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南昌一中高三数学理科周练(五)


南昌一中高三数学理科周练( 南昌一中高三数学理科周练(五)
命题: 命题:彭勇 2009-4-1 选择题: 小题, 在每小题给出的选项中, 一、选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的选项中,只有一 ( 项是符合题目要求的) 项是符合题目要求的)

? 2 ? 2 1.设 0 < θ < π , a ∈ R , ? a + i ? (1 ? i ) = cosθ + i ,则 θ 的值为( ? ? 2 ? 2 ?
A.



2.若 f ( x ) = lgx + 1 ,则它的反函数 f

2π 3

B.

4π 3

C.
?1

π
3

D. )

π
4

( x ) 的图象是(

3.函数 f ( x ) = A. (?1, 2)

ln ( 2 + x ? x 2 ) x ?x

的定义域为(

) C. (?1, 0) D. (0, 2)

,条件 p : “ f ( 0 ) = 0 ” ;条件 q : “ f ( x ) 为奇函数” , 4.设函数 f ( x ) = tan (ω x + ? ) ( ω > 0 ) 则 p 是 q 的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 r r r r π? ? 5.非零向量 a = ( sinθ , 2 ) , b = ( cosθ ,1) ,若 a 与 b 共线,则 tan ? θ ? ? = ( ) 4? ? A.3 B. ?3 C.
2

B. (?1, 0) U (0, 2)

1 3
2

D. ?

1 3

6.过直线 y = 2 x + 1 上的一点作圆 ( x ? 2 ) + ( y + 5 ) = 5 的两条切线 l1 、 l2 ,当直线 l1 、 l2 关 于直线 y = 2 x + 1 对称时,直线 l1 与 l2 的夹角为( A. 30° B.45° C.60° ) D.90°

7.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一步 或最后一步,程序 B 和 C 实施时必须相邻,请问实验顺序的编排方法共有 ( ) A.24 种 B.48 种 C.96 种 D.144 种


8. 如图,已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的内切球,则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为( A. ) A1

D1 B1 ·O D A B

C1

π
6

B.

π
3

C

6 C. π 6

3 D. π 3

9. 在等差数列 {an } 中,前 n 项和 S n = A. S m + n > 4 B. S m + n = 4

n m ,前 m 项的和 S m = ,其中 m ≠ n ,则( m n
C. S m + n < 4 D. 2 < S m + n < 4



? 3x ? y ≤ 0, uuu uuu r r ? ? 10.已知点 A(3 , 3) ,O 是坐标原点,点 P( x, y ) 的坐标满足 ? x ? 3 y + 2 ≥ 0, 设 z 为 OA 在 OP ? y ≥ 0. ? ? ) 上的投影,则 z 的取值范围是(

A. [? 3 , 3]

B. [?3 , 3]

C. [? 3 , 3]

D. [?3 , 3]

11.已知正四面体 A-BCD,动点 P 在 ABC 内,且点 P 到平面 BCD 的距离与点 P 到点 A 的 距离相等,则动点 P 的轨迹为( ) B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.一条线段 A.椭圆的一部分 12.己知双曲线的方程为 x 2 ?

y2 1 = 1 ,直线 m 的方程为 x = ,过双曲线的右焦点 F ( 2,0 ) 的 3 2 直线 l 与双曲线的右支相交于 P 、Q ,以 PQ 为直径的圆与直线 m 相交于 M 、 N ,记劣
弧 MN 的长度为 n ,则

n 的值为( PQ



A.

π
6

B.

π
3

C.

π
2

D.与直线 l 的位置有关

(本大题共 小题, 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 填空题: (

? 2? 13. 若 ? 2 x ? ? ( x ∈ R )的展开式中第三项为 ?320 ,则 x = _________. ? ? 2 ? ?
uuu uuu r r π π 14.右图是函数 y = tan( x ? ) 的部分图象,则 OB ? BA = _______. 4 2

5

15.已知圆 O: x + y = 8 ,点 A(2, 0) ,动点 M 在圆上,则∠OMA 的最大
2 2

值为_________. 16.如图,正△ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于点 G,已知△A1ED 是△ AED 绕边 DE 旋转过程中的一个图形,有下列命题: ①动点 A1 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上; ②恒有平面 A1GF⊥平面 BCED; B ③三棱锥 A1-EFD 的体积有最大值; ④异面直线 A1E 与 BD 不可能垂直, 其中正确命题的序号是_________. ....

A1 D G C E

A

F

(本大题共 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 解答题: ( ) 17 . 已 知 向 量 a = ( sin ( ω x + ? ) , 2 ) , b = (1, cos (ω x + ? ) ) ( ω > 0 , 0 < ? < ) . 函 数 4 r r r r f ( x ) = a + b ? a ? b , y = f ( x ) 的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间

r

r

π

(

)(

)

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? 7? 的距离为 1 ,且过点 M ? 1, ? . ? 2? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的表达式;
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(Ⅱ)当 ?1 ≤ x ≤ 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间.

18.已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a1 = 1 ,且 3a n +1 + 2 S n = 3 ( n ∈ N * ). (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)记 S = a1 + a 2 + L + a n + L . 若对任意正整数 n ,不等式 kS ≤ S n 恒成立,求实 数 k 的最大值.

19.如图, 、 分别是正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的棱 AA1 、 1C1 的中点, D E B 且棱 AA1 = 8 , = 4 . AB (Ⅰ)求证: A1 E // 平面 BDC1 ; (Ⅱ) 在棱 AA1 上是否存在一点 M , 使二面角 M ? BC1 ? B1 的大小为 60o , 若存在, AM 求 的长,若不存在,说明理由。

20.一个口袋中装有大小相同的 n 个红球( n ≥ 5 且 n ∈ N )和 5 个白球,一次摸奖从中摸两 个球,两个球的颜色不同则为中奖. .... (Ⅰ)试用 n 表示一次摸奖中奖的概率 p ; 求 (Ⅱ) 记从口袋中三次摸奖 (每次摸奖后放回) 恰有一次中奖的概率为 m , m 的最大值? (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,将 5 个白球全部取出后,对剩下的 n 个红球全部作如下标记: 记上 i 号的有 i 个( i = 1, 2,3, 4 ) ,其余的红球记上 0 号,现从袋中任取一球. ξ 表示所 取球的标号,求 ξ 的分布列、期望和方差。 21. 如图,在直角坐标系 xOy 中,椭圆 c1 :

x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 )的左、右顶点分别为 A 、 a 2 b2 B ,左、右焦点分别为 F1 、 F2 , F2 也是抛物线 c2 : y 2 = 4 x 的焦点,点 S 为 c1 与 c2 在第 5 一象限的交点,且 SF2 = . 3 (Ⅰ)求椭圆 c1 的方程; (Ⅱ)设点 P 为椭圆 c1 上不同于 A 、 B 的一个动点,直线 PA 、 PB 与椭圆右准线分别相 交于 M 、 N . 证明:以 MN 为直径的圆必过椭圆外的一个定点。

22.已知函数 f ( x) = ln(e x + a )( a 为常数,e 为自然对数的底数)是实数集 R 上的奇函数, 函数 g ( x ) = λ f ( x ) + sin x 是区间[-1,1]上的减函数. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 g ( x)≤t 2 + λ t + 1 在 x ∈ [ ?1,1] 上恒成立,求 t 的取值范围; (Ⅲ)讨论关于 x 的方程

ln x = x 2 ? 2ex + m 的根的个数. f ( x)

DAC B C

C CAA B

AB

?2 ;?4;

π
4

;①②③

r r r r r2 r2 r 2 r 2 17. (Ⅰ) f ( x ) = a + b ? a ? b = a ? b = a ? b = sin 2 (ω x + ? ) + 4 ? 1 ? cos 2 ( ω x + ? )

(

)(
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)

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= ?cos ( 2ω x + 2? ) + 3

2π π = 4 ,故 ω = .…………4′ 2ω 4 7 ? 7? ?π ? 又图象过点 M ? 1, ? ,∴ = 3 ? cos ? + 2? ? 2 ? 2? ?2 ?
由题意得周期 T =
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1 π π π? ?π 即 sin 2? = ,而 0 < ? < ,∴ 2? = ,∴ f ( x ) = 3 ? cos ? x + ? ………6′ 6? 2 4 6 ?2 π π π 2π (Ⅱ)当 ?1 ≤ x ≤ 1 时, ? ≤ x + ≤ 3 2 6 3
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∴当 ? 当0≤

π
3



π
2

x+


π

≤ 0 时,即 x ∈ ? ?1, ? ? 时, f ( x ) 是减函数 3? 6 ?
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?

1?

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2π ? 1 ? 时,即 x ∈ ? ? ,1? 时, f ( x ) 是增函数 2 6 3 ? 3 ? 1? ? ? 1 ? ∴函数 f ( x ) 的单调减区间是 ? ?1, ? ? ,单调增区间是 ? ? ,1? 3? ? ? 3 ? x+
18. [解] (1)Q 3a n +1 + 2 S n = 3 ① ∴ 当 n ≥ 2 时, 3a n + 2 S n ?1 = 3 . ②

π

π

由 ① - ②,得 3a n +1 ? 3a n + 2a n = 0 . ∴ 又 Q a1 = 1 , 3a 2 + 2a1 = 3 ,解得 a 2 =

a n +1 1 = an 3

(n ≥ 2) .

1 1 . ∴ 数列 { a n } 是首项为 1,公比为 q = 3 3

?1? 的等比数列. ∴ a n = a1 q n ?1 = ? ? ?3?

n ?1

( n 为正整数).
n

?1? 1? ? ? n n a1 a 1? q 1 3 ? 3? = 3 ?1? ? 1 ? ? . = = , Sn = 1 (2)由(1)知, S = = ? ? ? ? 1 2 1 1? q 1? q 2? ? ?3? ? ? 1? 1? 3 3 n n 3 3? ?1? ? ?1? 由题意可知,对于任意的正整数 n ,恒有 k ≤ ? 1 ? ? ? ? ,解得 k ≤ 1 ? ? ? . 2 2? ? 3? ? ?3? ? ? ? ? 1 ?n ? 2 ? ? Q 数列 ? 1 ? ? ? ? 单调递增,∴ 当 n = 1 时,数列中的最小项为 , 3 ? ? 3? ? ? ? 2 2 ∴ 必有 k ≤ ,即实数 k 的最大值为 . 3 3 19.(Ⅰ)在线段 BC1 上取中点 F ,连结 EF 、 DF . 则 EF // DA1 ,且 EF = DA1 ,∴ EFDA1 是平行四边形……3′ ∴ A1 E // FD ,又 A1 E ? 平面 BDC1 , FD ? 平面 BDC1 , ∴ A1 E // 平面 BDC1 .……5′ (Ⅱ)由 A1 E ⊥ B1C1 , A1 E ⊥ CC1 ,得 A1 E ⊥ 平面 CBB1C1 .

(

)

过点 E 作 EH ⊥ BC1 于 H ,连结 A1 H . 则 ∠A1 HE 为二面角 A1 ? BC1 ? B1 的平面角……8′ 在 Rt ?BB1C1 中,由 BB1 = 8 , B1C1 = 4 得

8 5 4 5 ,∴ EH = ,又 A1 E = 2 3 , 5 5 AE 15 ∴ tan∠A1 HE = 1 = > 3 ,∴ ∠A1 HE > 60o .……11′ EH 2 ∴ M 在棱 AA1 上时,二面角 M ? BC1 ? B1 总大于 60o .
BC1 边上的高为
故棱 AA1 上不存在使二面角 M ? BC1 ? B1 的大小为 60o 的点 M . ……12
2 20. (Ⅰ)一次摸奖从 n + 5 个球中任取两个,有 Cn + 5 种方法。 1 1 它们是等可能的,其中两个球的颜色不同的方法有 Cn C5 种,

一次摸奖中奖的概率为 p =

1 1 Cn C5 10n = .……3′ 2 Cn + 5 ( n + 5 )( n + 4 )

(Ⅱ)设每次摸奖中奖的概率为 p ,三次摸奖中恰有一次中奖的概率是:
1 m = P3 (1) = C3 ? p ? (1 ? p ) = 3 p 3 ? 6 p 2 + 3 p ( 0 < p < 1 ). 2

m 对 p 的导数 m′ = 9 p 2 ? 12 p + 3 = 3 ( p ? 1)( 3 p ? 1) ……5′

? 1? ?1 ? 因而 m 在 ? 0, ? 上为增函数, m 在 ? ,1? 上为减函数。 ? 3? ?3 ? 1 10n 1 4 ∴当 p = ,即 = , n = 20 时, mmax = .……… 7′ 3 9 ( n + 5)( n + 4 ) 3
(Ⅲ)由(Ⅱ)知:记上 0 号的有 10 个红球,从中任取一球,有 20 种取法,它们是等 可能的.故 ξ 的分布列是:

ξ
P

0 1 2

1 1 20

2 1 10

3 3 20

4 1 5

1 1 1 3 1 3 Eξ = 0 × + 1 × + 2 × + 3 × + 4 × = .……9′ 2 20 10 20 5 2 3? 1 ? 3? 1 ? 3? 1 ? 3? 3 ? 3 ? 1 11 ? Dξ = ? 0 ? ? × + ? 1 ? ? × + ? 2 ? ? × + ? 3 ? ? × + ? 4 ? ? × = . 2 ? 2 ? 2 ? 20 ? 2 ? 10 ? 2 ? 20 ? 2? 5 4 ?
21.【解】 (Ⅰ)由 c2 : y 2 = 4 x 知: F2 (1,0 ) ,设 S ( x1 , y1 ) .
2 2 2 2 2

5 5 ,∴ x1 + 1 = . 3 3 2 2 6 ……2′ 得: x1 = , y1 = 3 3
∵ S 在 c2 上, SF2 =

4 8 + = 1 ,且 b 2 = a 2 ? 1 . 9a 2 3b 2 消去 b 2 并化简得: 9a 4 ? 37 a 2 + 4 = 0 ,解得 a 2 = 4 ,∴ b 2 = 3 . x2 y 2 故椭圆方程为 + = 1 .………5′ 4 3 (Ⅱ)设 P 2cosθ , 3sinθ , M ( 4, m ) , N ( 4, n ) . S 在 c1 上,且椭圆 c1 的半焦距 c = 1 ,∴

(

)

则 A ( ?2,0 ) , B ( 2,0 ) ,由 A 、 P 、 M 三点共线,得 m = 由 B 、 P 、 N 三点共线,得 n =

3 3sinθ ,………7′ 1 + cosθ

3sinθ .……8′ cosθ ? 1 2 以 MN 为直径的圆的方程为: ( x ? 4 ) + ( y ? m )( y ? n ) = 0 .

? 3 3sinθ 3sinθ ? 2 整理得: ( x ? 4 ) + y 2 ? ? + ? 1 + cosθ cosθ ? 1 ? y ? 9 = 0 ……11′ ? ? ?
2 2 ? ?x = 7 ?x = 1 ?( x ? 4 ) + y ? 9 = 0 解? ,得: ? (? 舍去) ?y = 0 ?y = 0 ?y = 0 ?

∴ 以 MN 为直径的圆必过椭圆外的一个定点 ( 7,0 ) ,命题成立. 22. 解 : ( Ⅰ ) f ( x) = ln(e x + a ) 是 奇 函 数 , 则 ln(e ? x + a ) = ? ln(e x + a ) 恒 成 立.∴ (e? x + a )(e x + a ) = 1

1 + ae ? x + ae x + a 2 = 1 ,∴ a (e x + e ? x + a ) = 0, ∴ a = 0

(Ⅱ)Q g ( x ) = λ x + sin x 在[-1,1]上是减函数,∴ g ′( x ) = λ + cos x≤0 在[-1,1]上恒成立,

∴ λ≤ ? cos x, cos x ∈ [cos1,1] ,∴ λ≤-1

又Q g ( x ) 在[-1,1]上单调递减,

∴ g ( x) max = g (?1) = ?λ ? sin1, ∴只需 ? λ ? sin1≤t 2 + λ t + 1 , ∴ (t + 1)λ + t 2 + sin1 + 1≥0 (其中 λ≤-1 )恒成立.

令 h(λ ) = (t + 1)λ + t + sin1 + 1(λ≤-1) ,则 ?
2

?t + 1≤0
2 ??t ? 1 + t + sin1 + 1≥0,

?t≤-1 ∴? 2 而 t 2 ? t + sin1 ≥0 恒成立,∴ t≤-1 ?t ? t + sin1≥0
(Ⅲ)由(Ⅰ)知 f ( x ) = x ,∴ 方程为

ln x = x 2 ? 2ex + m , x

令 f1 ( x ) =

ln x 1 ? ln x ,当 x ∈ (0, e) 时, f1′( x)≥0 , , f 2 ( x ) = x 2 ? 2ex + m ,Q f1′( x ) = x x2

∴ f1 ( x ) 在 (0, e] 上为增函数; x ∈ [e, +∞)时, f1′( x )≤0,∴ f1 ( x)在[e, +∞ ) 上为减函数,

当 x = e 时, f1 ( x) max = f1 (e) =

1 而 f 2 ( x) = ( x ? e) 2 + m ? e 2 ,∴函数 e 1 f1 ( x)、f 2 ( x) 在同一坐标系的大致图象如图所示,∴①当 m ? e 2 > ,即 e 1 m > e 2 + 时,方程无解. e

②当 m ? e 2 =

1 1 1 , 即 m = e 2 + 时,方程有一个根. ③当 m ? e2< , 即 e e e

1 m<e2 + 时,方程有两个根. e


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