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吉林省吉林市第一中学校2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 文


吉林一中 2014—2015 学年度下学期期末高地数学文考试 高二数学文试题
学校:__________姓名:__________班级:__________考号:__________ 题号 得分 注意事项: 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 评卷人 得分 一 二 三 总分

一、单项选择(注释)

1、命题“ ?x ? R , 2 ? 1 ”的否定是(
x


x

A. ?x ? R , 2 ? 1
x

B. ?x ? R , 2 ? 1 D. ?x ? R,2 ? 1
x

C. ?x ? R , 2 ? 1
x

2、命题“若 a ? b ,则 a ? 1 ? b ”的逆否命题是( ) A.若 a ? 1 ? b ,则 a ? b B.若 a ? 1 ? b ,则 a ? b C.若 a ? 1 ? b ,则 a ? b D.若 a ? 1 ? b ,则 a ? b 3、双曲线 x ? y ? 1 的离心率为(
2 2

) D. 1 )

A. 2

B. 2
n

C. 4

4、已知命题 p: ?n ? N ? 2 ? 1 000,则 ? p 为( A、 ?n ? N ? 2 ? 1 000
n n

B、 ?n ? N ? 2 ? 1 000 D.、 ?n ? N ? 2 ? 1 000
n

C 、 ?n ? N ? 2 ? 1 000
n

5、若不等式 ax 2 ? 4ax ? 8 ? 0 的解集为 R ,则实数 a 的取值范围是( A、 (0, 2) C、 [0, 2) B、 (??,0) ? (2, ??) D、 (??,0] ? (2, ??)



6、定义区间(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的长度均为 d=b-a.用[x]表示不超过 x 的最大整数,记{x}=x-[x],其中 x∈R.设 f(x)=[x]·{x},g(x)=x-1,若用 d 表 示不等式 f(x)<g(x)解集区间的长度,则当 0≤x≤3 时,有( ) A.d=1 B.d=2 C.d=3 D.d=4
1

7、设 a, b, c ? R 且 a ? b ,则 ( A. ac ? bc B.

) C. a 2 ? b 2 D. a 3 ? b3

1 1 ? a b

8、不等式

x?5 ≥ 2 的解集是( ( x ? 1) 2
B. ? ? , 3?



A. ? ?3, ?

? ?

1? 2?

? 1 ? ? 2 ?

C. ? , 1? ? ?1, 3?

?1 ? ?2 ?

D. ? ? , 1? ? ?1, 3?

? 1 ? ? 2 ?

9、直线 x ? y ? m ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ?1 ? 0 有两个不同交点的一个充分不必要条件 是 A. ?3 ? m ? 1 C. 0 ? m ? 1 B. ?4 ? m ? 2 D. m ? 1

10、抛物线 y 2 ? ?12 x 的准线与双曲线 等于 ( ) A. 6 3 B. 3 3

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线所围成的三角形面积 9 3

C. 2 3

D. 3

11、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点分别为 F1、F2,P 为椭圆上的一点,已知 PF1 ? PF2,则 25 9
) B.12 C.10 D.8 )条件

? PF1F2 的面积为(
A.9

12、已知 p : | x |? 2 ; q : x 2 ? x ? 2 ? 0 ,则 q 是 p 的( A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 评卷人 得分 二、填空题(注释)

13




2







A?

?? x , y ? x ? y ? 2 , x , y ? Z? ,





B?


?? x , y ? x

? y 2 ? 2 , x , y ? Z , 在集合 A 中任取一个元素 a ,则 a ? B 的概率


?

14、已知真命题:椭圆的两个焦点为 F1 , F2 ,椭圆上任意一点 Q,从任一焦点向三角形 F1QF2 的顶点 Q 的外角平分线引垂线,垂足为 P,则点 P 的轨迹为圆(除去两点).类比 联想上述命题, 将 “椭圆” 改为 “双曲线” , 则有真命题: 。

2

x2 y 2 ? ? 1的焦距为4 2 ,则 m= 15、双曲线 4 m



?x ? 0 ? 16、设 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 z ? x ? y 的最大值是 ?2 x ? y ? 3 ?
评卷人 得分 三、解答题(注释)

.

2 17、已知命题 p: ? x∈[1,2],x -a≥0,命题 q: ? x0∈R, x0 +2ax0+2-a=0.若
2

命题“p∧q”是真命题,求实数 a 的取值范围. 18、写出命题“所有的偶数都能被 2 整除”的否定,并判断其真假.

x2 ? y 2 =1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 19、已知椭圆 C1: 4
(1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程. 20、已知点 R(?3,0) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上, 且满足 2PM ? 3MQ ? 0, RP ? PM ? 0 . (Ⅰ)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 为轨迹 C 上两点,且 x1 >1, y1 >0, N (1,0) ,求实数 ? , 使 AB ? ? AN ,且 AB ?

??? ?

??? ?

???? ?

???? ?

? ??? ? ???? ?

16 . 3
2 2

21、给定命题:已知 a、b 为实数,若 x +ax+b≤0 的解集是空集,则 a -4b≤0,写出它的逆 命题、否命题、逆否命题,并判断四个命题的真假.

22、解关于

x 的不等式 ax2 ? ? a ?1? x ?1 ? 0 ? a ? R?

3

参考答案 一、单项选择 1、 【答案】B 【解析】 2、 【答案】C 【解析】 3、 【答案】A 【解析】 4、 【答案】C 【解析】 5、 【答案】C 【解析】 当 a ? 0 时显然成立;当 a ? 0 ,需 ? 6、 【答案】A 【解析】f(x)=[x]·{x}=[x]·(x-[x])=[x]x-[x] ,由 f(x)<g(x)得[x]x-[x] <x-1, 2 即([x]-1)·x<[x] -1.当 x∈[0,1)时, [x]=0, 不等式的解为 x>1, 不合题意; 当 x∈[1,2) 时,[x]=1,不等式为 0<0,无解,不合题意;当 x∈[2,3]时,[x]>1,所以不等式([x]- 2 1)x<[x] -1 等价于 x<[x]+1,此时恒成立,所以此时不等式的解为 2≤x≤3,所以不等式 f(x)<g(x)解集区间的长度为 d=1. 7、 【答案】D 【解析】 8、 【答案】D 【解析】本小题主要考查分式不等式的解法。易知 x ? 1 排除 B;由 x ? 0 符合可排除 C;由 x ? 3 排除 A, 故选 D。也可用分式不等式的解法,将 2 移到左边直接求解。 9、 【答案】C 【解析】 10、 【答案】B 【解析】 11、 【答案】A 【解析】 12、 【答案】A 【解析】 二、填空题 13、 【答案】 【 解
2 2

?a ? 0 ? 0 ? a ? 2 。综上所述: a ? [0, 2) 。选 C。 ?? ? 0

9 . 13
析 】 满 足 集 合

A









? ?2 ? ,?


0 ??


?

, ??


?

1


?? ?,


?1 ?


? ,?

?


1 ?

? ? ,? ?
B


0

? ? ?, ? ?11 ? ,? , ? 0?1
有 :

13

1

? ?1, ?1? , ? ?1, 0? , ? ?1,1? , ?0 , ?1? , ?0 , 0? , ?0 ,1? , ?1, ?1? , ?1, 0? , ?1,1? ,共 9 个,则
a ? B 的概率是
9 . 13

14、 【答案】 解: 双曲线的两个焦点为 F1 , F2 , 双曲线上任意一点 Q,从任一焦点向三角形 F1QF2 的顶点 Q 的内角平分线引垂线,垂足为 P,则点 P 的轨迹为圆(除去两点) 。 【解析】双曲线的两个焦点为 F1 , F2 ,双曲线上任意一点 Q,从任一焦点向三角形 F1QF2 的顶 点 Q 的内角平分线引垂线,垂足为 P,则点 P 的轨迹为圆(除去两点) 。 15、 【答案】4 【解析】由题可知 c=2 2 ,∴m=c -a =8-4=4.
2 2

16、 【答案】0 【解析】 三、解答题 2 2 17、 【答案】∵p: ? x∈[1,2],x -a≥0,∴x ≥a. ∴a≤1. 2 ∵q: ? x0∈R,x0 +2ax0+2-a=0, 2 ∴Δ =(2a) -4(2-a)≥0. ∴a≤-2 或 a≥1. ∵“p∧q”是真命题,∴p 和 q 都是真命题. ∴p 和 q 的解集取交集得 a≤-2 或 a=1. 【解析】 18、 【答案】存在不能被 2 整除的偶数;是假命题 【解析】 19、 【答案】解:由已知可设椭圆 C2 的方程为

y 2 x2 3 ? =1 (a>2),其离心率为 ,故 2 a 4 2

a2 ? 4 3 y 2 x2 ? =1 . = ,则 a=4,故椭圆 C2 的方程为 16 4 a 2 ??? ? ??? ? 解:方法一:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由 OB=2OA 及(1)知,O,A,B x2 2 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx,将 y=kx 代入 +y 4 2 2 y x 4 2 2 2 ? =1 中,得(4+k2)x2 =1 中,得(1+4k )x =4,所以 x A = .将 y=kx 代入 2 1 ? 4k 16 4 ??? ? ??? ? 16 16 16 2 = =16,所以 xB = .又由 OB=2OA 得 xB 2 =4xA2 ,即 ,解得 k=±1, 2 2 4?k 4 ? k 1 ? 4k 2
故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 方法二:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由 OB=2OA 及(1)知,O,A,B 三

??? ?

??? ?

x2 2 点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx.将 y=kx 代入 +y =1 4 ??? ? ??? ? 16k 2 4 16 2 2 2 2 2 y = x = OB =2 OA 中,得(1+4k )x =4,所以 x A = .由 得 , , B B 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2

将 xB 2,yB 2 代入

y 2 x2 4 ? k2 ? =1 中,得 =1 ,即 4+k2=1+4k2,解得 k=±1,故直线 AB 2 16 4 1 ? 4k

的方程为 y=x 或 y=-x.

a2 ? 4 3 y 2 x2 3 ? =1 (a > 2) ,其离心率为 ,故 , = 2 a 4 2 a 2 y 2 x2 ? =1 . 则 a=4,故椭圆 C2 的方程为 16 4 ??? ? ??? ? 解:方法一:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由 OB=2OA 及(1)知,O,A,B x2 2 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx,将 y=kx 代入 +y 4 2 2 y x 4 2 2 2 ? =1 中,得(4+k2)x2 =1 中,得(1+4k )x =4,所以 x A = .将 y=kx 代入 2 1 ? 4k 16 4 ??? ? ??? ? 16 16 16 2 = =16,所以 xB = .又由 OB=2OA 得 xB 2 =4xA2 ,即 ,解得 k=±1, 2 2 4?k 4 ? k 1 ? 4k 2
解:由已知可设椭圆 C2 的方程为 故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 方法二:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由 OB=2OA 及(1)知,O,A,B 三 点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx.将 y=kx 代入

??? ?

??? ?

x2 2 +y =1 4

??? ? ??? ? 16k 2 4 16 2 2 中,得(1+4k )x =4,所以 x A = .由 OB=2OA 得 xB = , yB = , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2 2

2

将 xB 2,yB 2 代入

y 2 x2 4 ? k2 ? =1 中,得 =1 ,即 4+k2=1+4k2,解得 k=±1,故直线 AB 2 16 4 1 ? 4k

的方程为 y=x 或 y=-x. 【解析】 20、 【答案】 (Ⅰ)设点 M ( x, y ) ,由 由

R(?3,0) 得
,即

P

.

y

,得

Q
? ?? ? ?? ???? ? ??

x

.

又点 M 在 PQ 轴的正半轴上,∴2PM ?3MQ ? 0,RP?PM ? 0.故点 C 的轨迹 A(x1, y1) 的方程是

x
16

B( x2 , y2 ) .

(Ⅱ)由题意可知 x1 为抛物线 y1 :

x

的焦点,且 N (1,0) 、 ? 为过焦点 AB ? ? AN 的直线与抛物

线 AB ? 3 的两个交点,所以直线 AB 的斜率不为 0 . 当直线 AB 斜率不存在时,得 A(1,2), B(1,?2), AB ? 4 ?

16 ,不合题意; 3

当直线 AB 斜率存在且不为 0 时,设 l AB : y ? k ( x ? 1) ,代入

x



k x ? 2(k ? 2) x ? k ? 0 ,
2 2 2 2

2(k 2 ? 2) 4 16 ?2 ? 4? 2 ? 则 AB ? x1 ? x 2 ? 2 ? ,解得 k 2 ? 3 . 2 3 k k
3

代入原方程得 3x 2 ? 10x ? 3 ? 0 ,由于 x1 ? 1 ,所以 x1 ? 3, x 2 ? 得? ?

1 ,由 AB ? ? AN , 3

x2 ? x1 4 4 ? ,∴ ? ? . 3 1 ? x1 3

【解析】 21、 【答案】原命题:是假命题.逆命题:已知a、b为实数,若a -4b≤0,则x +ax+b≤0的解集是 2 2 空集.假命题.否命题:已知a、b为实数,若x +ax+b≤0的解集不是空集,则a -4b>0.假命题.逆 2 2 否命题:已知a、b为实数,若a -4b>0,则x +ax+b≤0的解集不是空集.假命题.
2 2

? 1 ? ? x ? x ? 1? ? x x ? 1? ;当 0 ? a ? 1 ?; 22、 【答案】 当 a ? 0 时, 解集为:? a 当 a ? 0 时, 解集为 1? ? ? x x ? 1或x ? ? a ? ;当 a ? 1 时,解集为: ? x x ? 1? ;当 a ? 1 时,解集为: 时,解集为: ? 1 ? ? ? x x ? 或x ? 1? a ? ?.

? ? ? ax ?1?? x ?1? ? 0 (2)当 a ? 0 时,原式可化为:


x x ?1 (1)当 a ? 0 时, ? x ? 1 ? 0 ,即解集为 ;

x1 ?

1 , x2 ? 1 a

? 1 ? x ? x ? 1? ? x ? x2 ,不等式的解集为: ? a ?; ①当 a ? 0 时, 1 1? ? x x ? 1或x ? ? ? x ? x2 ,不等式的解集为: ? a?; ②当 0 ? a ? 1 时, 1 ? x x ? 1? x1 ? x2 a ?1
③当 时, ,不等式的解集为: ;

1 ? ? x x ? 或x ? 1? ? x ? x2 ,不等式的解集为: ? a ?. ④当 a ? 1 时, 1
【思路点拨】因为二次项系数为参数,所以对其进行分类讨论,尤其是 a ? 0 不能忽略,当

a ? 0 时,有两个根,需要讨论两根的大小.
【解析】

4


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