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江西省九江一中2017届高三上学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析


2016-2017 学年江西省九江一中高三数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复数 z= (i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于象限为( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.A={x|x2﹣4x﹣5≤0},B={x||x|≤2},则 A∩B=( ) A.[﹣2,5] B.[﹣2,2] C.[﹣1,2] D.[﹣2,﹣1] 3.设向量 , 的夹角为 θ,则“ ? <0”是“θ 为钝角”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要 4.已知函数 f(x)的定义域是[﹣1,1],则函数 g(x)=f(2x﹣1)lg(1﹣x)的定义域是 ( ) A.[0,1] B. (0,1) C.[0,1) D. (0,1] 5.在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 ccosB+bcosC=2acosB,则 b 的值为( A. B. C. D. )向右平移 ) D.3 ) 个单位后,所得的图象与原函数图象关于 x 轴对 ) ,a=2,

6.已知函数 y=sin(ωx+ 称,则 ω 的最小正值为( A.1 B.2 C.

7.各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2,S3n=14,则 S4n 等于( A.80 B.30 C.26 D.16 8.已知函数 f(x)=sin2ωx+ 在区间[0, ]上的值域为( sinωxsin(ωx+ ) C.[﹣ ,1] D.[﹣ , ]

) , (ω>0)的最小正周期为 π,则 f(x)

A.[0, ] B.[﹣ , ]

9.函数 f(x)=﹣2x2+7x﹣6 与函数 g(x)=﹣x 的图象所围成的封闭图形的面积为( A. B.2 C. D.3



10. (x2+x+1)5 展开式中,x5 的系数为( ) A.51 B.8 C.9 D.10 11.已知 A、B、C 是单位圆上三个互不相同的点.若 ( ) A.0 B. C. D.

,则

的最小值是

12.若函数 f(x)满足

,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间(﹣1, )

1]上,g(x)=f(x)﹣mx﹣2m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是( A. B. C. D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知函数 f(x)= ,则 f(f( ) )= . .

14.已知向量 与 的夹角为 120°,且| |=2,| |=1,则| +2 |=

15.已知 α 为第一象限角,且 sin2α+sinαcosα= ,tan(α﹣β)=﹣ ,则 tan(β﹣2α)的值 为 . 在(0,+∞)上为增函数,则称 f

16.已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,若 y= (x)为“一阶比增函数”;若 y=

在(0,+∞)上为增函数,则称 f(x)为“二阶比增函

数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 Ω1,所有“二阶比增函数”组成的集合记为 Ω2. 已知函数 f(x)=x3﹣2mx2﹣mx,若 f (x)∈Ω1, 且 f(x)?Ω2, 实数 m 的取值范围 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 = .

(Ⅰ)求角 C 的大小, (Ⅱ)若 c=2,求△ABC 面积的最大值. 18.已知数列{an}各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,且 a1=1,anan+1=2Sn. (n∈N*) (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{ }的前 n 项和 Tn.

19.某卫视推出一档全新益智答题类节目,这档节目打破以往答题类节目的固定模式,每档 节目中将会有各种年龄层次,不同身份,性格各异的 10 位守擂者和 1 位打擂者参加,以 PK 的方式获得别人手中的奖品,一旦失败,就将掉下擂台,能否“一站到底”成为节目最大悬 念.现有一位参赛者已经挑落 10 人,此时他可以赢得 10 件奖品离开或者冲击超级大奖“马 尔代夫双人游”,冲击超级大奖会有一定的风险,节目组会精选 5 道题进行考核,每个问题 能正确回答进入下一道,否则失败,此时只能带走 5 件奖品,若 5 道题全部答对则可以带走 10 件奖品且还可以获得超级大奖“马尔代夫双人游”.若这位参赛者答对第 1,2,3,4,5 道题的概率分别为 , , , , ,且各轮问题能否正确回答互不影响,求: (Ⅰ)该参赛者选择冲击大奖最终只带走 5 件奖品的概率; (Ⅱ)该参赛者在冲击超级大奖的过程中回答问题的个数记为 X,求随机变量 X 的分布列 和期望.

20.如图 F1、F2 为椭圆 C:

+

=1 的左、右焦点,D、E 是椭圆的两个顶点,椭圆的

离心率 e=

,S△DEF2=1﹣

.若点 M(x0,y0)在椭圆 C 上,则点 N(



)称

为点 M 的一个“椭点”,直线 l 与椭圆交于 A、B 两点,A、B 两点的“椭点”分别为 P、Q. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)问是否存在过左焦点 F1,的直线 l,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点?若存在,求 出该直线的方程;若不存在,请说明理由.

21.设函数 f(x)=1﹣e﹣x. (Ⅰ)证明:当 x>﹣1 时,f(x)≥ (Ⅱ)设当 x≥0 时,f(x)≤ ;

,求 a 的取值范围.

请考生在第 22-23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修:坐标系与 参数方程] 22.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ2﹣4ρcos(θ﹣ )﹣1=0.以极点为平面直角坐标系的 (t

原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 为参数) . (Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且|AB|=3

,求直线的倾斜角 α 的值.

[选修:不等式选讲] 23.已知 a、b 为正实数,若对任意 x∈(0,+∞) ,不等式(a+b)x﹣1≤x2 恒成立. (1)求 的最小值;

(2)试判断点 P(1,﹣1)与椭圆

的位置关系,并说明理由.

2016-2017 学年江西省九江一中高三(上)第一次月考数 学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复数 z= (i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于象限为( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 【分析】把所给的复数先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,整理后 得到最简形式,写出复数在复平面上对应的点的坐标,根据坐标的正负得到所在的象限. 【解答】解:∵z= = ﹣ i, )

∴复数在复平面对应的点的坐标是( ∴它对应的点在第四象限, 故选 D

2.A={x|x2﹣4x﹣5≤0},B={x||x|≤2},则 A∩B=( A.[﹣2,5] B.[﹣2,2] C.[﹣1,2] D.[﹣2,﹣1]



【考点】交集及其运算. 【分析】利用不等式的性质分别求出集合 A 和 B,由此能求出 A∩B. 【解答】解:∵A={x|x2﹣4x﹣5≤0}={x|﹣1≤x≤5}, B={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}, ∴A∩B={x|﹣1≤x≤2}=[﹣1,2]. 故选:C. 3.设向量 , 的夹角为 θ,则“ ? <0”是“θ 为钝角”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要 )

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合向量数量积的定义和性质进行判断即可. 【解答】解:当 θ=π 时,满足 ? <0,但 θ 为钝角不成立,即充分性不成立, 若 θ 为钝角,则 ? <0,即必要性成立, 即“ ? <0”是“θ 为钝角”的必要不充分条件, 故选:B 4.已知函数 f(x)的定义域是[﹣1,1],则函数 g(x)=f(2x﹣1)lg(1﹣x)的定义域是 ( ) A.[0,1] B. (0,1) C.[0,1) D. (0,1]

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】根据函数 f(x)的定义域求出 f(2x﹣1)的定义域结合对数函数的性质求出 x 的 范围即可. 【解答】解:由题意得: , 解得:0≤x<1, 故选:C.

5.在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 ccosB+bcosC=2acosB,则 b 的值为( A. B. C. D. )

,a=2,

【考点】正弦定理. 【分析】已知等式利用正弦定理化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形, 根据 sinA 不为 0 求出 cosB 的值,即可确定出 B 的度数,可求 sinB,结合正弦定理即可解 得 b 的值. 【解答】解:∵ccosB+bcosC=2acosB, ∴利用正弦定理化简得:2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB, 整理得:2sinAcosB=sin(B+C)=sinA, ∵sinA≠0,∴cosB= , 则∠B=60°,sinB= ∵ ,

,a=2,

∴由正弦定理可得:b=

=

=



故选:D.

6.已知函数 y=sin(ωx+ 称,则 ω 的最小正值为( A.1 B.2 C.

)向右平移 ) D.3

个单位后,所得的图象与原函数图象关于 x 轴对

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】由三角函数图象变换可得后来函数的解析式,由诱导公式比较可得 ω 的方程,解 方程给 k 取值可得. 【解答】解:函数 y=sin(ωx+ )向右平移 个单位后得到

y=sin[ω(x﹣

)+

]=sin(ωx﹣

ω+

)的图象,

∵所得的图象与原函数图象关于 x 轴对称, ∴sin(ωx﹣ ∴﹣ ω+ = ω+ )=﹣sin(ωx+ )=sin(ωx+ +π) ,

+π+2kπ,k∈Z,解得 ω=﹣6k﹣3,

∴当 k=﹣1 时,ω 取最小正数 3, 故选:D. 7.各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2,S3n=14,则 S4n 等于( A.80 B.30 C.26 D.16 【考点】等比数列的前 n 项和;等比数列的性质. 【分析】利用等比数列的求和公式,整体思维,即可求得结论. 【解答】解:设各项均为正数的等比数列{an}的公比等于 q, ∵Sn=2,S3n=14,∴q≠1 ∴ =2, =14,解得 qn=2, =﹣2. )

∴S4n = 故选 B.

(1﹣q4n)=﹣2(1﹣16)=30,

8.已知函数 f(x)=sin2ωx+ 在区间[0, ]上的值域为(

sinωxsin(ωx+ ) C.[﹣ ,1]

) , (ω>0)的最小正周期为 π,则 f(x)

A.[0, ] B.[﹣ , ]

D.[﹣ , ]

【考点】三角函数中的恒等变换应用. 【分析】化简可得 f(x)=sin(2ωx﹣ ﹣ )+ ,由 x 的范围,可得所求. )+ sin2ωx sinωxsin(ωx cos2ωx )+ ,由周期公式可得 ω=1,可得 f(x)=sin(2x

【解答】解:化简可得 f(x)=sin2ωx+ = =sin(2ωx﹣ + sinωxcosωx= +

)+ ,

∵函数的最小正周期为 π, ∴ =π,解得 ω=1,

∴f(x)=sin(2x﹣ ∵x∈[0, ∴2x﹣ ∈[ ], , )∈[

)+ ,

], ,1], )+ 的值域为[0, ]

∴sin(2x﹣

∴f(x)=sin(2x﹣ 故选:A

9.函数 f(x)=﹣2x2+7x﹣6 与函数 g(x)=﹣x 的图象所围成的封闭图形的面积为( A. B.2 C. D.3



【考点】定积分在求面积中的应用. 【分析】先将两函数联立求得两图象的交点坐标,以确定积分区间,再根据图象和定积分的 几何意义确定被积函数为 f(x)﹣g(x) ,最后利用微积分基本定理计算定积分即可得面积 【解答】解:由 得 和

∴函数 f(x)=﹣2x2+7x﹣6 与函数 g(x)=﹣x 的图象所围成的封闭图形的面积 S=∫13(f(x) ﹣g(x) )dx=∫13(﹣2x2+8x﹣6)dx =(﹣ x3+4x2﹣6x)|13=(﹣18+36﹣18)﹣(﹣ +4﹣6)= 故选 C 10. (x2+x+1)5 展开式中,x5 的系数为( A.51 B.8 C.9 D.10 )

【考点】二项式定理的应用. 【分析】先求得[(x2+x)+1)]5 的展开式的通项公式,再求出(x2+x)5﹣r 的展开式的通项 公式,可得 x5 的系数. 【解答】解: (x2+x+1)5=[(x2+x)+1)]5 的展开式的通项公式为 Tr+1= r=0,1,2,3,4,5, 而(x2+x)5﹣r 的展开式的通项公式为 Tr′+1= 0≤r′≤5﹣r,故有 故 x5 的系数为 故选:A. ,或 ,或 =51. ?(x2)5﹣r﹣r′?xr′= . ?x10﹣2r﹣r′, ?(x2+x)5﹣r,

11.已知 A、B、C 是单位圆上三个互不相同的点.若 ( ) A.0 B. C. D.

,则

的最小值是

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由题意可得,点 A 在 BC 的垂直平分线上,不妨设单位圆的圆心为 O(0,0) ,点 A(0,1) ,点 B(x1,y1) ,则点 C(﹣x1,y1) , =2 + =1,且﹣1≤y1<1.根据

﹣2y1,再利用二次函数的性质求得它的最小值.

【解答】解:由题意可得,点 A 在 BC 的垂直平分线上,不妨设单位圆 的圆心为 O(0,0) , 点 A(0,1) ,点 B(x1,y1) ,则点 C(﹣x1,y1) , ﹣1≤y1<1. ∴ ∴ =2 =(x1,y1﹣1) , =﹣ ﹣2y1, 取得最小值为﹣ , + =(﹣x1,y1﹣1) , ﹣2y1+1=﹣(1﹣ )+ + =1. ﹣2y1+1

∴当 y1= 时, 故选:C.

12.若函数 f(x)满足

,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间(﹣1, )

1]上,g(x)=f(x)﹣mx﹣2m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是( A. B. C. D.

【考点】函数零点的判定定理. 0) f 【分析】 由条件求得当 x∈ (﹣1, 时, (x) 的解析式, 根据题意可得 y=f (x) 与 y=mx+2m 的图象有两个交点,数形结合求得实数 m 的取值范围.

【解答】解:∵f(x)+1= 当 x∈[0,1]时,f(x)=x, ∴x∈(﹣1,0)时,f(x)+1= ∴f(x)= ﹣1,



=



因为 g(x)=f(x)﹣mx﹣2m 有两个零点, 所以 y=f(x)与 y=mx+2m 的图象有两个交点, 根据图象可得,当 0<m≤ 时,两函数有两个交点, 故选:A.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知函数 f(x)= 【考点】函数的值. 【分析】先求出 f( )=2+4 =4,从而 f(f( ) )=f(4) ,由此能求出结果. ,则 f(f( ) )= ﹣2 .

【解答】解:∵函数 f(x)=



∴f( )=2+4

=4,

f(f( ) )=f(4)=﹣log24=﹣2. 故答案为:﹣2. 14.已知向量 与 的夹角为 120°,且| |=2,| |=1,则| +2 |= 2 . 【考点】数量积表示两个向量的夹角.

【分析】由题意可得 =

=4,

=1,

=﹣1,再根据| +2 |=

,计算求得结果. =4, =1, = =2×1×cos120°=﹣1, =2,

【解答】解:由题意可得 ∴| +2 |= 故答案为:2. =

15.已知 α 为第一象限角,且 sin2α+sinαcosα= ,tan(α﹣β)=﹣ ,则 tan(β﹣2α)的值 为 .

【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】 依题意, 要求 tan (β﹣2α) 的值, 需求得 tanα 的值, 从而在条件“sin2α+sinαcosα= ” 上动脑筋,想办法,“弦”化“切”即可. 【解答】解:∵sin2α+sinαcosα= ∴2tan2α+5tanα﹣3=0,又 α 为第一象限角, 解得:tanα= ,又 tan(α﹣β)=﹣ , ∴tan(β﹣α)= , = = ,

∴tan(β﹣2α)=tan[(β﹣α)﹣α]=

=

= .

故答案为: .

16.已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,若 y= (x)为“一阶比增函数”;若 y=

在(0,+∞)上为增函数,则称 f

在(0,+∞)上为增函数,则称 f(x)为“二阶比增函

数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 Ω1,所有“二阶比增函数”组成的集合记为 =x3﹣2mx2﹣mx, Ω2. 已知函数 f (x) 若f (x) ∈Ω1, 且f (x) ?Ω2, 实数 m 的取值范围 (﹣ ∞,0) . 【考点】导数的运算.

【分析】因为 f(x)∈Ω1 且 f(x)?Ω2,即 g(x)= 函数,所以 h≤0.而 h(x)=

=x2﹣2mx﹣m 在(0,+∞)是增 ,

=x﹣2m﹣ 在(0,+∞)不是增函数,而 h′(x)=1+

所以当 h(x)是增函数时,有 h≥0,所以当 h(x)不是增函数时,有 h<0.综上所述,可 得 h 的取值范围是(﹣∞,0) . 【解答】解:∵f(x)∈Ω1 且 f(x)?Ω2, 即 g(x)= ∴m≤0. 而 h(x)= 而 h′(x)=1+ =x﹣2m﹣ 在(0,+∞)不是增函数, , =x2﹣2mx﹣m 在(0,+∞)是增函数,

∴当 h(x)是增函数时,有 m≥0, ∴当 h(x)不是增函数时,有 m<0. 综上所述,可得 m 的取值范围是(﹣∞,0) . 故答案为: (﹣∞,0) . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 = .

(Ⅰ)求角 C 的大小, (Ⅱ)若 c=2,求△ABC 面积的最大值. 【考点】正弦定理. 【分析】 (Ⅰ)由三角形内角和定理,诱导公式,正弦定理,两角和正弦函数公式化简已知 等式得﹣2sinAcosC=sinA,结合 sinA≠0,可求 cosC=﹣ ,即可得解 C 的值. (Ⅱ)由余弦定理,基本不等式可求 ab≤ ,利用三角形面积公式即可计算得解. 【解答】解: (Ⅰ)∵A+C=π﹣B,即 cos(A+C)=﹣cosB, ∴由正弦定理化简已知等式得: =﹣ ,

整理得:2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB,即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C) =sinA, ∵sinA≠0, ∴cosC=﹣ , ∵C 为三角形内角, ∴C= ;

(Ⅱ)∵c=2,cosC=﹣ , ∴由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC,即 4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab,

∴ab≤ , (当且仅当 a=b 时成立) , ∵S= absinC= ab≤ , ,此时 a=b= . ,

∴当 a=b 时,△ABC 面积最大为 则当 a=b=

时,△ABC 的面积最大为

18.已知数列{an}各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,且 a1=1,anan+1=2Sn. (n∈N*) (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{ }的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)当 n=1 时,求出 a2=2,当 n≥2 时,求出 an+1﹣an﹣1=2,由此能求出 an=n,n * ∈N . (2)由 an=n, =n?2n,利用错位相减法能求出数列{ }的前 n 项和.

【解答】解: (1)∵数列{an}各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,且 a1=1,anan+1=2Sn. (n∈ N*) , ∴当 n=1 时,a1a2=2a1,解得 a2=2, 当 n≥2 时,an﹣1an=2Sn﹣1,an(an+1﹣an﹣1)=2an, ∵an>0,∴an+1﹣an﹣1=2, ∴a1,a3,…,a2n﹣1,…,是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,a2n﹣1=2n﹣1, a2,a4,…,a2n,…,是以 2 为首项,2 为公差的等差数,a2n=2n, ∴an=n,n∈N*. (2)∵an=n, ∴数列{ =n?2n, }的前 n 项和:

Tn=1?2+2?22+3?23+…+n?2n,① 2Tn=1?22+2?23+…+(n﹣1)?2n+n?2n+1,② ②﹣①,得: Tn=n?2n+1﹣(2+22+23+…+2n) =n?2n+1﹣ =(n﹣1)?2n+1+2. 19.某卫视推出一档全新益智答题类节目,这档节目打破以往答题类节目的固定模式,每档 节目中将会有各种年龄层次,不同身份,性格各异的 10 位守擂者和 1 位打擂者参加,以 PK 的方式获得别人手中的奖品,一旦失败,就将掉下擂台,能否“一站到底”成为节目最大悬 念.现有一位参赛者已经挑落 10 人,此时他可以赢得 10 件奖品离开或者冲击超级大奖“马 尔代夫双人游”,冲击超级大奖会有一定的风险,节目组会精选 5 道题进行考核,每个问题

能正确回答进入下一道,否则失败,此时只能带走 5 件奖品,若 5 道题全部答对则可以带走 10 件奖品且还可以获得超级大奖“马尔代夫双人游”.若这位参赛者答对第 1,2,3,4,5 道题的概率分别为 , , , , ,且各轮问题能否正确回答互不影响,求: (Ⅰ)该参赛者选择冲击大奖最终只带走 5 件奖品的概率; (Ⅱ)该参赛者在冲击超级大奖的过程中回答问题的个数记为 X,求随机变量 X 的分布列 和期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (I)利用相互对立事件的概率计算公式可得:该参赛者选择冲击大奖最终只带走 5 件奖品的概率=1﹣ × × × × ; (Ⅱ)X 的所有能取值分别为:1,2,3,4,5.可得 P(X=1)= × ,P(X=3)= × × ,P(X=4)= × × × = ,P(X=2)= ,P(X=5)

= × × × ×1. 【解答】 解: (I) 该参赛者选择冲击大奖最终只带走 5 件奖品的概率=1﹣ × × × × = ,

(Ⅱ)X 的所有能取值分别为:1,2,3,4,5. 则 P(X=1)= P(X=2)= × P(X=3)= × × P(X=4)= × × × P(X=5)= × × × ×1= ∴随机变量 X 的分布列期望: X 1 P(X) = , = , = , = . ,

2

3

4

5

期望 E(X)=

+2×

+

+

+5×

=



20.如图 F1、F2 为椭圆 C:

+

=1 的左、右焦点,D、E 是椭圆的两个顶点,椭圆的

离心率 e=

,S△DEF2=1﹣

.若点 M(x0,y0)在椭圆 C 上,则点 N(



)称

为点 M 的一个“椭点”,直线 l 与椭圆交于 A、B 两点,A、B 两点的“椭点”分别为 P、Q. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)问是否存在过左焦点 F1,的直线 l,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点?若存在,求 出该直线的方程;若不存在,请说明理由.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】 (1)由题意得 , = =1﹣ ,由此能求出椭圆 C

的标准方程. (2)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=﹣

,以 PQ 为直径的圆不过坐标原点; ,得(4k2+1)

当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+

) ,联立

x2+8

+12k2﹣4=0,由根与系数的关系,能求出直线方程为 .



【解答】解: (1)由题意得 = = , .

,∴c= =

,b=

, =1﹣ ,

∴a2=4,即 a=2,∴b=1,c= ∴椭圆 C 的标准方程为

(2)①当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=﹣

联立

,解得





不妨令 A(﹣

, ) ,B(﹣

,﹣ ) ,

∴对应的“椭点”坐标 P(﹣

, ) ,Q(﹣

) .而

?

= ≠0.

∴此时以 PQ 为直径的圆不过坐标原点. ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+ ,消去 y,得: (4k2+1)x2+8

) , +12k2﹣4=0,

联立

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则这两点的“椭点”坐标分别为 P( 由根与系数的关系,得 , ,

) ,Q(

) ,

若使得以 PQ 为直径的圆经这坐标原点,则 OP⊥OQ, 而 ∴ 即 =( , , ) , ,



,解得 k=



∴直线方程为





21.设函数 f(x)=1﹣e﹣x. (Ⅰ)证明:当 x>﹣1 时,f(x)≥ (Ⅱ)设当 x≥0 时,f(x)≤ ;

,求 a 的取值范围.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (1)将函数 f(x)的解析式代入 f(x)≥ 整理成 ex≥1+x,组成新函数 g(x)

=ex﹣x﹣1,然后根据其导函数判断单调性进而可求出函数 g(x)的最小值 g(0) ,进而 g (x)≥g(0)可得证. (2)先确定函数 f(x)的取值范围,然后对 a 分 a<0 和 a≥0 两种情况进行讨论.当 a<0 时根据 x 的范围可直接得到 f(x)≤ 不成立;当 a≥0 时,令 h(x)=axf(x)+f(x)

﹣x,然后对函数 h(x)进行求导,根据导函数判断单调性并求出最值,求 a 的范围. 【解答】解: (1)当 x>﹣1 时,f(x)≥ 当且仅当 ex≥1+x

令 g(x)=ex﹣x﹣1,则 g'(x)=ex﹣1 当 x≥0 时 g'(x)≥0,g(x)在[0,+∞)是增函数 当 x≤0 时 g'(x)≤0,g(x)在(﹣∞,0]是减函数

于是 g(x)在 x=0 处达到最小值,因而当 x∈R 时,g(x)≥g(0)时,即 ex≥1+x 所以当 x>﹣1 时,f(x)≥ (2)由题意 x≥0,此时 f(x)≥0 当 a<0 时,若 x>﹣ ,则 <0,f(x)≤ 不成立;

当 a≥0 时,令 h(x)=axf(x)+f(x)﹣x,则 f(x)≤ 当且仅当 h(x)≤0

因为 f(x)=1﹣e﹣x,所以 h'(x)=af(x)+axf'(x)+f'(x)﹣1=af(x)﹣axf(x)+ax﹣f (x) (i)当 0≤a≤ 时,由(1)知 x≤(x+1)f(x) h'(x)≤af(x)﹣axf(x)+a(x+1)f(x)﹣f(x) =(2a﹣1)f(x)≤0, h(x)在[0,+∞)是减函数,h(x)≤h(0)=0,即 f(x)≤ (ii)当 a> 时,由(i)知 x≥f(x) h'(x)=af(x)﹣axf(x)+ax﹣f(x)≥af(x)﹣axf(x)+af(x)﹣f(x)=(2a﹣1﹣ax) f(x) 当 0<x< 时,h'(x)>0,所以 h' (x)>0,所以 h(x)>h(0)=0,即 f(x)>

综上,a 的取值范围是[0, ]

请考生在第 22-23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修:坐标系与 参数方程] 22.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ2﹣4ρcos(θ﹣ )﹣1=0.以极点为平面直角坐标系的 (t

原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 为参数) . (Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且|AB|=3

,求直线的倾斜角 α 的值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1) 由 , 展开为 ρ2﹣4

﹣1=0,利用

即可得出极坐标方程.

(II)将

代入圆的方程得化简得 t2﹣2tcosα﹣4=0,利用弦长公式 ,化简即可得出.

【解答】解: (1)由 4 配方得圆 C 的方程为 (2)将 ﹣1=0,化为

,展开为 ρ2﹣ ﹣1=0,

代入圆的方程得(tcosα﹣1)2+(tsinα)2=5,

化简得 t2﹣2tcosα﹣4=0, 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2,则 所以 所以 4cos2α=2, , . ,



[选修:不等式选讲] 23.已知 a、b 为正实数,若对任意 x∈(0,+∞) ,不等式(a+b)x﹣1≤x2 恒成立. (1)求 的最小值;

(2)试判断点 P(1,﹣1)与椭圆

的位置关系,并说明理由.

【考点】基本不等式. 【分析】 (1)分离参数,利用基本不等式的性质即可得出. (2)利用基本不等式的性质、点与椭圆的位置关系即可判断出结论. 【解答】解: (1)因为(a+b)x﹣1≤x2,x>0,所以 因为 ,所以 a+b≤2 ,所以 所以 的最小值为 2

(2)因为

所以



,所以点 P(1,﹣1)在椭圆

的外部


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