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江苏省大丰市新丰中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文


2015-2016 学年第一学期期末考试 高二年级数学(文科)试题

一.填空题(本大题共 14 小题;每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程,请将答案直 接写在答题卷上) 1.设命题 p : ?x ? R, x ? 1 ? 0 ,则 ?p 为____________________.
2

2.抛物线 y 2 ? 4 x 的准线方程为___________________. 3.设复数 z ?

2?i ( i 为虚数单位) ,则 z 的虚部是___________________. (1 ? i)2

4.“ x ? 1 ”是 “ log 2 x ? 0 ”的______________________条件. (在“充分必要” 、 “充分 不必要” 、 “必要不充分” 、 “既不充分也不必要”中选一个合适的填空)

x+y≤3, ? ? 5.设变量 x, y 满足约束条件?x-y≥-1, ? ?y≥1,
x

则目标函数 z ? 4 x ? 2 y 的最大值为_____.

6.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是___________________. 7.若 x ? 1 ,则 x ? 8.曲线 f ( x ) ?
2

1 的最小值是___________________. x ?1

2 ? sin x 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 ___________________. cos x

9. 记不等式 x ? x ? 6 ? 0 的解集为集合 A ,函数 y ? lg(x ? a) 的定义域为集合 B .若 “ x ? A ”是“ x ? B ”的充分条件,则实数 a 的取值范围为_____________. 10.若不等式 x ? px ? q ? 0 的解集是 ?x / 1 ? x ? 2?,
2

则不等式

x 2 ? px ? q ? 0 的解集是____________________. x2 ? x ? 6
2 2 2

11.如图甲在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下一个直角三角 形,按图所标边长,由勾股定理有 c ? a ? b ,设正方形换成正方体 ,把截线换成如图 乙的截面,从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O ? LMN ,如果用 S1 、S2 、S3 表 示三个侧面面积,用 S4 表示截面面积,那么你类比得到的结论是______________.
1

12.已知复数 z ? x ? yi?x, y ? R, x ? 0?且 z ? 2 ? 3 ,则

y 的范围为_____ ______. x

13.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x=1 处有极值 10.则 a ? b ? _________. 14.已知椭圆:

x2 y2 ? ? 1 ,左右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点, 4 b2

若 AF2 ? BF2 的最大值为 5 ,则椭圆方程为____________. 二.解答题(本大题共 6 小题,满分 90 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 15. (本题满分 14 分) 已知 z 是复数, z ? 2i 、

z 2 均为实数( i 为虚数单位),且复数 ( z ? ai) 在复平面上 2?i

对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围.

16.(本小题满分 14 分) 给出下面两个命题,命题 p : 方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆 25 ? m m ? 7 y2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) 5 m

命题 q : 双曲线

已知 ?p ? ?q 为假,求实数 m 的取值范围。

17.(本小题满分 14 分)

2

已知 f ( x ) ?

2x . x ?6
2

(1)若 f ( x) ? k 的解集为 {x / x ? ?3或x ? ?2} ,求 k 的值; (2)若对任意的 x ? 0, f ( x) ? t 恒成立,求实数 t 的范围.

18.(本小题满分 16 分) 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x (单位:元/千克)满足关系式 y ?

a ? 10( x ? 6)2 ,其中 3<x<6, a 为常数.已知销售 x ?3

价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若该商品的成品为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品 所获得的利润最大.

19.(本小题满分 16 分)
3

已知函数 f ( x ) ?

1 2 x ? a ln x . 2

(1)若 a ? ?1 ,求函数 f ( x) 的极值,并指出极大值还是极小值; (2)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 在 [1, e] 上的最值; (3)若 a ? 1 ,求证:在区间 [1,??) 上,函数 f ( x) 的图象在 g ( x ) ?

2 3 x 的图象 下方. 3

20.(本小题满分 16 分) 如图, 点 F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点. 点 A 是椭圆 C a2 b2

? 上一点,点 B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一交点,且满足 AF 1 ? x 轴, ?AF 2F 1 ? 30 .

(1)求椭圆 C 的离心率 e ; (2)若 ?ABF1 的周长为 4 3 ,求椭圆 C 的标准方程; (3)若 ?ABF1 的面积为 8 3 ,求椭圆 C 的标准方程.
y A

F1

O

F2 x B

4

2015-2016 学年第一学期期末考试 高 二年 级数学(文科)试题答题卷 一、 填空题 (本大题共 14 小题; 每小题 5 分, 共 70 分. 不需写出解答过 过程,请将答案直接写在答题卷上) 考场 __________________ 座位号__________ 班级__________________ 姓名__________________学号__________________ 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14.

…………………………………………………….密……………………….封………………………..线……………………………………………………………....



二. 解答题 (本大题共 6 小题,满分 90 分. 解答须写出文字说明、 证明过



过程或演算步骤. ) 15.(本题满分 14 分)

16.(本题满分 14 分)

5

————————————————————————————————— 17.(本题满分 14 分)

18.(本题满分 16 分)

6

————————————————————————————————— 19.(本题满分 16 分)

20.(本题满分 16 分)

……………………………....

7

y A

F1

O

F2 x B

8

2015-2016 学年第一学期期末考试 高二年级数学(文科)试题答案 一.填空题
2 1. ?x ? R , x ? 1 ? 0

2. x=-1. 4.必要不充分. 6. (2,??) 8. x ? y ? 2 ? 0 10. {x|x≥2 或 x≤1}

3. -1 5. 10 7.3 9. (-∞,-3] 11. S4=S1+S2+S3 13. ? 7 二.解答题 15. (本题满分 14 分)
2 2 2 2

12. ? 3, 3

?

?

x2 y2 ? ?1 14. 4 3

解 设 z=x+yi(x、y∈R),所以 z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2.??3 分

z x-2i 1 1 1 因为 = = (x-2i)(2+i)= (2x+2)+ (x-4)i.由题意得 x=4,??6 分 2-i 2-i 5 5 5
所以 z=4-2i. ???????????8 分 所以(z+ai) =(12+4a-a )+8(a-2)i, ???????????10 分 由于(z+ai) 在复平面上对应的点在第一象限,
? ?12+4a-a >0, 所以? ?8?a-2?>0, ?
2 2 2 2

解得 2<a<6,???????????12 分

故实数 a 的取值范围是(2,6).???????????14 分 16.(本小题满分 14 分) 解:当命题 p 为真, 7 ? m ? 16 ??????? 4 分 当命题 q 为真,? 0 ? m ? 15 ??????? 8 分

? ?p ? ?q 为假,? p ? q 为真?????? 11 分
所以所求实数 m 的取值范围是 7 ? m ? 15 ???? 14 分 17.(本小题满分 14 分) 解 (1)f(x)>k?kx -2x+6k<0,????????? 2 分 由已知其解集为{x|x<-3 或 x>-2},
9
2

得 x1=-3,x2=-2 是方程 kx -2x+6k=0 的两根,????????? 4 分 2 2 所以-2-3= ,即 k=- .????????? 7 分 k 5 (2)∵x>0,f(x)= 2x 2 6 = ≤ ,????????? 12 分 x +6 6 6 x+
2

2

x

由已知 f(x)≤t 对任意 x>0 恒成立,故实数 t 的取值范围是 [

6 ,??) .?? 14 分 6

18.(本小题满分 16 分) 解: (Ⅰ)因为 x=5 时,y=11,所以

a ? 10 ? 11, a ? 2. ????3 分 2 2 (Ⅱ) 由(Ⅰ)可知,该商品每日的销售量 y ? ? 10( x ? 6)2 , x ?3
所以商场每日销售该商品所获得的利润

f ( x) ? ( x ? 3)[

2 ? 10( x ? 6) 2 ] ? 2 ? 10( x ? 3)( x ? 6) 2 ,3 ? x ? 6 .????8 分 x ?3

从而, f '( x) ? 10[( x ? 6)2 ? 2( x ? 3)( x ? 6)] ? 30( x ? 4)( x ? 6) ,????10 分 于是,当 x 变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f '( x )

(3,4) + 单调递增

4 0 极大值 42

(4,6) 单调递减

f ( x)

由上表可得,x=4 是函数 f ( x) 在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点, 所以,当 x=4 时,函数 f ( x) 取得最大值,且最大值等于 42.????14 分 答:当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.??16 分

19.(本小题满分 16 分) 解: (1) f ( x) 的定义域是 (0,??) f ?( x) ? x ?

1 x 2 ? 1 ( x ? 1)(x ? 1) ? ? x x x
10

当 x ? (0,1) 时 f ?( x) ? 0 ? f ( x) 在 (0,1) 上递减; -------------------------------2 分 当 x ? (1,??) 时 f ?( x) ? 0 ? f ( x) 在 (1,??) 上递增,

? f ( x)











f (1) ?

1 2









值.------------------------------------------4 分 (2) f ( x) ?

1 2 1 x ? ln x ? f ?( x) ? x ? ? 0 恒成立对 x ? [1, e] , 2 x


? f ( x)

[1, e]









---------------- ------------------------- -------------------------6 分

? f ( x) max ? f (e) ?
-10 分

1 2 1 e ? 1, f ( x) min ? f (1) ? . ------------------------------2 2 1 2 2 x ? ln x ? x 3 ( x ? 1) 2 3

(3)证明:令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

h?( x) ? x ?

1 ? 2x3 ? x 2 ? 1 ( x ? 1)(2 x 2 ? x ? 1) ? 2x 2 ? ?? ? 0 在 [1,??) 上恒成立, x x x
在 区 间

? h( x )

[1,??)









-----------------------------------------------------------12 分

? h( x) ? h(1) ?

1 2 1 ? ? ? ? 0 ---------------------------------------- ------2 3 6

------------15 分

? 在区间 [1,??) 上,函数 f ( x) 的图象在 g ( x ) ?
20.(本小题满分 16 分) 解: (1)解法 1:在 Rt ?AF 1F2 中,? ?AF2 F 1 ? 30 ,
?

2 3 x 的图象下方3

--16 分

? AF1 ? F1F2 tan 30? ?

4 3 2 3 c, c, AF2 ? 2 AF1 ? 3 3

11

?e ?

F1 F2 2c 2c 3 ? ? ? . 2a AF1 ? AF2 2 3c ? 4 3c 3 3 3

????? 5

? 解法 2: Rt ?AF 1 ? F 1 F2 tan 30 ? 1F2 中,? ?AF2 F 1 ? 30 , ? AF
?

2 3 c, 3

则 A(?c,

x2 y 2 2 3 c) ,代入 2 ? 2 ? 1 并利用 b2 ? a 2 ? c2 化简整理得 a b 3

3a 4 ? 2a 2c 2 ? 3c 4 ? 0 ,即 (a2 ? 3c2 )(3a2 ? c2 ) ? 0 ,

?a ? c ,? a ? 3c ,? e ?

c 3 ? . a 3

(2)由椭圆定义知 AF 1 ? AF 2 ? BF 1 ? BF 2 ? 2a , ∴ ?ABF1 的周长为 4a ,∴ 4a ? 4 3,? a ? 3, 则 b ? 故椭圆 C 的标准方程为

2,
????? 10 分

x2 y 2 ? ?1. 3 2

(3)解 法 1:由(1)知 a ? 3c, 则 b ? 2c , 于是椭圆方程可化为

x2 y2 ? ? 1 ,即 2 x2 ? 3 y 2 ? 6c2 , 3c 2 2c 2

设直线 AF2 的方程为 y ?

3 ( x ? c) ,代入 2 x2 ? 3 y 2 ? 6c2 化简整理得 3

5 3x2 ? 2cx ? 5c 2 ? 0 ,?x ? ?c 或 x ? c , 3
则点 B 的横坐标为 c ,∴点 B 到直线 AF1 的距离为 c ? (?c) ? ∴ ?ABF1 的面积为

5 3

5 3

8 c, 3

1 2 3 8 ? c ? c ? 8 3, 解得 c ? 3 , 2 3 3

? a ? 3 3, b ? 3 2,

12

故椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1. 27 18

????? 16 分

解法 2:设 BF2 ? t ,则 AF 1 ? 2a ? t ? 2 3c ? t ,
2 2 2 ? 在 ?BF1 F2 中由余弦定理得: BF 1 ? BF 2 ?F 1F 2 ? 2BF 2 ?F 1F 2 ? cos150 ,

即 (2 3c ? t ) ? t ? (2c) ? 2t ? 2c ?
2 2 2

3 , 2

化简整理得 t ? ∴ AB ?

4 3 c, 9

4 3 4 3 16 3 c? c? c 3 9 9

? 又∵ AF 1 ? x 轴, ?AF 2F 1 ? 30 , ? ∴点 F1 到直线 AB 的距离为 F 1F 2 sin30 ? c ,

∴ ?ABF1 的面积为

1 16 3 ? c ? c ? 8 3, 解得 c ? 3 , 2 9

? a ? 3 3, b ? 3 2,
x2 y 2 ? ?1. 故椭圆 C 的标准方程为 27 18

13


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