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湖北省武汉市部分重点中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案


武汉市部分重点中学 2012~2013 学年度上学期高二 期末测试 数学试卷(理科)
本卷总分 150 分,时间 120 分钟 。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。给出答案后,请把答案用 2B 铅笔涂在答题卡相应的位置上。 ) 1.要从编号 1 到 60 的 60 枚最新研制的某种导弹中随机选取 6 枚来进行发射试验,用每部 分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 6 枚导弹的编号可能是( ) A. 5,10,15, 20, 25,30 C. 1, 2,3, 4,5,6 B. 3,13, 23,33, 43,53 D. 2, 4,8,16,32, 48

2.下列说法错误的是( ) A.自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关 关系; ^ ^ ^ B.线性回归方程对应的直线y=bx+a至少经过其样本数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn, yn)中的一个点; C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高; D.在回归分析中, R 2 为 0.98 的模型比 R 2 为 0.80 的模型拟合的效果好. 3.圆 x ? y ? 4 y ? 0 与直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 相交于 A、B 两点,则线段 AB 的垂直平分线
2 2

的方程是(

) B. 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 D. 4 x ? 3 y ? 2 ? 0

A. 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 C. 3x ? 4 y ? 8 ? 0

4.一批产品抽 50 件测试,其净重介于 13 克与 19 克之间, 将测试结果按如下方式分成六组:第一组,净重大于等 于 13 克且小于 14 克;第二组,净重大于等于 14 克且 小于 15 克;??第六组,净重大于等于 18 克且小于 19 克.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方 图. 设净重小于 17 克的产品数占抽取数的百分比为 x , 净重大于等于 15 克且小于 17 克的产品数为 y , 则从频 率分布直方图中可分析出 x 和 y 分别为( ) A. 0.1, 45 C. 0.1,35 B. 0.9, 45 D. 0.9,35

5.直线 m、n 和平面 ? 、 ? .下列四个命题中, ①若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n; ②若 m ? ? ,n ? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,则 ? ∥ ? ; ③若 ? ? ? ,m ? ? ,则 m ? ? ; ④若 ? ? ? ,m ? ? ,m ? ? ,则 m∥ ? ,

其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1

C.2

D.3 )
2

6.已知随机变量 X 的分布列如下表,随机变量 X 的均值 E ( X ) ? 1 ,则 x 的值为( A.0.3 C. 0.4 7.设随机变量 X~ B (6, B. 0.24 D. 0.2 ) D. )
X
0 1

P

0.4

x

y

1 ) ,则 P(X=3)的值是( 2 3 5 3 A. B. C. 16 16 8 8.如果执行下面的程序框图,那么输出的 S ? (

5 8

A.2550
4 3

B.-2550
2

C.2548

D.-2552

9.已知等式 x ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? a4 ? ( x ? 1)4 ? b1 ( x ? 1)3 ? b2 ( x ? 1) 2 ? b3 ( x ? 1) ? b4 , 定义映射 f : (a1 , a2 , a3 , a4 ) ? (b1 , b2 , b3 , b4 ) ,则 f (4,3, 2,1) ? ( A. (1, 2,3, 4) C. (0, ?3, 4, ?1) B. (0,3, 4,0) D. (?1,0, 2, ?2) )

10.三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面边长都相 等, A1 在底面 ABC 内的射影为 △ABC 的中心

O ,则 B1 A 与底面 ABC 所成角的正弦值等于
( A. )

2 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

1 3

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡相应的位置上。 ) 11.将 n 件不同的产品排成一排,若其中 A,B 两件产品排在一起的不同排法有 48 种,则

n=________. 12.如图所示,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成 的一个边长为 2 的大正方形,若直角三角形中较小的锐角

??

π , 现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖, 飞镖 6

落在小正方形内概率是________. 13.设随机变量 ? ~N(1,1), P(? ? 2) ? p ,则 P(0 ? ? ? 1) 的值是________. 14.已知圆 C : x ? 8 x ? y ? 9 ? 0 ,过点 M ?1,3? 作直线交圆 C 于 A, B 两点, ?ABC 面积
2 2

的最大值为__________. 15.正方形的顶点和各边中点共 8 个点,以其中 3 个点为顶点的等腰三角形共有_______个 (用数字作答) . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 16.(本小题满分 12 分) 已知二项式 ( x ?
2

1 2 x

) n ( n?N*)展开式中,前三项的二项式系数和是 56 ,求: .....

(Ⅰ) n 的值; (Ⅱ)展开式中的常数项.

17. (本小题 12 分) 如图,在 ?ABC 中, BD 为 AC 边上的高, BD ? 1, BC ? AD ? 2 ,沿 BD 将 ?ABD 翻折, 使得 ?ADC ? 30?, 得几何体 B ? ACD (Ⅰ)求证: AC ? 平面BCD ; (Ⅱ)求点 D 到面 ABC 的距离。

18. (本小题满分 12 分) 甲、乙两运动员进行射击训练,已知他们击中的环数都稳定在 8,9,10 环,且每次射 击击中与否互不影响.甲、乙射击命中环数的概率如下表: 8环 甲 乙 率; (Ⅱ)若甲、乙两运动员各自射击 2 次,求这 4 次射击中恰有 3 次击中 9 环以上(含 9 环)的概率. 0.2 0.25 9环 0.45 0.4 10 环 0.35 0.35

(Ⅰ)若甲、乙两运动员各射击 1 次,求甲运动员击中 8 环且乙运动员击中 9 环的概

19. (本小题满分 12 分) 在边长为 2 的正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,E 是 BC 的中点,F 是 DD? 的中点 (1)求证:CF∥平面 A?DE (2)求二面角 E ? A?D ? A 的平面角的余弦值.

20.(本小题满分 13 分) 袋中有大小相同的三个球,编号分别为 1、2 和 3,从袋中每次取出一个球,若取到的球的 编号为偶数,则把该球编号加 1(如:取到球的编号为 2,改为 3)后放回袋中继续取球; 若取到球的编号为奇数,则取球停止,用 X 表示所有被取球的编号之和. (Ⅰ)求 X 的概率分布; (Ⅱ)求 X 的数学期望与方差.

21.(本小题满分 14 分) 已知在单位圆 x?+y?=1 上任取一点 M,作 MN⊥x 轴,垂足为 N,

NQ = 2 NM .
(Ⅰ)求动点 Q 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设点 A(a , 0) ,点 P 为曲线 C 上任一点,求点 A 到点 P 距离的最大值 d (a ) ; (Ⅲ)在 0 ? a ? 1 的条件下, 设△ POA 的面积为 S 1 ( O 是坐标原点,P 是曲线 C 上横坐 标为 a 的点),以 d (a ) 为边长的正方形的面积为 S 2 .若正数 m 满足 S1 ?

1 mS 2 , 4

问 m 是否存在最小值,若存在,请求出此最小值,若不存在,请说明理由.

武汉市部分重点中学 2012~2013 学年度上学期高二期末测试 数学理科参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1 B 2 B 3 A 4 D 5 B 6 D 7 B 8 C 9 C 10 A

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.5 12. 1 ?

3 2

13.

1 ?p 2

14.

25 2

15.20

三、解答题: 16.解:(Ⅰ) Cn ? Cn ? Cn ? 56 ??????????????2 分
0 1 2

? 1? n ?

n(n ? 1) ? 56 ? n2 ? n ? 110 ? 0 ???4 分 2

? n ? 10, n ? ?11 (舍去).??????????5 分
(Ⅱ) ( x ?
2

1 2 x

) 展开式的第 r ? 1 项是 C ( x )
10
r 10

2 10 ? r

1 r 20? 52r ( ) ?C ( ) x ,8 分 2 2 x 1
r r 10

5r ? 0 ? r ? 8 ,????????????10 分 2 45 8 1 8 故展开式中的常数项是 C10 ( ) ? .??????????12 分 2 256 17.解: (Ⅰ)因为 BD ? AD, BD ? CD, AD ? CD ? D ,所以 BD ? 平面 ACD .……2 分 又因为 AC ? 平面 ACD, 所以 AC ? BD ① 20 ?
在 ?ACD 中, ?ADC ? 30? , AD ? 2, CD ? 3 ,由余弦定理, 得 AC 2 ? AD2 ? CD2 ? 2 AD ? CD ? cos ?ADC ? 1 因为 AD2 ? CD2 ? AC 2 ,所以 ?ACD ? 90? ,即 AC ? CD .②……5 分 由①,②及 BD ? CD ? D ,可得 AC ? 平面 BCD ……….6 分 (Ⅱ)过 D 点作 DE ? BC,垂足为 E 点 由(Ⅰ)知 AC ? 平面 BCD ∵AC ? 面 ABC ∴面 ABC ? 面 BCD ?????????????????? 8 分 又∵面 ABC ? 面 BCD=BC ∴DE ? 面 ABC ∴DE 即为点 D 到面 ABC 的距离 ???????????????10 分 ∵在 Rt ? BCD 中,BC·DE=BD·CD ∴2DE=1× 3 ∴DE=

3 2 3 2
???????????????12 分

∴点 D 到面 ABC 的距离为

18.解: (Ⅰ)由已知甲射击击中 8 环的概率为 0.2,乙射击击中 9 环的概率为 0.4,则所 求事件的概率为 P=0.2×0.4=0.08. ????????? 3 分 (Ⅱ)记“甲运动员射击一次,击中 9 环以上(含 9 环) ”为事件 A, “乙运动员射击 1 次,击中 9 环以上(含 9 环) ”为事件 B,则 P(A)=0.35+0.45=0.8,P(B)=0.35+0.4=0.75.?????????? 5 分 “甲、 乙两运动员各自射击两次, 4 次射击中恰有 3 次击中 9 环以上 这 (含 9 环) ”

包含甲击中 2 次、乙击中 1 次,与甲击中 1 次、乙击中 2 次两个事件,这两个事 件为互斥事件. 甲击中 2 次、乙击中 1 次的概率为

4 1 3 1 6 ; ???? 8 分 [C2 ? ( )2 ? ( )0 ] ? [C1 ? ( )1 ? ( )1 ] ? 2 2 5 5 4 4 25
甲击中 1 次、乙击中 2 次的概率为

4 1 3 1 9 . ???? 11 分 [C1 ? ( )1 ? ( )1 ] ? [C2 ? ( ) 2 ? ( )0 ] ? 2 2 5 5 4 4 50 6 9 21 故所求概率为 P ? ? ? . ????????????? 12 分 25 50 50
答: 甲、 乙两运动员各自射击两次, 4 次射击中恰有 3 次击中 9 环以上的概率为 这 19 解: (Ⅰ)取 A’D 的中点 O,连接 OF ∵点 F 为 DD’的中点;

21 . 50

1 A’D’; 2 1 ∴OF∥AD 且 OF= AD; ……………2 分 2
∴OF∥A’D’且 OF= ∵点 E 为 BC 的中点 ∴EC∥AD 且 EC=

1 AD; 2

∴OF∥EC 且 OF=EC; ∴四边形 OBCF 为平行四边形 ……………….3 分 ∴CF∥OE 又 FC ? 面 A’DE 且 OE ? 面 A’DE ∴CF∥面 A’DE …………………….6 分 (Ⅱ)取 AD 的中点 M,连接 ME 过点 M 作 MH⊥A’D,垂足为 H 点,连接 HE ∵AB∥ME,又 AB⊥面 ADD’A’ ∴ME⊥面 ADD’A’ ∵A’D ? 面 ADD’A’ ∴ME⊥A’D 又 ME⊥A’D,ME∩MH = M ∴A’D⊥面 MHE ∵HE ? 面 MHE ∴A’D⊥HE ∴∠MHE 是二面角 E-A’D-A 的平面角 ……………….9 分 在 Rt△MHD 中, sin∠A’DA = ∴MH = sin 45°=

MH MD

2 2

在 Rt△MHD 中,tan∠MHE =

ME 2 ? ?2 2 MH 2 2

∴sin∠MHE =

1 3

……………………….12 分

20.解:(Ⅰ)在 X ? 1 时,表示第一次取到的 1 号球, P( X ? 1) ?

在 X ? 3 时,表示第一次取到 2 号球,第二次取到 1 号球,或第一次取到 3 号球,

1 ;??????1 分 3

1 1 1 4 P( X ? 3) ? ? ? ? ;????????4 分 3 3 3 9 在 X ? 5 时,表示第一次取到 2 号球,第二次取到 3 号球, 1 2 2 P( X ? 5) ? ? ? .?????????????6 分 3 3 9 X 的概率分布为???????????????????7 分

X
P

1

3

5

1 4 2 3 9 9 1 4 2 25 (Ⅱ) E ( X ) ? 1? ? 3 ? ? 5 ? ? , ?????????10 分 3 9 9 9 25 1 25 4 25 2 176 .???13 分 D( X ) ? (1 ? ) 2 ? (3 ? ) 2 ? (5 ? ) 2 ? 9 3 9 9 9 9 81
21.解:(Ⅰ)设点 Q 的坐标为(x,y) ,M(x0,y0) ,则 N(x0,0)

NM ∴ NQ ? ( x ? x0 , y ),    ? (0, y 0 )
∵ NQ = 2

NM
2 (0, y 0 )

∴ ( x ? x0 , y ) ?

? x ? x0 ? 0 ? ∵? ? y ? 2 y0 ?

? x0 ? x ? ∴? 2 y ? y0 ? 2 ?
2 2

∵点 M(x0,y0)在单位圆 x + y = 1 上 ∴x ?
2

y2 ?1 2
2 2

所以动点 Q 的轨迹 C 的方程为 2 x ? y ? 2 (Ⅱ)设 P( x, y ) ,则

.........................4 分

| PA | 2 ? ( x ? a) 2 ? y 2 ? ( x ? a) 2 ? 2 ? 2 x 2 ? ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? 2 ? ?( x ? a) 2 ? 2a 2 ? 2 ,令 f ( x) ? ?( x ? a) 2 ? 2a 2 ? 2 , x ? [?1 , 1] ,所
以, 当

? a ? ?1 , 即 a ? 1 时
? f (?1) ? (a ? 1) 2 ;

f (x) 在 [?1 , 1] 上 是 减 函 数 ,

? f ( x)?max

当 ? 1 ? ?a ? 1 ,即 ? 1 ? a ? 1 时, f (x) 在 [?1 , a] 上是增函数,在 [?a , 1] 上是 ? 减函数,则 ? f ( x) ?max ? f (?a ) ? 2a ? 2 ;
2

? 当 ? a ? 1, a ? ?1 时,f (x) 在 [?1,1] 上是增函数, f ( x)?max ? f (1) ? (a ? 1) . 即
2

a ? ?1 ?1 ? a , ? ? 所以, d (a ) ? ? 2a 2 ? 2 , ?1 ? a ? 1 .????9 分 ?1 ? a , a ?1 ? ?
(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时, P ( a , ? 2 ? 2a ) ,于是 S1 ?
2

1 a 2(1 ? a 2 ) , S 2 ? 2a 2 ? 2 , 2

若正数 m 满足条件,则

a 2(1 ? a 2 ) 1 1 , a 2(1 ? a 2 ) ? m(2a 2 ? 2) ,即 m ? a2 ? 1 2 4

m2 ?

2a 2 (1 ? a 2 ) 2a 2 (1 ? a 2 ) , 令 f (a) ? , 设 t ? a 2 ? 1 , 则 t ? (1 , 2) , ( a 2 ? 1) 2 (a 2 ? 1) 2

a 2 ? t ? 1 ,于是

f (a) ?

? ?t 2 ? 3t ? 2 ? 2(t ? 1)(2 ? t ) ? 2 3 ? ?1 3 ? 1 ? 2? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 1 ? ? ?4 ? ? ? ? , 2 2 t t t ? t ? ?t 4? 4 ? ?
2

1 3 4 1 ,即 t ? ? (1 , 2) 时, [ f (a)]max ? , t 4 3 4 1 1 1 即 m2 ? , m ? .所以, m 存在最小值 .????14 分 4 2 2
所以,当 ?


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