3 ? 44 ? ? ? ?n ? 1? ? 4n ? n ? 4n?1

(1)-(2)得 ? 3S n ? 1? 4 ? 1? 42 ? 1? 43 ? ?? 1? 4n ? n ? 4n?1

4 1 ? 4n ? ?3S n ? ? n ? 4 n ?1 1? 4
? Sn ?
∴ lim

?

?

1 3n ? 4 n ?1 ? 4 n ?1 ? 4 9

?

?

9n ? 4 n ?1 9 n ? 4 n?1 ? lim ? 3. = lim n ? 1 n ? 1 n ?? 3n ? 4 n ?? 1 4 ? 4 ? 4 n ?? Sn 3? ? n n ? 4 n ?1

21.(12 分) 解:(Ⅰ) f ?( x) = ? 2 x ? a ?

1 …………1 分 x 1 1 1 ∵ f ( x) 在 (0, ) 上为减函数,∴ x ? (0, ) 时 ? 2 x ? a ? ? 0 恒成立. ……3 分 2 2 x 1 1 1 即 a ? 2 x ? 恒成立.设 g ( x ) ? 2 x ? ,则 g ?( x ) = 2 ? 2 . x x x 1 1 1 ∵ x ? (0, ) 时 2 >4,∴ g ?( x ) ? 0 ,∴ g ( x) 在 (0, ) 上递减, ………5 分 2 2 x 1 ∴g( x ) >g( )=3,∴ a ≤3. ………6 分 2

(Ⅱ)若 f ( x) 既有极大值又有极小值,则首先必须 f ?( x) =0 有两个不同正根 x1 , x 2 , 即 2 x ? ax ? 1 ? 0 有两个不同正根。
2

…………7 分

令 ?a

?? ? 0 ?a 2 ? 8 ? 0 ? ?? ?a?2 2 ? 0 a ? 0 ? ? ?2
…………10 分

∴当 a >2 2 时, f ?( x) =0 有两个不等的正根 不妨设 x1 ? x 2 ,由 f ?( x) =-

1 2 2 ( 2 x ? ax ? 1 )=- ( x ? x1 )(x ? x2 ) 知: x x

0 ? x ? x1 时 f ?( x) <0, x1 ? x ? x2 时 f ?( x) >0, x ? x2 时 f ?( x) <0,
∴当 a>2 2 时 f ( x) 既有极大值 f ( x2 ) 又有极小值 f ( x1 ) . …………12 分

2 2 22.解:(1)设双曲线 C 的方程为 x ? y ? ? (? ? 0) ,将点 P(? 2 , 1) 代入可得 ? ? 1 ,

?

双曲线 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 .

(2)依题意,直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 (k ? 0) .设 B( x0 , y0 ) 是双曲线右支上满足

n ? AB ? n 的点,结合 n ? e ? 0 ,得 kx 0 ? y 0 ? 1 ? k 2 ? 1 ,
即点 B( x0 , y0 ) 到直线 l 的距离

d?

kx 0 ? y 0 ? 1 k 2 ?1

?1

①若 0 ? k ? 1 ,则直线 l 与双曲线 C 的右支相交,此时双曲线 C 的右支上有两个点到直线 l 的距离为 1,与题意矛盾; ②若 k ? 1 ,则直线 l 在双曲线 C 右支的上方,故 y0 ? kx0 ? 1 ,从而

2 2 y 0 ? kx 0 ? 1 ? k 2 ? 1 . 又因为 x0 ? y0 ? 1 ,所以
2 (k 2 ? 1) x0 ? 2k (1 ? k 2 ? 1) x0 ? k 2 ? 3 ? 2 k 2 ? 1 ? 0 .

当 k ? 1 时,方程有唯一解 x0 ? 当 k ? 1 时,由 ? ? 0 得 k ?

2 ,则 B( 2 , 1) ;

5 ,此时方程有唯一解 x0 ? 5 ,则 B( 5, 2) 2 5 ,此时 B( 5, 2) . 2

综上所述,符合条件的 k 值有两个: k ? 1 ,此时 B( 2 , 1) ; k ?