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山西省太原市2014届高三模拟考试(一)数学理试题


山西省太原市 2014 届高三模拟考试(一) 数学(理)试题
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1 1.已知 U={y| y ? log2 x, x ? 1 }, P={y| y ? , x ? 2 }, 则 CUP= x
1 A. [ , +∞) 2 2+i 2.复数 的共轭复数是 1-2i A.3 i 5 3 B. i 5 C.- i D. i B. (0, 1 ) 2 C.(0, +∞) 1 D. ( ,+∞) 2

3 .若函数 f ( x ) 同时具有以下两个性质: ① f ( x ) 是偶函数, ② 对任意实数 x ,都有

f ( ? x ) ? f ( ? x ),则 f ( x) 的解析式可以是 4 4
A. f ( x ) = cos x B. f ( x ) = cos(2 x ? D. f ( x ) = cos 6 x

?

?

?

2

)

C



f ( x)

=

sin(4 x ? ) 2

?

4.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, a4 ? a7 ? a10 ? 9, S14 ? S3 ? 77 ,则使 Sn 取得最小值 时 n 的值为 A.4 B.5
2

C.6

D.7

5.已知命题 p: ?x0 ? R, ex ? mx ? 0, q: ?x ? R, x ? mx ? 1 ? 0 ,若 p∨(?q)为假命题,则实数 m 的取值范围是 A. (-∞,0)∪(2,+∞) B.[0,2] C.R D.? 6.有 5 本不同的教科书,其中语文书 2 本,数学书 2 本, 物理书 1 本.若将其并排摆放在书架的同一层上,则同 一科目书都不相邻的放法种数是 A.24 B.48 C.72 D.96 7.给出 30 个数:1,2,4,7,11,16,?,要计算这 30 个数的和, 右图给出了该问题的程序框图,那么框图中判断①处和执行 框②处可以分别填入 A. i ≤30?和 p=p+ i -1 B. i ≤31?和 p=p+ i +1 C. i ≤31?和 p=p+ i D. i ≤30?和 p=p+ i 8.一个几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积为



? 3 A.(32+ )㎝ 4 ? 3 B. (32+ )㎝ 2 ? 3 C. (41+ )㎝ 4 ? 3 D. (41+ )㎝ 2

x2 y 2 9. 设 P 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上, F1, F2 是该双曲线的两个焦点, ∠F1PF2=90°, a b
且?F1PF2 的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是 A.2 B.3 C.4 D.5 3 , 若 3

10. 在三棱锥 S-ABC 中, AB⊥BC, AB=BC= 2 ,SA=SC=2, 二面角 S-AC-B 的余弦值是S、A、B、C 都在同一球面上,则该球的表面积是 A.8 6 B. 6?
2

C.24?

D.6?

11.过 x 轴上点 P( a ,0)的直线与抛物线 y ? 8x 交于 A,B 两点,若 则 a 的值为 A.1 12.已知方程

1 AP
2

?

1 BP
2

为定值,

B.2

C.3

D.4

sin x ? k 在(0,+∞)上有两个不同的解?,?(?<?) ,则下面结论正确的 x
2

B.cos2?=2?sin ? C 2 D.cos2?=2?sin ? 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若 (cos ? ? x) 的展开式中 x 的系数为 2,则 cos2?=
5
3

是 2 A.sin2?=2?cos ?



sin2?=2?cos ?
2

.
2 2

14.已知 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点,PA、PB 是圆 x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 的切线, A,B 是切点,C 是圆心,那么四边形 PACB 的面积的最小值是 .

? cos C ???? ???? cos B ??? AB ? AC ? 2mAO , 15.已知 O 是锐角?ABC 的外接圆的圆心,且∠A=?,若 sin C sin B
则实数 m= .(用?表示) 16.在数列 {an } 中,已知 a1 ? 1, an ? 2 ?

1 , a100 ? a96 ,则 a15 ? a16 ? an ? 1

.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已 知 △ ABC 三 个 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 面 积 为 S ,



a cos C ? 3c sin A ? b ? c ? 0.
(I)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a = 3 ,求 3 S+ 3cosBcosC 取最大值时 S 的值. 3

18. (本小题满分 12 分) 某园艺师培育了两种珍稀树苗 A 与 B, 株数分别为 12 与 18, 现将这 30 株树苗的高度编 写成如下茎叶图(单位:cm): A 9 15 16 17 18 19 7 B 7 8 9 9

6 7

9 8 8 5 0 4 2 1 1

1 2 0

2 3 1

4 4

5 5

8 6

9

在这 30 株树苗中,树高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“生长良好” ,树高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非生长良好” ,且只有“B 生长良好”的才可以出售. (Ⅰ)对于这 30 株树苗,如果用分层抽样的方法从 “生 长 良 好 ”和“非生长良好”

中共抽取 5 株,再从这 5 株中任选 2 株,那么至少有一株“生长良好”的概率是多 少? 中选 3 株, 用 X 表示所选中的树苗中能出售的株树, (II)若从所有 “生长良好” 试写出 X 的分布列,并求 X 的数学期望.

19. (本题满分 12 分) 如图, 在斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 点 O 是 A1C1 的中点, AO⊥平面 A1B1C1.已知∠BCA=90°, AA1=AC=BC=2. (I)求证:AB1⊥ AlC;



(Ⅱ)求 A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值.

20. (本小题满分 12 分) 已知中心在原点 O,左右焦点分别为 F1,F2 的椭圆的离心率为 6 ,焦距为 2 2 ,A,B 3

是椭圆上两点. (I)若直线 AB 与以原点为圆心的圆相切,且 OA⊥OB,求此圆的方程; (Ⅱ)动点 P 满足: OP = OA +3 OB ,直线 OA 与 OB 的斜率的乘积为迹方程. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a) x ? 2(1 ? ln x) ? a , g ( x ) ? (I)若函数 f ( x ) 在区间(0,
→ → →

1 ,求动点 P 的轨 3

ex . ex

1 )无零点,求实数 a 的最小值; 2

] 上方程 f ( x) ? g( x0 ) 总存在两个不等的实 (Ⅱ)若对任意给定的 x0 ? (0, e] ,在 (0, e
根,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作 答时请把答题卡上所选题目题号后的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4 一 1:几何证明选讲 如图,已知 PA 与⊙O 相切于点 A,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B,C,∠APC 的平分 线分别交 AB、AC 于点 D、E. (Ⅰ)证明:∠ADE=∠AED; PC (Ⅱ)若 AC=AP,求 的值. PA



23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? a cos ? (a ? b ? 0, ?为参数) ,且曲 ? y ? b sin ?

? 线 C1 上的点 M(2, 3)对应的参数?= .且以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立 3 ? ? 极坐标系, 曲线 C2 是圆心在极轴上且经过极点的圆, 射线?= 与曲线 C2 交于点 D ( 2 , ) . 4 4 (I)求曲线 C1 的普通方程,C2 的极坐标方程;

1 1 ? (Ⅱ)若 A(?1,?),B(?2,?+ )是曲线 C1 上的两点,求 2 ? 2 的值. 2 ?1 ?2

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 3| . (I)解不等式 f ( x) ? 4 ; (Ⅱ)若存在 x 使得 f ( x) ? a ? 0 成立,求实数 a 的取值范围.


















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