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研究性学习课题:数列在分期付款中的应用


研究性学习课题: 研究性学习课题:数列在分期付款中的应用
──分期付款中还款方式的选择

一.教案(例)描述 教案(
问题提出: 当前,随着经济发展改革的深入,在商品市场上,消费者购买住房、汽车等价值较高 的商品时,为缓解资金的暂缺,消费者可向银行申请贷款,采取分期付款方式。为了增强 学生对金融市场中的分期付款知识的了解。我在上星期天给学生预先布置了下面的例题, 让学生利用休息时间,进行社会调查,把全班学生分成 5 组,分别去中国建设银行、中国 工商银行、中国银行、招商银行、光大银行 5 家银行去咨询,要求每一组能拿出一个设计 成果,看一看如何帮助我,符合我的承受能力,选择一种分期付款的方式。今天我们就这 一例题,一起来看看研究成果,同时体会数列在分期付款中的应用。 例题:随着社会发展和人们生活水平的提高,我也想改善一下居住的环境。日前, 例题:随着社会发展和人们生活水平的提高,我也想改善一下居住的环境。日前,我 欲在某房产公司处购买一套商品房, 万元, 万元后, 欲在某房产公司处购买一套商品房,价值为 22 万元,首次付款 2 万元后,其余经 15 年按 月分期付款, 0.42%, 月分期付款,月利率为 0.42%,而我的家庭月工资为 2200 元,麻烦同学们去银行了解一下 情况,为我作一下参谋,我将如何办理商业性个人住房贷款,每月应付款多少元( 情况,为我作一下参谋,我将如何办理商业性个人住房贷款,每月应付款多少元(精确到 )?实际付款总额比一次性付款 多付了多少元? 实际付款总额比一次性付款额 1 元)?实际付款总额比一次性付款额多付了多少元?

二、 研究成果展示
学生们已去了各个银行咨询,参考了金融知识和贷款信息,结合运用了我们学过的数 学知识,每组都有了一个调查结果,大家达成了一个共识,一致认为: 1、每期还款额的研究: 现在各大银行的对于一年以上还款方式一般有以下两种: (1)等额本息法:每期还款额(本金和利息)相同。将各期所付款都折合成结清时的值来 考虑问题的。推导公式:设每月还款额均为 x 元, 每月还款在 180 月后的总值:

x(1 + 0.0042)179 + x(1 + 0.0042)178 + x(1 + 0.0042)177 + + x(1 + 0.0042) + x
贷款 200000 元在 180 月后的总值:

200000(1 + 0.0042)180
当贷款全部还清时,两者的总值应该相等,所以

x(1 + 0.0042)179 + x(1 + 0.0042)178 + + x(1 + 0.0042) + x = 200000(1 + 0.0042)180 200000 × 0.0042 × (1 + 0.0042)180 整理得: x = (1 + 0.0042)180 1 x = 1585.76 ≈ 1586 元
即每月需还款 1586 元。 等额本息法的数学模型为:设每月归还本息为 x 元,

x(1 + r ) T 1 + x(1 + r ) T 2 + x(1 + r ) T 3 + x(1 + r ) + x = A(1 + r ) T Ar (1 + r ) T , (1 + r ) T 1 其中 A 为贷款本金; r 为贷款月利率; T 为按月计算贷款期限。
每月归还本息 x = (2)等额本金还款法原则:每期还款分两部分,既本金和利息,每期还款的本金都相等, 利息随所还本金逐次递减。 因此,每期还款额 = 每期还款本金 + 每期还款利息

1

计算公式:每月应归还本金 =

200000 = 1111.11 元 180 第 1 个月还款额 = 1111.11 + 200000 × 0.0042 = 1111.11 + 840 = 1951.11 ≈ 1952 元 第 2 个月还款额 = 1111.11 + ( 200000 1111.11) × 0.0042 = 1111.11 + 835.33 = 1946.44 ≈ 1947 元 第 3 个月还款额 = 1111.11 + ( 200000 2 × 1111.11) × 0.0042 = 1111.11 + 830.67 = 1941.78 ≈ 1942 元
……直至所有贷款结清。 每期还款额的数学模型为:

A A + [ A (n 1) × ] × r T T 其中 A 为贷款本金; r 为贷款月利率; T 为按月计算贷款期限。
第 n 个月归还额 = 2、分期付款总额的研究 等额本息法的还款总额: 1585.76 × 180 = 285436.8 元,共需支付利息总和 85436.8 元 等额本金法的还款总额为: A + A × r ×

T 1 = 275180 元, 共需支付利息总和 75180 元 2 两种不同的还款差额竟多达 10256.8 元。

3、两种分期付款方式进行比较、权衡。 同学们给我的参考意见是: 等额本息法虽然比等额本金法多花付了 10256.8 元的利息, 但前者的每月只需 1586 元,对于工薪阶层的我,这样一方面可以用明天的钱圆今天的梦, 改善自己的住房环境,另一方面,以当前的物价水平,留一点钱,平时的生活也不会捉襟 见肘;何况随着生活水平的提高,以后的个人工资一定会增加,那时还可以提前还款。但 如果选择后者,眼前的家庭生活就会受到很大影响。所以应该采用等额本息法还款为好。

( 三、课后的余味: 这部分可作为课后的继续研究) 课后的余味: 这部分可作为课后的继续研究
一般我们当前的房贷都是利用上述两个分期付款的方式,并且按月还贷,因此计算每 月付款和付款总额公式,可按上述公式计算。现在银行为了客户的方便,一般都有详细的 按月还款额的清单。如果哪一位同学家中有分期付款的或将来可能会去贷款的,我们可以 用今天学的知识对它进行校对或参考,同时体会到学以致用的喜悦。 另外分期付款除了按月还款外,还有按约定期数还款,如假设有以下几种付款方案: 方案 1:分 45 期付款 ( 购房后每 4 个月付款一次),15 年付清(180 个月) 。 方案 2:分 30 期付款 ( 购房后每 6 个月付款一次),15 年付清(180 个月) 。 方案 3:分 15 期付款 ( 购房后每 12 个月付款一次),15 年付清(180 个月) 。 对于这种情况,我们只要对公式稍加改进: 等额本息法:设每期归还本息为 x 元,

x(1 + r )

T

T M

+ x(1 + r )

T 2×

T M

+ x(1 + r )
T M

T 3×

T M

T

+ x(1 + r ) M + x = A(1 + r ) T

A(1 + r ) [(1 + r ) 1] , (1 + r ) T 1 其中 A 为贷款本金;r 为贷款月利率; 为按月计算贷款期限,M 为约定的还款期数, T M 是 T 的正约数。
每月归还本息 x =
T

计算得: 30 期的每期付款额为 9615.1 元。 计算 15 年 分 (180 月) 还款总额为 288450.3 元。 (其它付款方案结果均可以由该程序计算得到;等额本金计算法也可用类似的方法)经
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计算我们会发现对同样的贷款额及年限,分期次数越多,个人所支付的贷款利息就越少。

四、总结与反思
分期付款问题的研究分两个过程。 1、让学生深入银行去了解,一方面作为一种社会实践的活动,另一方面同时也让学生 懂得数学来源于社会实践,也为社会服务,激发学生学习数学的兴趣。 2、每期付款额和各期付款总额数学模型建立,体现数学的一种建模思想。 (上述两个 模型严格说要用数学归纳法证明,这里证略) 。用数列的知识进行各种方案进行计算,体现 数学的一种计算方法。最后得到计算公式。 两者的统一是用数学知识研究实际问题的完整过程。 在计算出结果后,消费者从上面 选择付款方案时,需要知道几种方案中每期应付款多少,付款总额为多少,这样才便于比 较、权衡,会对自己如何购买住房(或汽车)作出正确的决择。我觉得我们学生也应掌握 这个金融知识,适应未来社会的发展的需要。

五、教案分析
(一) 、问题的背景: 当前,随着经济发展和改革的深入,在商品市场上,消费者购买住房、汽车等价值较 高的商品时,为缓解资金的暂缺,消费者可向银行申请贷款,采取分期付款方式。高一数 学新教材上册第三章数列的研究性学习内容中介绍了分期付款的一个数学模型,既“等额 本息还款法” ,它是一个等比数列的问题;了解到分期付款还有另一种方法,即“等额本金 付款法” ,是一个等差数列的数学模型。这两种分期付款方法,在国内外商品交易的分期付 款中被广泛的使用,它说明了数列知识在金融领域有着广泛的应用。同时这两种不同的分 期付款方式,在贷款所付总利息上存在着较大的差额。以前客户在办理贷款时,银行一般 都默认采用等额本息法。而现在的人们的金融意识越来越强,懂得如何保护自己的合法利 益。因此一段时间就客户是否有知情权和选择权,曾在各种媒体上引起争论,对银行的做 法表示质疑。现在各大银行都会给客户解释清这两种不同的还款方式,并且由客户自己选 择采用哪一种分期付款方式。这大大激发了笔者对这个问题深入研究的热情和兴趣。通过 对这个问题的研究,明白这两种不同付款方式的利弊,对自己,对别人都有很大帮助。 (二) 、活动设计的目的: 通过对房款中分期付款法的研究过程: 1.使学生清楚的看到课本中数学知识(数列)在金融和社会生各个领域中应用的鲜明 的背景。学生通过自主参与类似于科学研究的学习活动,获得亲身体验、体会学习数学的 一个重要功能,适应社会发展的需要,激发他们对学习数学的兴趣和动力,产生积极情感, 激发他们探索、创新的欲望。同时也让学生懂得数学来源于社会实践,也为社会服务。 2.提高学生归纳、总结问题能力;掌握数学建模的思想方法。学生通常围绕一个需要 解决的实际问题展开。在学习的过程中,通过引导和鼓励学生自主地发现和提出问题,设 计解决问题的方案,收集和分析资料,调查研究,得出结论并进行成果交流活动,引导学 生应用已有的知识与经验,学习和掌握一些科学的研究方法。 3.突破中学数学教学中的难点──应用问题、复杂和烦琐的计算。培养学生数学地提 出问题、分析问题和解决问题的能力,提高学生研究能力和数学交流能力。学生要认真、 踏实的探究,实事求是地获得结论,尊重他人想法和成果,养成严谨、求实的科学态度和 不断追求的进取精神,磨练不怕吃苦、勇于克服困难的意志品质。 4. 合作的意识和能力,是现代人所应具备的基本素质。研究性学习的开展将努力创设 有利于人际沟通与合作的教育环境,使学生学会交流和分享研究的信息、创意及成果,发 展乐于合作的团队精神和合作意识,使学生在合作中体会到合作的重要性、有效性,进一 步发展学生的数学实践能力。 (三) 、活动的过程:

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研究性学习课题主要是学生在教师指导下,从自然、 社会和生活中选择和确定专题进行 研究, 以所学的数学知识为基础,从数学角度对日常生活是和其他学科是出现的问题进行 研究,并在研究过程中主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动,充分地体现学 生的自主活动和合作活动。研究性学习是指对某些数学问题的深入探讨。包括教师的教学 设计活动和学生的研究活动两个方面。 (1)教师的设计包括如下几个方面: 1、确定主题。确定主题的目的是为了使学生明确学习什么和开展这项学习活动的目的 意义,同时考虑到学生的学习基础和学习需要。 2、设计任务。任务设计是主题的进一步具体化,是学习的一个必要步骤,同时也是组 织和安排学生活动。 3、向学生提供或建议研究方向、路径。具体的、可操作的研究建议可能会减少学生的 研究困难,从而使研究更合理,同时给以学生必要的帮助。 4、评估和结论。教师应对研究性学习活动进行评估和测评来考察实际效果,以及对整 个活动进行反思的总结,以研究报告或小论文等形式记载研究成果,对活动的成果进行拓 展和推广,与各同仁进行交流。 (2)学生的活动内容包括如下几个方面: 1、根据主题和任务,进行分工协作,明确各自的任务,通过讨论、互相交流、共同对 问题进行研究。 2、对老师提供的资源和自己收集掌握的资料、信息进行分析、处理和重组,创造新的 思想,得出新的结论。发表自己的研究结论和成果。 课题名称:研究性学习课题:数列在分期付款中的应用 课题来源:分期付款中还款方式的选择 (高一数学新教材上册第三章数列的研究性学习内容) 活动过程: 1)在上星期天给学生布置了一份作业(见例题) ,叫学生利用休息时间,去进行社会 调查,把全班学生分成 5 组,分别去中国建设银行、中国工商银行、中国银行、招商银行、 光大银行 5 家银行去咨询,要求每一组能拿出一个设计成果,看一看如何帮助我进行房贷, 符合我的承受能力,选择好一种分期付款的方式。 2)同学们分组完成研究任务。在研究过程中,鼓励学生相互交流与合作。 3)用 20 分种时间请各组组长在班上介绍自己的研究结果和成果,供大家分享。 (四) 、活动结果分析及收获体会 实施以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育,关键是改变教师的教学方式和学 生的学习方式。设置研究性学习的目的在于改变学生以单纯地接受教师传授知识为主的学 习方式,为学生构建开放的学习环境,提供多渠道获取知识、并将学到的知识加以综合应 用于实践的机会,促进他们形成积极的学习态度和良好的学习策略,培养创新精神和实践 能力。通过课堂实践,自己感觉到这种学习方式有以下一些突出的优点: 1、从教师的活动方面来说。研究性学习模式,从课题的选择、研究的设计、参考文献 的查找等都由学生自主地完成,所以,是一种由教师“控制”程度相对较高的研究,适合 于目标较为明确的课堂教学。首先,研究式学习需要教师课前精密的设计,学习目标是具 体的、明确的。只有这样,才能使我们的最有效地利用课堂教学时间, “让教师做最好的导 演,让学生做最好的演员” ,这就是研究式学习方式的要领。其次,在课堂教学中开展研究 式学习,带着主题和任务的分析问题,有利于知识的积累和能力的提高,拓宽了学生的视野 及知识面。再次,以社会内容为课题来源的活动,使学生明确知识来源于社会,又服务于社 会。但由于对研究性学习还在探索中,本次活动的课题还是笔者给学生定下的,这样做有 针对性和目的性,学生们互相之间也好有一个成就的可比性,也不会占有学生更多的学习 时间。随着这项研究性学习活动的深入开展,在以后的活动中就可以做得更好。
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2、从学生的活动方面来说。开展研究式学习,目的是为了锻炼学生的实践能力和解决 问题的能力。学生利用所学课本知识和自己了解到的及教师提供的资料和信息自主地去完 成,学生们进行了交流与合作,对这些信息进行了归纳总结,并以小组为单位提交了书面 结果。因此,开展的研究式学习与我们当前开展的培养学生创新性能力的宗旨上是一致的。 其目的是为了“一举两得” ,既有利于学生课本知识的掌握,又有利于学生实践能力和研究 能力的提高,激发了学习兴趣。学习方式上既要发挥学生的主动性,由学生自主地完成研 究过程,又要发挥教师的创造性,这一点特别重要。 3、教学评价旨在反思,目的在于了解学生的学习进程和学习能力,而不是流于外在的 形式。在传统教学评价中没有发挥学生主动性的过程中,研究式学习的评价内容与方式必 须充分关注学习态度,重视学习的过程与方法,重视交流与合作,重视动手实践。不仅考 察学生结论和结果的创造性和正确性,还要对学习的内容和过程进行反思。我认为,最重 要的在于学生在学习过程中真正的发挥了自主性,进行了创造性的思考,鼓励他们点滴进 步。 参考文献: 1、现行高中数学新教材课本高一(上册) 。 2、中国人民银行、工商银行、中国建设银行个人商业贷款资料。

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