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安徽省合肥一中2013-2014学年高二数学上学期第一次月考试题 理 新人教A版


合肥一中 2013-2014 学年高二上学期第一次段考 理科数学试卷
一选择题。 (每题 4 分,计 40 分) 1、垂直于同一条直线的两条直线一定( ) A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能 2、过直线 l 外两点作与直线 l 平行的平面,可以作( ) A.1 个 B.1 个或无数个 C.0 个或无数个 D.0 个、1 个或无数个 3.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,错误 的是( ) .. A用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D水平放置的圆的直观图是椭圆 4.正方体的外接球与内切球的球面面积分别为 S1 和 S2 则( ) A.S1=2S2 B.S1=3S2 C.S1=4S2 D.S1=2 3S2 5、一个棱柱是正四棱柱的条件是( ) A.底面是正方形,有两个侧面是矩形 B.每个侧面都是全等矩形的四棱柱 C.底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D.底面是正方形,有两个相邻侧面垂直于底面 6. 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上.若 AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1 =12.则球 O 的半径为( ) 3 17 13 B.2 10 C. D.3 10 2 2 7.关于直线 a、b、l 及平面 M、N,下列命题中正确的是( ) A 若 a∥M,b∥M,则 a∥b B 若 a∥M,b⊥a,则 b⊥M C 若 a M,b M,且 l⊥a,l⊥b,则 l⊥M D 若 a⊥M,M∥N,则 a⊥N 8、给出下列命题 A. ①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为( A.0 个 B.1 个 ) C.2 个 D.3 个

9.如图,在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触上, 经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( )

10. 有 一 个 长 方
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体容器 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,装的水恰好占其容积的一半;? 表示水平的桌面,容器一边 BC 紧 贴桌面, 沿 BC 将其翻转使之倾斜, 最后水面(阴影部分)与其各侧棱的交点 分别是 EFGH (如 ....... 图) ,设翻转后容器中的水形成的几何体是 M ,翻转过程中水和容器接触面积为 S ,则下列说 法正确 的是 ( ) .. A. M B. M C. M D. M 是棱柱, S 是棱柱, S 是棱台, S 是棱台, S 逐渐增大 始终不变 逐渐增大 始终不变

二.填空题(每题 4 分,计 16 分) 11.如下图所示, ?AOB 是平面图形 M 的直观图,则 M 的面 积是

A 2 O 2
45?

B

12. 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该 几 何 体 的 体 积 是 ________.

13.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(经过圆锥旋转轴的截面中两条母线 的夹角)是 14.关于图中的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,下列说法正确的有: ___________. ① P 点在线段 BD 上运动,棱锥 P ? AB1 D1 体积不变; ② P 点在线段 BD 上运动,直线 AP 与平面 AB1 D1 所成角不变; ③一个平面 ? 截此正方体,如果截面是三角形,则必为锐角三角形;

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④一个平面 ? 截此正方体, 如果截面是四边形, 则必为平行四边形; ⑤平面 ? 截正方体得到一个六边形(如图所示) ,则截面 ? 在平面 AB1 D1 与平面 BDC1 间平行移动时此六边形周长先增大,后减小。

三.解答题(合计 44 分) 15、(本小题 8 分)如图,圆锥形封闭容器,高为 h,圆锥内水面高为 h1,h1 ?

h , 若将圆锥倒 4

置后,圆锥内水面高为

16.(本小题 8 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? BB1 , AC1 ? 平面A1BD , D 为的 AC 中点. (1)求证: B1C ∥平面 A 1BD ;

(2)求证: B1C1 ? 平面 ABB1 A 1;

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17 、 ( 本小题 8 分 ) 已知四棱锥 P-ABCD ,底面 ABCD 是 ?A ? 60 、边长为 a 的菱形,又
?

PD ? 底ABCD,且 PD=CD,点 M、N 分别是
PC 的中点. (1)证明:MB ? 平面 PAD; (2)求点 A 到平面 PMB 的距离.
P

棱 AD 、

N

D M A B

C

18. (本小题 10 分) 如图所示,在直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD, BC=1,AD=AA1=3. (1)证明:AC⊥B1D; (2)求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值.

19. (本小题 10 分) 如图所示, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABCD, AB∥DC, AB⊥AD, AD=CD=1,AA1=AB=2,E 为棱 AA1 的中点. (1)证明:B1C1⊥CE; (2)设点 M 在线段 C1E 上,且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值 为 2 .求线段 AM 的长. 6

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理科数学试卷参考答案 一选择题。 (每题 4 分,计 40 分) 1、D 2、D 3.B 4.解析:选 B.不妨设正方体的棱长为 1,则外接球直径为正方体的体对角线长为 3,而内切 S1 3 2 球直径为 1,所以 =( ) =3,所以 S1=3S2. S2 1 5、D 6. C [解析] 由题意将直三棱柱 ABC-A1B1C1 还原为长方体 ABDC-A1B1D1C1, 则球的直径即为长 方体 ABDC-A1B1D1C1 的体对角线 AD1,所以球的直径 AD1= AB +AC +AA1= 3 +4 +12 =13, 13 则球的半径为 ,故选 C. 2 7 D 8、B 9. B 10. B 11. 4
2 2 2 2 2 2

12.16π -16 [解析] 由三视图可知该几何体是一个圆柱里面挖去了一个长方体,所以该几 何体的体积为 V=4π ×4-16=16π -16. 13.60°. 14. _____①③________. 三.解答题(合计 44 分) 15、 分析:圆锥正置与倒置时,水的体积不变,另外水面是平行于底面的平面,此平面截得的小 圆锥与原圆锥成相似体,它们的体积之比为对应高的立方比. 解: V S ? AB ? ( 3 ) 3 ? 27 V S ?CD 4 64

?

V水 V锥

37 37 ? 37 ? 3 3 37 3 ? 倒置后:V水 :V锥 ? h2 :h 3 ? ? h2 ? ? h 3 ? ? h 64 64 4 ? 64 ?

1

16. (I)证明:如图,连结 AB1 与 A1B 相交于 M。 则 M 为 A1B 的中点 连结 MD,则 D 为 AC 的中点 ∴B1C∥MD 又 B1C ? 平面 A1BD ∴B1C∥平面 A1BD

B1

C1
E

A1
M

B
A D

C

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(II)∵AB=B1B,∴四边形 ABB1A1 为正方形∴A1B⊥AB1 又∵AC1⊥面 A1BD ∴AC1⊥A1B∴A1B⊥面 AB1C1 ∴A1B⊥B1C1 又在直棱柱 ABC—A1B1C1 中 BB1⊥B1C1 ∴B1C1⊥平面 ABB1A1

17.解: (1)

PD ? 平面ABCD ? ? ? PD ? MB MB ? 平面ABCD?
?

又因为底面 ABCD 是 ?A ? 60 、 边长为 形,且 M 为 AD 中点, 所以 MB ? AD . 又 所

a 的菱


MB ? 平面PAD .
(2)因为 M 是 AD 中点,所以点 A 与 D 到平 等距离. 过点 D 作 DH ? PM 于 H,由(2) PMB ? 平面 PAD,所以 DH ? 平面PMB . 故 DH 是点 D 到平面 PMB 的距离. 面 平 PMB 面

a ?a 5 5 a. DH ? 2 ? a. 所以点 A 到平面 PMB 的距离为 5 5 5 a 2
18.解:方法一 (1)证明:如图所示,因为 BB1⊥平面 ABCD,AC ?平面 ABCD,所以 AC⊥BB1. 又 AC⊥BD,所以 AC⊥平面 BB1D,而 B1D ?平面 BB1D,所以 AC⊥B1D.

(2)因为 B1C1∥AD, 所以直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角等于直线 AD 与平面 ACD1 所成的角(记 为 θ ). 如图所示,联结 A1D,因为棱柱 ABCD-A1B1C1D1 是直棱柱,且∠B1A1D1=∠BAD=90°, 所以 A1B1⊥平面 ADD1A1,从而 A1B1⊥AD1.又 AD=AA1=3,所以四边形 ADD1A1 是正方形,于 是 A1D⊥AD1,故 AD1⊥平面 A1B1D,于是 AD1⊥B1D. 由(1)知,AC⊥B1D,所以 B1D⊥平面 ACD1.故∠ADB1=90°-θ .
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AB 在直角梯形 ABCD 中,因为 AC⊥BD,所以∠BAC=∠ADB,从而 Rt△ABC∽Rt△DAB,故 = DA BC ,即 AB= DA·BC= 3. AB 联结 AB1, 易知△AB1D 是直角三角形, 且 B1D =BB1+BD =BB1+AB +AD =21, 即 B1D= 21. 在 Rt△AB1D 中,cos∠ADB1= AD 3 21 = = , B1D 7 21
2 2 2 2 2 2

即 cos(90°-θ )=

21 21 ,从而 sin θ = . 7 7 21 . 7
2

即直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为

19.(1)证明:因为侧棱 CC1⊥平面 A1B1C1D1, B1C1 ?平面 A1B1C1D1,所以 CC1⊥B1C1.经计算可得 B1E= 5,B1C1= 2,EC1= 3,从而 B1E 2 2 =B1C1+EC1,所以在△B1EC1 中,B1C1⊥C1E.又 CC1,C1E ?平面 CC1E,CC1∩C1E=C1,所以 B1C1⊥ 平面 CC1E,又 CE ?平面 CC1E,故 B1C1⊥CE.

(2)过 B1 作 B1G⊥CE 于点 G,联结 C1G.由(1),B1C1⊥CE.故 CE⊥平面 B1C1G,得 CE⊥C1G, 所以∠B1GC1 为二面角 B1-CE-C1 的平面角.在△CC1E 中,由 CE=C1E= 3,CC1=2,可得 C1G = 2 3 6 .在 Rt△B1C1G 中,B1G= 42 21 ,所以 sin∠B1GC1= ,即二面角 B1-CE-C1 的正弦值为 3 7

21 . 7 (3)联结 D1E, 过点 M 作 MH⊥ED1 于点 H,可得 MH⊥平面 ADD1A1,联结 AH,AM,则∠MAH 为 直线 AM 与平面 ADD1A1 所成的角. 设 AM=x, 从而在 Rt△AHM 中, 有 MH= 2 34 x, AH= x.在 Rt△C1D1E 中, C1D1=1, ED1= 2, 6 6

1 2 2 2 得 EH= 2MH= x.在△AEH 中,∠AEH=135°,AE=1,由 AH =AE +EH -2AE·EHcos 135°, 3 17 2 1 2 2 得 x =1+ x + x. 18 9 3 整理得 5x -2
2

2x-6=0,解得 x= 2(负值舍去),所以线段 AM 的长为 2
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