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湖北省黄冈中学等八校2019届高三第二次联考数学(理)试题(有答案)

湖北省八校 2019 届高三第二次联考 鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 孝感高中 荆州中学 襄阳四中 襄阳五中 数学(理科)试题 考试时间:2019 年 3 月 27 日星期三下午 3:00~5:00 第I卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.已知复数 z ? 2i ,则 z 的共轭复数在复平面内对应的点在 1? i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合 P ? {x y ? ? x2 ? x ? 2 , Q ?{x ln x<1} ,则 P ? Q ? A.(0,2] B.[-2,e) C.(0,1] D.(1,e) 3.空气质量指数 AQI 是反映空气状况的指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,其对应关 系如下表: AQI 指数 0-50 51-100 101-150 151-200 201-300 >300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 下图是某市 10 月 1 日-20 日 AQI 指数变化趋势,下列叙述错误的是 A.这 20 天中 AQI 指数值的中位数略高于 100 B.这 20 天中的中度污染及以上的天数占 1/4 C.该市 10 月的前半个月的空气质量越来越好 D.总体来说,该市 10 月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 4.若等差数列{an}的公差为-2,a5 是 a2 与 a6 的等比中项,则该数列的前 n 项和 Sn 取得最大值 时,n 的值等于 A.4 B.5 C.6 D.7 5.将 5 个人从左至右排成一行,最左端只能排成甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 A.36 种 B.42 种 C.48 种 D.60 种 6.在△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,且 AE ? ED ,若 EB ? ? AB ? u AC ,则 ? ? u A.-3 B. - 1 C.3 D. 1 3 3 7.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一副 “勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如下图所示的“勾股圆方 图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形,若直角三 角形中较小的锐角? ? ? ,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方 6 形内的概率是 A.1- 3 2 B. 3 2 C. 4 - 3 4 D. 3 4 8.函数 f (x) ? 2cosx(sin x ? cosx)(x ?[? ? ,0]) 的最大值为 2 A.1- 2 B.1 C.2 D.1? 2 9.已知抛物线 y2 ? 2 px( p>0) 的焦点为 F ,过 F 的直线 l 交抛物线于 A, B 两点(点 A 在第 一象限),若直线 l 的倾斜角为 2? ,则 AF ? 3 BF A. 1 B. 2 C. 1 D. 2 3 5 2 3 10.如图,某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯 形和直角三角形,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 A. 2 2 B. 10 C. 2 3 D. 13 11.已知双曲线 x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a, b>0) 的左、右顶点分别为 A, B ,右焦点为 F ,过点 F 且垂直 于 x 轴的直线 l 交双曲线于 M , N 2 点, P 为直线 l 上的一点,当 ?APB的外接圆面积达到最 小值时,点 P 恰好在 M(或 N)处,则双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C.2 D. 5 ?1 12.已知函数 f (x) ? ? ?2 x2 ?1, x ? 0 ,若函数 g(x) ? f (x) ? kx有且只有 2 个零点,则实 ??? 2ln(1? x), x<0 数 k 的取值范围为 A.(0,2) 1 B.(0,2) C.(2,+ ? ) 1 D.(2,2) 第 II 卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡) ?x ? 2 13. 若 x, y 满足 ? ? y ? 2x ,则 x ? 2y 的最小值为_____. ??x ? y ? 3 14. 已 知 函 数 f (x) ? x3 ? (a ?1)x2 ? 3ax ?1 , 若 f (x) 在 x ?1 处 取 得 极 值 , 则 曲 线 y ? f (x) 在点(0,f(0))处的切线方程为____. 15. 已知数列{an}满足 an=2an-1+2n-1(n∈N*,n≥2),若 a4=65,则 a1=____. 16. 设 ?(a,b) ? (a ? b)2 ? (ln a ? b2 )2 ? b2 (a>0,b ? R) ,当 a, b 变化时?(a,b) 的最小 44 值为_____. 三、解答题(本大题分为必考题和选做题两部分共 70 分) 17. (12 分)在△ ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且向量 m=(2a-c,b)与向量 n=(cosC,cosB)共线。 (1)求 B; (2)若 b ? 3 7 , a ? 3,且 AD ? 2DC ,求 BD的长度. 18.(12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC, ∠ADC=90°,平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点, PA=PD=2,BC=1,AD=2,CD= 3. (Ⅰ)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (Ⅱ)若 M 是棱 PC 上的一点,且满足 PM ? 3MC ,求二