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等差数列、等比数列试题集02


等差数列、等比数列试题(二)
考点四、等比数列通项公式
1、一个项数为偶数的等比数列,它的偶数项和是奇数项和的 2 倍,又它的首项为 1,且中 间两项的和为 24,则此等比数列的公比为___2 ______,项数为___8_____. 解析:设项数为 2n,由它的偶数项和是奇数项和的 2 倍知 q=2,又 an+an+1=24,即 3a1·n-1=24.? 2 ∵a1=1,?∴n=4,项数为 8.
a1 ? a 2 ? ? ? a n n

2、已知等差数列有一性质:若{an}是等差数列.则通项为 bn=

的数列{bn}

也是等差数列,类似上述命题,相应的等比数列有性质:若{an}是等比数列(an>0),则通 项为 bn=_____ n a 1 a 2 ? a n _____的数列{bn}也是等比数列. 解析:bn= a 1 a 2 ? a n =
n

n

a1 q

n

1? 2 ? ? ? ( n ?1 )

n ?1

n

=a1 q

2

,bn+1=a1 q ,
2

b n ?1 bn

1

= q 2 (常数).

3、在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3 ,前三项和为 21,则 a3+ a4+ a5=( A 33 B 72 C 84 D 189 [解析]:C。在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3 ,前三项和为 21 2 故 3+3q+3q =21,解得 q=2 因此 a3+ a4+ a5=21 ? 2 =84
2

)

4 、 数 列 { an } 的 前 n 项 和 Sn=3 -c, 则 c=1 是 数 列 { an } 为 等 比 数 列 的 ( ) A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 n [解析]:C。数列{an}的前 n 项和 Sn=3 -c,
? ?3 ? c 则 an= ? ? 2 ? 3 n ?1 ? ( n ? 1)

n

由等比数列的定义可知:
(n ? 2)

c=1 ? 数列{an}为等比数列 5、在等比数列{an }中, a1<0, 若对正整数 n 都有 an<an+1, 那么公比 q 的取值范围是

A q>1 B 0<q<1 C q<0 D q<1 [解析]:B。在等比数列{an}中, a1<0, 若对正整数 n 都有 an<an+1, 则 an<anq 即 an(1-q)<0 若 q<0,则数列{an}为正负交错数列,上式显然不成立; 若 q>0,则 an<0,故 1 -q>0,因此 0<q<1 6、在 和
3 8 27 2

之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_____.

[解析]:216 在 和
3 8 27 2
2

之间插入三个数,使这五个数成等比数列,
8 27 2 ? 36

设插入三个数为 a、b、c,则 b =ac= ?
3

因此插入的三个数的乘积 为 36 ? 6 ? 216 7、在所有三位正整数中,能被 4 整除或能被 6 整除的数共有 ( ) (A) 299 个 (B) 300 个 (C) 374 个 (D) 375 个 解:B.略解在三位正整数中,能被 4 整除的有 225 个,能被 6 整除的有 150 个,既能被 4 整除又能被 6 整除的有 75 个,因此能被 4 或 6 整除的有 225+15-75=300 个。

8、已知 ?a n ? 为等差数列, s n 为其前 n 项的和,若 (A)
2m ? 1 2n ? 1

sm sn
m n

?

m n

2 2

,则

am an

?


m ?1 n ?1



(B)

2m ? 1 2n ? 1

(C)

(D)

解:A.由 S n ?
S 2 m ?1 ? am an ?

n (a1 ? a n ) 2

得 S 2 n ? 1 ? ( 2 n ? 1) a n

2 n ? 1 S 2 m ?1 2 n ? 1 ( 2 m ? 1) 2m ? 1 2m ? 1 ? ? ? ? ? . 2 S 2 n ?1 2 m ? 1 S 2 n ?1 2 m ? 1 ( 2 n ? 1) 2n ? 1
2

2n ? 1

9、首项为 1,且从第 2 项起,每一项都等于它的后项减前项的等比数列 ( ) (A) 有一个 (B) 有两个 (C) 有无数个 (D) 不存在 解:B.略解:令 a n ? a n ? 1 ? a n ?1 得 q 根,故满足条件的等比数列有两个。 10 、 各 项 的 倒 数 成 等 差 数 列 的 数 列 叫 做 调 和 数 列 。 若 x,y,z 是 调 和 数 列 , 且 有
a
x

n ?1

? q

n

?q

n?2

, q ? q ? 1 ? 0 此方程有二不为 0 的实
2

? b

y

? c ( a , b , c 为正数) ,则 a , b , c
z

(

)

(A) 成等差数列 (C) 成调和数列

(B) 成等比数列 (D)各项平方成等差数列

解:B.略解:令 a ? b
x

y

? c

z

? k , 则 x ? log

a

k , y ? log

b

k , z ? log

c

k ,由

2 y

?

1 x

?

1 z



得 2 log

k

b ? log

k

a ? log

k

c ,? b

2

? ac ,? a , b , c 成等比数列。
10

11、已知 ?a n ? 是 首项为 1,公差为-2 的等差数列 ,则 ? a 2
k ?1 10

k ?1

=



解:-2016. a n ? ? 2 n ? 3 , a 2 k ? 1 ? ? 2 ? 3 ,?
k

?

k ?1

a 2 k ? 1 ? ? ? 2 ? 30 ? ? 2016 .
k k ?1

10

12、200 根圆柱形钢管,堆成一三角形垛或梯形垛,每上一层少一根,最下一层最少要放 根 。 解:20; 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 最小一层最少要放 20 根。 13、等比数列前三项的和是 3,如果把第三项减去 9,则这三项又分别是一个等差数列的第 1 项,第 4 项和第 7 项,求等比数列前 4 项的和。 解:如果把第 3 项减去 9,则这三项分别是一个等差数列的第 1 项,第 4 项和第 7 项,故可 设此等比数列的前三项为 a , a ? 3 d , a ? 6 d ? 9 ,故由题意得
a ? (a ? 3d ) ? (a ? 6 d ? 9) ? 3 (a ? 3d )
2

n ( n ? 1) 2

, 满足条件

n ( n ? 1) 2

? 200 的最小自然数 n 为 20,故

d ? ?1 a ?1

? a (a ? 6d ? 9)



d ? ?2 a ? 4

? 等比数列的前三项为 1,-2,4 或 4,-2,1,故第 4 项为-8 或 ?

1 2

,因此前四项的和为-5



5 2



考点五、等比数列求和
1、已知数列

? a n ? 的前 n 项和为 S n ,数列 {

S n ? 1}
?3

是公比为 2 的等比数列.

(1)证明:数列
n

? a n ? 成等比数列的充要条件是 a1
n


a1

(2)设

b n ? 5 ? ( ? 1) a n ( n ?

N*).若

bn ? bn ?1

对 n ? N*恒成立,求

的取值范围.

解:(1)因为数列 所以 即
Sn ? 1 ?

{ S n ? 1} S1 ? 1 ? 2
n ?1

是公比为 2 的等比数列, ,

n ?1

S n ? 1 ? ( a1 ? 1) ? 4



a 1 , n ? 1, a 1 , n ? 1, ? ? an ? ? an ? ? n?2 ? 3( a 1 ? 1) ? 4 , n ? 2, ? S n ? S n ? 1 , n ? 2, 所以 因为
a n ?1 a 显然,当 n ? 2 时, n a2 ? 4


? 4 a n ?1 a ,所以对 n ? N*,都有 n a2 ? 4 3( a 1 ? 1) ? 4

①充分性:当

a1 ? 3

时,

a1

,即数列
? 4

? a n ? 是等比数列.

②必要性:因为

? a n ? 是等比数列,所以 a1

,即
n

a1
n

,解得

a1 ? 3

. .

b ? 5 ? ( ? 1) ? 3( a1 ? 1) ? 4 b ? 5 ? a1 (2)当 n ? 1 时, 1 ;当 n ? 2 时, n

n?2

( a1 ? ? 1)

①当 n 为偶数时, 即
1 5( a1 ? 1) ? 4
n?2

5 ? 3( a1 ? 1) ? 4
n

n?2

?5

n ?1

? 3( a1 ? 1) ? 4

n ?1

恒成立.

? ?4 ? 5

n

恒成立. 故

a1 ? ( ? 1, ? ? )



②当 n 为奇数时,

b1 ? b 2



b n ? b n ? 1 ( n ? 3)

恒成立.
17 4 .
n?2

由 由

b1 ? b 2

知,

5 ? a1 ? 2 5 ? 3( a1 ? 1)

,得
n

a1 ?

bn ? bn ?1

5 ? 3( a1 ? 1) ? 4 对 n ? 3 的奇数恒成立,知

?5

n ?1

? 3( a1 ? 1) ? 4

n ?1

恒成立,



15( a1 ? 1) ? 4

n?2

? 4?5

n

恒成立,所以

a1 ? 1 ?

20 5 n?2 ( ) 3 4 恒成立.

22 20 5 n?2 25 ( ) a1 ? 3 . 因为当对 n ? 3 的奇数时, 3 4 的最小值为 3 ,所以 17 ? 22 3 ,故

又因为 4

? 1 ? a1 ?

17 4 . a 1 ? ( ? 1, 17 4

综上所述,

bn ? bn ?1

对 n ? N*恒成立时,

)



2、设 f(n)=2+24+27+210+…+23n+10(n∈N),则 f(n)等于( D ) A.
2 7

(8n-1)

B.

2 7

(8n+1-1)

C.

2 7

(8n+3-1)

D.

2 7

(8n+4-1)
2 (1 ? 8
n?4

解析:f(n)是首项为 2,公比为 23 的等比数列前 n+4 项和,∴f(n)=

)

1?8

=

2 7

(8n+4-1).

3、设数列 { a n } 的前 n 项和为 Sn=2n , { b n } 为等比数列,且 a 1 ? b1 , b 2 ( a 2 ? a 1 ) ? b1 . (Ⅰ)求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ?
an bn

2

,求数列 { c n } 的前 n 项和 Tn.

解: (Ⅰ)当 n ? 1时 , a 1 ? S 1 ? 2 ;
当 n ? 2 时 , a n ? S n ? S n ? 1 ? 2 n ? 2 ( n ? 1)
2 2

? 4 n ? 2,

故{an}的通项公式为 a n ? 4 n ? 2 , 即{ a n }是 a 1 ? 2 , 公差 d ? 4 的等差数列. 设{bn}的通项公式为 q , 则 b1 qd ? b1 , d ? 4 ,? q ?
n ?1 ? 2? 故 b n ? b1 q

1 4

.

1 4
2
n ?1

, 即 { b n }的通项公式为

bn ?

2 4
n ?1

.

(II)? c n ? a n ? 4 n ? 2 ? ( 2 n ? 1) 4 n ?1 ,
bn 4
n ?1

? T n ? c 1 ? c 2 ? ? ? c n ? [1 ? 3 ? 4 ? 5 ? 4 ? ? ? ( 2 n ? 1) 4
1 2

n ?1

],

4 T n ? [1 ? 4 ? 3 ? 4 ? 5 ? 4 ? ? ? ( 2 n ? 3 ) 4
2 3

n ?1

? ( 2 n ? 1) 4 ]
n

两式相减得
3T n ? ? 1 ? 2 ( 4 ? 4 ? 4 ? ? ? 4
1 2 3 n ?1

) ? ( 2 n ? 1) 4

n

?

1 3

[( 6 n ? 5 ) 4 ? 5 ]
n

? Tn ?

1 9

[( 6 n ? 5 ) 4 ? 5 ].
n

4、已知数列 ? a n ? 的首项 a1 ? 5, 前 n 项和为 S n ,且 S n ?1 ? S n ? n ? 5( n ? N * ) (I)证明数列 ? a n ? 1? 是等比数列; (II)令 f ( x ) ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a n x n ,求函数 f ( x ) 在点 x ? 1 处的导数 f ? (1) 并比较
2 2 f ? (1 )与 2 3 n ? 1 3 n 的大小.

* 解:由已知 S n ?1 ? S n ? n ? 5( n ? N ) 可得 n ? 2, S n ? 2 S n ?1 ? n ? 4 两式相减得

S n ? 1 ? S n ? 2 ? S n ? S n ?1 ? ? 1 即 a n ? 1 ? 2 a n ? 1 从 而 a n ? 1 ? 1 ?

2 ? a n ? ? 1当

n ?1 时

S 2 ? 2 S 1 ? 1 ? 5 所以 a 2 ? a1 ? 2 a1 ? 6 又 a1 ? 5 所以 a 2 ? 1 1 从而 a 2 ? 1 ? 2 ? a1 ? 1 ?
* 故总有 a n ?1 ? 1 ? 2 ( a n ? 1) ,n ? N 又 a1 ? 5, a1 ? 1 ? 0 从而

a n ?1 ? 1 an ? 1

? 2 即数列 ? a n ? 1? 是等

比数列; (II)由(I)知 a n ? 3 ? 2 n ? 1 因为 f ( x ) ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a n x n 所以 f ? ( x ) ? a1 ? 2 a 2 x ? ? ? n a n x n ?1 从而 f ? (1) ? a1 ? 2 a 2 ? ? ? n a n = ? 3 ? 2 ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 1 ? ? ? ? n (3 ? 2 n ? 1)
n ?1 = 3 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ? - ?1 ? 2 ? ? ? n ? = 3 ? n ? 1 ? ? 2 ?

n ( n ? 1) 2

?6

由上 2 f ? (1) ? ? 2 3 n 2 ? 1 3 n ? ? 1 2 ? n ? 1 ? ? 2 n - 1 2 ? 2 n 2 ? n ? 1 ? =
1 2 ? n ? 1 ? ? 2 ? 1 2 ? n ? 1 ? (2 n ? 1) =12 ( n ? 1) ? 2 ? ( 2 n ? 1) ? ① ? ?
n
n

2 当 n ? 1 时,①式=0 所以 2 f ?(1) ? 2 3 n ? 1 3 n ;

2 当 n ? 2 时,①式=-12 ? 0 所以 2 f ?(1) ? 2 3 n ? 1 3 n

n 0 1 n ?1 n 当 n ? 3 时, n ? 1 ? 0 又 2 ? ? 1 ? 1 ? ? C n ? C n ? ? ? C n ? C n ? 2 n ? 2 ? 2 n ? 1 n

2 所以 ? n ? 1 ? ? 2 n ? ? 2 n ? 1 ? ? ? 0 即① ? 0 从而 2 f ? (1) ? 2 3 n ? 1 3 n ? ?

5、数列 ( ? 1) a
( ? 1) a
n

?

n

4n

?( a ? 0 ) 的前 n 项的和等于
4
4 4



4 ( n ?1) 4

解:

?a

a

?1

;已知数列为首项为 ? a ,公比为 ? a 的等比数列。
a 2 ? a 3 ? a 4 ? 2 ,那么, a 4 ? a 5 ? a 6 ?

6、已知 ?a n ? 为等比数列, a 1 ? a 2 ? a 3 ? 1 , 。 解:8. q ? ;
a2 ? a3 ? a4 a1 ? a 2 ? a 3

? 2 ,? a 4 ? a 5 ? a 6 ? q ( a 2 ? a 3 ? a 4 ) ? 8
2

考点六、等比数列与等差数列综合
1.若互不相等的实数 a,b,c 成等差数列,c,a,b 成等比数列,且 a+3b+c=10,则 a 等于 ( D ) A.4 B.2 C.-2 D.-4
?a ? c ? 2b, ?a ? ?4, ? ? 2 解析:依题意有 ? bc ? a , 解得 ? b ? 2 , ?c ? 8. ? a ? 3 b ? c ? 10 , ? ?

2.设 a>0,b>0,a,x1,x2,b 成等差数列,a,y1,y2,b 成等比数列,则 x1+x2 与 y1+y2 的大小关系 是( B ) A.x1+x2≤y1+y2 B.x1+x2≥y1+y2C.x1+x2<y1+y2 D.x1+x2>y1+y2 2 3 2 2 解析:(x1+x2)-(y1+y2)=a+b-(aq+aq )=a(1+q -q -q)=a(1+q)(1-q) ≥0.

3 、 互 不 相 等 的 三 个 正 数 x1,x2,x3 成 等 比 数 列 , 且 点 P1 (logax1,logby1),P2(logax2,logby2),P3(logax3,logby3)共线(a>0 且 a≠1,b>0,且 b≠1) 则 y1,y2,y3 成( C ) A.等差数列,但不等比数列 B.等比数列而非等差数列 C.等比数列,也可能成等差数列 D.既不是等比数列,又不是等差数列 解析: P1 P2 =λ P2 P3 (logax2-logax1)·(logby3-logby2)=(logax3-logax2)(logby2-logby1). ∵
x2 x1

=

x3 x2

,∴logby3-logby2=logby2-logby1,y2 =y1y3.

2

当 y1=y2=y3>0 时也可.

4、已知 f(x)=bx+1 为 x 的一次函数, b 为不等于 1 的常数, 且 g(n)= ?
?1 (n ? 0) ? f [ g ( n ? 1)] ( n ? 1)

, 设 an= g(n) - g(n-1) (n ∈ N ), 则 数 列 { an } 是



( ) A 等差数列 B 等比数列 C 递增数列 D 递减数列 [解析]: B 已知 f(x)=bx+1 为 x 的一次函数, b 为不等于 1 的常数, 且 g(n)= ?
?1 (n ? 0)

? f [ g ( n ? 1)] ( n ? 1)

,

则 g(1)=b+1,g(2)=b +b+1,g(3)=b + b +b+1, ┉,g(n)= b +┉+ b +b+1. a1=b,a2= b ,a3= b , ┉, a n ? b 故数列{an} 是等比数列 5、 已知正项数列 ? a n ? 中, a 1 ? 6 ,点 An ? a n , a n ? 1 ? 在抛物线 y 2 ? x ? 1 上;数列 ? b n ? 中,点
B n ? n , bn ?
2 3

2

3

2

n

2

n

在过点 ? 0,1 ? ,以方向向量为 ? 1, 2 ? 的直线上.

(Ⅰ)求数列 ? a n ? , ? b n ? 的通项公式; (Ⅱ)若 f ? n ? ? ?
?an , ? ? bn , ?

?n为 奇 数 ? ?n为 偶 数 ?

k ,问是否存在 k ? N ,使 f ?k ? 27 ? ? 4 f ? ? 成立,若

存在,求出 k 值;若不存在,说明理由; (Ⅲ) 对任意正整数 n , 不等式
a
n ?1

? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ?? ?1 ? b1 ? ? b2 ? ? bn ? ?

?

a

n

n ? 2 ? an

?0

成立, 求正数 a 的

取值范围.

解: (Ⅰ)将点 An ? a n , a n ? 1 ? 代入 y 2 ? x ? 1 中得
a n ?1 ? a n ? 1 ? ? a n ?1 ? a n ? d ? 1

a n ? a1 ? ? n ? 1 ? ? 1 ? n ? 5

直 线 l : y ? 2 x ? 1, ? b n ? 2 n ? 1
? n ? 5, ? ? 2 n ? 1, ?

(Ⅱ) f ? n ? ? ?

? n为 奇 数 ? ? n为 偶 数 ?
? f ? k ? 27 ? ? 4 f ? k ?

当 k 为 偶 数 时 , k ? 2 7为 奇 数 , ? k ? 2 7 ? 5 ? 4 ? 2 k ? 1? ,

? k ? 4

当 k 为 奇 数 时 , k ? 2 7为 偶 数 , ? 2 ? k ? 27 ? ? 1 ? 4 ? k ? 5 ? , ? k ? 35 2

?舍 去 ?

综 上 , 存 在 唯 一 的 k ? 4符 合 条 件 。
a
n ?1

(Ⅲ)由

? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ?? ?1 ? b1 ? ? b2 ? ? bn ? ?

?

a

n

n ? 2 ? an

?0

即a ?

? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ?? ?1 ? b1 ? ? b2 ? ? bn ? 2n ? 3 ? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ?? ?1 ? b1 ? ? b2 ? ? bn ? 2n ? 3 ? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ?? 1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ?? ?1 ? b1 ? ? b2 ? ? bn ? ? bn ?1 ? 2n ? 5 ? 1 ? 2n ? 3 ? 1 ? ? ?1 ? ?? bn ?1 ? 2n ? 5 ? ?1 2n ? 3 2n ? 5 ? 2n ? 4 2n ? 3 ? 2n ? 4 2n ? 5 ? 2n ? 3

记f ?n? ?

?

f ? n ? 1? ? f ? n ? 1? f ?n?
2

?

? ? ?

4n ? 16n ? 16 4n ? 16n ? 15
2

f ? n ? 1? ? f ? n ? , 即 f ? n ? 递 增 , f ? n ? m in ? f ? 1 ? ? 0? a? 4 5 15 1 5 ? 4 3 ? 4 5 15 ,

?

6、数列 ?a n ? 满足条件 a 1 ? 1, a n ? a n ? 1

?1? ?? ? ?3?

n ?1

( n ? 2 ,3 , ? )

(1) 求 a n ;

(2) 求 a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n .

解: (1) a n ? a 1 ?

?

n

( a k ? a k ?1 ) ? 1 ?

k ?2

? (3)
k ?2

n

1

k ?1

1 n ?1 [1 ? ( ) ] 3 1 1 n ?1 3 3 ?1? ? ? ( ) 1 2 2 3 1? 3

1

(2) a 1 ? a 2 ? ? ? a n

1 n 1? ( ) 3 3 3 1 n 3 ? n? , ? n ? ? ?( ) 1 2 2 2 4 4 3 1? 3
3 1


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数列经典试题(含答案)

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2 ? 2 D. 2 100 (2 ? 1) 3 【分值】5 【答案】B 【易错点】 【考查方向】本题主要考查了等差数列等比数列的判断,在近几年的各省高考题出现的频 ...