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高中数学思想方法之“分类讨论思想”


高中数学思想方法之“分类讨论思想”
(2012.8.6)

一、知识整合: 1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想,有关分类讨论的数学命题在高 考试题中占有重要位置。 2.所谓分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标 准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答。实 质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略。 3.分类原则:分类对象确定,标准统一,不重复,不遗漏,分层次,不越级讨论。 4.分类方法:明确讨论对象,确定对象的全体,确定分类标准,正确进行分类;逐类进行讨 论,获取阶段性成果;归纳小结,综合出结论。 5.含参数问题的分类讨论是常见题型。解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围 进行讨论。如解不等式 ax ? 2 时分 a ? 0 、 a ? 0 和 a ? 0 三种情况讨论。这称为含参型。 6.中学数学教材中分类讨论的知识点,大致有:①绝对值概念的定义;②一元二次方程根 k 的判别式与根的情况;③二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口方向;④反比例函数 y= x (x≠0)的反比例系数 k,正比例函数 y=kx 的比例系数 k,一次函数 y=kx+b 的斜率 k 与图象位置 及函数单调性的关系;⑤幂函数 y=xa 的幂指数 a 的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系; ⑥指数函数 y=ax 及其反函数 y=loga x 中底数 a>1 及 a<1 对函数单调性的影响; ⑦等比数列前 n 项和公式中 q=1 与 q≠1 的区别; ⑧不等式性质中两边同乘(除)以正数或负数时对不等号方向的 影响;⑨直线与圆锥曲线位置关系的讨论;⑩运用点斜式、斜截式直线方程时斜率 k 是否存在. 二、典型例题: 例 1.已知圆 x ? ? ,求经过点 P2 4 ,且与圆相切的直线方程。 ( ,) y 4
2 2

log 例 2. 解关于x 的不等式: a (1 ? ) ? 1

1 x

例 3. 设k ? R,问方程 (8 ? k ) x ? ( k ? 4) y ? (8 ? k )( k ? 4) 表示什么曲线?
2 2

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例 4、 (2012 广东高考文科数学 21 题) 设 0< a <1,集合 A ? {x ? R | x ? 0} , B ? {x ? R | 2x2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0}, D ? A ? B . (1)求集合 D(用区间表示)

三、巩固练习 1. 若 a ? 0,且a ? 1 p ? loga (a3 ? a ? 1),q ? loga (a2 ? a ? 1), p, q 的大小关系为( 则 , A. p q ? 2. 若 A (2? R ? R ? ? ,则实数中的取值范围是( ??)1 x ,且 A x p? ? | x ? 0 x ,
2



?
?

B. p?q

C. p?q

?
?
C.

D. a ? 1时,p ? q ; 0a1, ?? pq 时 ?
?



A. p?? 2

B. p?? 2

C. ?4 ? p ? 0

D. p?? 4 )

3. 已知集合 A ? x ?ax ? 1 ? 0 , B ? x ?1,1 ,若 A ? B ? B , 则实数 a 的取值的集合是 ( A.

?

?

??1?

B. ?1?

??1,1?

D.

?0, ?1,1?


4. 一条直线过点(5,2) ,且在 x 轴,y 轴上截距相等,则这直线方程为( A. x y 7 0 ??? C. x ? y ? 7 ? 0或2 x ? 5 y ? 0
n n

B. 2?y 0 x 5? D. x ? y ? 7 ? 0或2 y ? 5x ? 0 ) C. 1或 ? 1

5. 若 sin x ? cos x ? 1 则sin x ? cos x(n ? N )的值为 ( , A. 1 B. ? 1
2

D. 不能确定

6. 函数 fx m ( 3 1 ( ? ?? ? ) x mx 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,则实数 m 的 ) 取值范围为( )

,? A. 0 ?

?

?

B.

?1 ?? , ?

C.

1 ?0,?

D. )

7.集合 A={x||x|≤4,x∈ R},B={x||x-3|<a,x∈ R},若 A∩B=B,那么 a 的取值范围是( A.0≤a≤1
2 2

B.a≤1

C.a<1

D.0<a<1 ( )

x y 8.若方程 - =1 表示双曲线,则它的焦点坐标 为 k-4 k+4 A.( 2k,0),(- 2k,0) B.(0, 2k),(0,- 2k)
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C.( 2|k|,0),(- 2|k|,0)

D.由 k 的取值确定 )

9.若定义在区间(-1,0)内的函数 f(x)=log2a(x+1)满足 f(x)>0,则 a 的取值范围是 ( 1 A.?0,2? ? ? 1 B.?0,2? ? ? 1 C.?2,+∞? ? ? D.(0,+∞) )

3 10.已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,则双曲线的离心率为 ( 4 5 5 5 15 5 5 A. B. C. 或 D. 或 3 2 2 3 3 4

11.函数 f(x)= mx2+mx+1的定义域为一切实数,则实数 m 的取值范围是____________. 12.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 6 和 4 的 矩形,则它的体积为___________ 13. 若 loga

2 ?1,则 a 的取值范围为________________ 3
2

14. 与圆 x? ?) ?相切,且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________ ( 2 1 y
2

a 15.函数 y=ax(a>0 且 a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大 ,则 a 的值是________. 2 16.若函数 f(x)=a|x-b|+2 在[0,+∞)上为增函数,则实数 a,b 的取值范围为________. 1 4 17、 (1)求曲线 y= x3+ 经过点 P(2,4)的切线方程. 3 3 1 (2)已知 f(x)= x2-alnx(a∈ R),求函数 f(x)的单调区间; 2

18、解关于 x 的不等式 ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0
2

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