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2012--2013(上)高三(7)数学周六考试试题12(答案)


2012~2013(上)高三(7)数学周六考试试题 12(答案)
命题人:张开桃

锥。已知由两个完全相同的正四棱锥组合而成的空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都相 同,且如右图所示,视图中四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,则该几何体的体积为 ( C ) A. 2 B.

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分
1 1. 若复数 z ? m(m ? 1) ? (m ? 1)i 是纯虚数,其中 m 是实数,则 ? ( A z A. i B. ?i C. 2i D. ?2i


2 2 2 4
2

2. 已知命题 p : ?x ? 0 ,使 2 ? 3 ,则
x

( B. ?p : ?x ? 0 ,使 2 ? 3
x

D )

C.

2 3

D.

A. ?p : ?x ? 0 ,使 2 ? 3
x

8. 若曲线 f ( x) ? cos x 与曲线 g ( x) ? x ? bx ? 1 在交点 (0, m) 处有公切线,则 b= ( B A. ?1 B. 0
2

) D. 2

C. ?p : ?x ? 0 ,使 2 ? 3
x

D. ?p : ?x ? 0 ,使 2 ? 3
x

C.1

3. 已知 a ? ?? 3,2?, b ? ?? 1,0? ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为( A )
1 A. ? 7 1 B. 7 1 C. ? 6 1 D. 6
开始 输入 a1 , a2 ,?, a50
k ? 1, M ? 0,W ? 0

9. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,M 是抛物线 C 上一点, 若 ?OFM 的外接圆与抛物线 C 上,且该圆面积为 9? ,则 p ? ( A. 2 B. 4 C. 6
x

B



D. 8

4. 公比不为 1 等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 且
?3a1 , ?a2 , a3 成等差数列,若,则 S 4 ? (A )
A. ?20 B. 0 C. 7 D. 40
2 2

?1? 10. 设函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x) ,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? ? ? ,又函数 g ( x) ?| x sin ? x | , ?4?
则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 ? ?

T ? ak

5. 若直线 x ? y ? 1? 0 与圆 ( x ? a) ? y ? 2 有公共点, 则实数 a 取值范围是 ( B ) D. (??,?3] ? [1,??)





k ? k ?1

? 1 ? , 2 上的零点个数为( ? 2 ? ?
C.4

B

) D.3

A.6

B.5

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分
M ? M ?T
W ?W ?T

A. [?3,?1] B. [?3,1] C. [?1,3]

a 11. 在 ?ABC 中, a, b, c 所对的角分别为 A 、 、 , 若 b ? 1 , ? 3 , ? 三边 C B C
1

?
6

, c? 则



6. 某班有 24 名男生和 26 名女生,数据 a1 , a2 ,?, a50 是该 班 50 名学生在一次数学学业水平模拟考试的成绩,下面的 程序用来同时统计全班成绩的平均分: , A 男生平均分: , M 女生平均分: W ;为了便于区别性别,输入时,男生的成 绩用正数,女生的成绩用其成绩的相反数,那么在图中空白 的判断框和处理框中, 应分别填入下列四个选项中的 D ) (

k ? 50?




12. 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1的 渐近线与圆 E : ( x ? 5) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切, r=__. 2 则 3 2

M ?W M ?W A. T ? 0? , A ? B. T ? 0? , A ? 50 50 M ?W M ?W C. T ? 0? , A ? D. T ? 0? , A ? 50 50

M ?

M 24
W 26

W ?

?x ? y ? 4 ? 13. 当 x,y 满足不等式组 ? x ? 4 ? y 时,点(4,8)为目标函数 z ? ax ? 2 y(a ? 0) 取得最大值 ?x ? 4 ?
时的唯一最优解,则实数 a 的取值范围是 。 ?? 2,0?

输出 M ,W , A 7. 我们将底面是正方形,侧棱长都相等的棱锥称为正四棱 结束
1

14. 定 义 新 运 算 a ? b 为 : a ? b ? ?

?a ? ?b ?

b ? a? ? , 例 如 1? 2 ? 1,3 ? 2 ? 2 ? a ? b?
? 2? ? ?1, ? 2 ? ?

,则函数

f ? x ? ? sin x ? cos x 的值域为
*

15. 把数列 {2n ? 1}(n ? N ) ,依次按第 1 个括号一个数,第 2 个括号两个数,第 3 个括号三个 数,第 4 个括号四个数,第 5 个括号一个数,?,循环为(3)(5,7)(9,11,13)(15, , , , 17,19,21)(23)(25,27)(29,31,33)(35,37,39,41)(43) , , , , , ,?,则 2013 是 第 个括号内的数。 403

三.解答题:共 75 分
16. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 若

C A 3 ? c cos 2 ? b . 2 2 2 (Ⅰ)求证: a 、 b 、 c 成等差数列; a cos 2
(Ⅱ)若 ?B ? 60?, b ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

17. (本小题满分 12 分)气象部门提供了某地区今年六月份(30 天)的日最高气温的统计如下: 日最高气温 t(单位:℃ ) t ? 22 ℃ 22 ℃ t ? 28 ℃ ? 28 ℃ t ? 32 ℃ ? t ? 32 ℃ 天数 6 12 X Y 由于工作疏忽,统计表被墨水污染,Y 和 Z 数据不清楚,但气象部门提供的资料显示,六月 份的日最高气温不高于 32 ℃的频率为 0.9 . (1)若把频率看作概率,求 X,Y 的值; (2)把日最高气温高于 32℃称为本地区的“高温天气” ,根据已知条件完成下面 2×2 列联 表,并据此欠是否有 95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关?说明理由。

附: k ?
2

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

2

18. (本小题满分 12 分)如图,已知三棱锥 A-BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 中点,D 为 PB 中点,且△PMB 为正三角形. (1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC; 解:(1)由已知得,MD 是△ABP 的中位线 ∵MD?面 APC,AP?面 APC ∴MD∥面 APC (2)∵△PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点, ∴MD⊥PB,∴AP⊥PB ∵BC?面 PBC ∴BC⊥面 APC 又∵AP⊥PC,PB∩PC=P ∴AP⊥面 PBC 又∵BC⊥AC,AC∩AP=A ∴平面 ABC⊥平面 APC (1)求实数 c,d 的值; (2)若对任意 x ? [1, 2], 均存在t ? (0,1], 使得et ? ln t ? 4 ? f ( x) ? 2 x ,试求实数 b 的取值 范围。 20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d (b ? 0)在x ? 0 处的切线方程为
3 2

∴MD∥AP

2x ? y ? 1 ? 0 ;

∴AP⊥BC ∵BC?面 ABC

x2 y 2 1 19. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 经过 点 B(0, 3) , 且离心率为 , a b 2
右顶点为 A,左右焦点分别为 F1,F2;椭圆 C2 以坐标原点为中心,且以 F1F2 为短轴端,上顶点 为 D。 (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ) C1 与 C2 交于 M 、N 、P 、Q 四点, AD//F2B 若 当 时,求四边形 MNPQ 的面积。

3

又 bn ? 0 , S n ? 0 , ? S n ? S n ?1 ? 1 ; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2 2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2 ……………7 分
当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;当 n ? 1时 b1 ? 1 符合上式

? bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );……………9 分
(2) Tn ?

1 1 1 1 ? ? ??? b1b2 b2 b3 b3b4 bn bn ?1

?

1 ? 1? 1 ?1 1? 1 ?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 3? 2 ? 3 5? 2 ? 5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

1 x 21. (本小题满分 14 分)已知点(1, )是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1)的图象上一点,等 3 比 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 f (n) ? c , 数 列 {bn } (bn ? 0) 的 首 项 为 c , 且 前 n 项 和 S n 满 足
S n ? S n ?1 ? S n ? S n ?1 ( n ? 2 ).
(1)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1? 1 ? n ;……………12 分 ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1
由 Tn ?

n 1000 1000 1000 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112.………14 分 ? 2n ? 1 2009 9 2009

1 1000 } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 的最小正整数 n 是多少? bnbn?1 2009

解: (1)依题意 f ?1? ? a ?

1 ?1? ,? f ? x ? ? ? ? ……………1 分 3 ?3?

x

1 2 a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1? ? c ? ? ? , ? ? ? ? 3 9 2 . a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? ? ? ? ? 27 4 2 a2 2 1 又数列 ? an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ;……………3 分 a3 ? 2 3 3 27
又公比 q ?

2?1? a2 1 ? ,所以 an ? ? ? ? 3?3? a1 3

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n ? N*

;……………4 分

S n ? S n ?1 ?

?

S n ? S n ?1

??

S n ? S n ?1 ? S n ? S n ?1 ?n ? 2?
4

?


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