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求数列的通项公式类型整合


求数列的通项公式
1. 等差数列,等比数列 等差数列, 2. 累加法 an+1 = an + f (n) 解法: 解法:把原递推公式转化为 an+1 an = f (n) , 利用累加法(逐差相加法 求解. 逐差相加法)求解 利用累加法 逐差相加法 求解 1 1 a1 = , +1 = a n + 2 an 例题: 例题:已知数列{a n }满足 , n +n 2 求 an .

3. 累乘法 a n +1 = f (n)a n
an +1 解法: 解法:把原递推公式转化为 a = f (n),利 n



累乘法(逐商相乘法 求解 累乘法 逐商相乘法)求解. 逐商相乘法 求解. 例题:已知数列{an},满足a1=1, 例题= a + 2a + 3a + 满足 1)a , :已知数列 , + (n an 1 2 3 n 1
1 an = ___

则{an}的通项 的通项

n =1 n≥2

(n≥2), ,

can , (c d ≠ 0) 5. 倒数法: an +1 = 倒数法: an + d
解法: 解法:取倒数

4. 待定系数法: a n +1 = pa n + q (其中 ,q均为常数, 待定系数法: 其中p, 均为常数 均为常数, ( pq ( p 1) ≠ 0). 解法:(待定系数法):把原递推公式转化为: :(待定系数法):把原递推公式转化为 解法:(待定系数法):把原递推公式转化为: q a n+1 t = p (a n t ) ,其中 t = 1 p

1

1 利用待定系数法. 若c≠d,令 bn = ,利用待定系数法 , an

a n +1

d 1 1 = + c an c

1 1 成以 为公差的等差数列. 若c=d, , 为公差的等差数列 c an

6. an +1 = pan + rq n (其中 ( pq ( p 1)( q 1) ≠ 0) 解法:一般地, 解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以 n +1 an +1 p an r , q ,得 n+1 = n + q q q q

an 利用待定系数法. 令 bn = n ,利用待定系数法 q
1 1 n +1 5 a a 例题: 例题:已知数列 {a n }中,1 = ,n +1 = a n + ( ) ,求 a n . 6 3 2

3 思考:已知数列{an}满足:a1= 思考:已知数列{an}满足:a1= 2 ,

3na n-1 (n ≥ 2,n ∈ N ) an= 且an= 2a n-1+n-1
求数列{an}的通项公式; 求数列{an}的通项公式;

7.

a n + 2 = pa n +1 + qa n(其中 ,q均为非零常数) 其中p, 均为非零常数 均为非零常数)
解法: an + 2 α an +1 = β ( an +1 α an ) 解法:

α + β = p 其中 α β = q
例题:数列 {a n } ,3a n + 2 5a n +1 + 2a n = 0(n ≥ 0, n ∈ N ) 例题: a1 = a, a 2 = b ,求 an . 8.

a n +1 = pa

r n

( p > 0, a n > 0)

解法:等式两边取对数后利用待定系数法求解 解法:等式两边取对数后利用待定系数法求解. 9. 周期型 10. 给出 与sn的某种关系式求解 给出an与 的某种关系式求解 的某种关系式求解.

数列求和基本方法: 数列求和基本方法:
8 ×1 8× 2 8× n 思考:求Sn= 2 2 + 2 2 + … + 1 ×3 3 ×5 (2n 1) 2 × (2n + 1) 2

1.公式法(基本量法) 公式法(基本量法) 公式法 2.裂项相消法 裂项相消法

3.错位相减法 错位相减法 4.分组求和法 分组求和法
思考:

S n = 1 + (2 + a ) + (3 + a + a ) + + (n + a + a + a
2 2

n 1

)

5.倒序相加法 倒序相加法


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