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志鸿优化设计高2016届高考数学(文)一轮复习课件2


5.3

平面向量的数量积

第五章

5.3

平面向量的数量积 -2-

考纲要求 1.理解平面向量数量积 的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量 积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表 达式,会进行平面向量数 量积的运算. 4.能运用数量积表示两 个向量的夹角,会用数量 积判断两个平面向量的 垂直关系.

题 型

五年考题统计

命题规律 从近五年的 高考试题来看,平 面向量的数量积 是高考的热点,主 要考查平面向量 的数量积的运 算、几何意义、 模与夹角、垂直 问题.

选 择 题 填 空 题

2010 全国,文 2 2011 全国,文 13 2012 全国,文 15 2013 全国Ⅰ,文 13 2014 全国Ⅱ,文 4

第五章
知识梳理 双击自测

5.3

平面向量的数量积 3 -3-

1.平面向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 θ,则数量|a||b|cos θ 叫 作 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a· b ,即 a · b= 任一向量的数量积为 0,即 0· a=0. (2)几何意义:数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积.
|a||b|cos θ

,规定零向量与

第五章
知识梳理 双击自测

5.3

平面向量的数量积 4 -4-

2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为向量 a,b 的夹角. (1)数量积:a· b=|a||b|cos θ= x1x2+y1y2 . 2 2 1 + 1 (2)模:|a|= · = . (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点间的距离 |AB|=||= (1 -2 )2 + (1 -2 )2 . (4)夹角:cos θ=
· ||||

=

12+1 2
2 2 2 2 1 +1 · 2+2

.

(5)已知两非零向量 a 与 b,a⊥b?a· b=0? x1x2+y1y2=0 ;a∥ b ?a · b=± |a||b|. 2 2 (6)|a· b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)?|x1x2+y1y2|≤ 1 + 1 · 2 2 2 + 2 .

第五章
知识梳理 双击自测

5.3

平面向量的数量积 5 -5-

3.平面向量数量积的运算律 (1)a· b=b· a(交换律). (2)λa· b=λ(a· b)=a· (λb)(结合律). (3)(a+b)· c=a· c+b· c(分配律).

第五章
知识梳理 双击自测

5.3

平面向量的数量积 6 -61 2 3 4 5

1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”. (1)两个向量的数量积是一个向量.( ) ) (2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量.( 角.( ) (4)若 a· b=0,则 a=0 或 b=0.( (5)(a· b)· c=a· (b· c).( ) ) (6)若 a· b=a· c(a≠0),则 b=c.( )

(3)若 a· b>0,则 a 和 b 的夹角为锐角;若 a· b<0,则 a 和 b 的夹角为钝

关闭

(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×

答案

第五章
知识梳理 双击自测

5.3

平面向量的数量积 7 -71 2 3 4 5

2.已知|a|=3,|b|=4,且向量 a 与 b 的夹角为 135° ,则 a · b=

.

关闭

a· b=|a|· |b|cos 135° =3×4× -6 2

2 =-6 2. 2

关闭

解析

答案

第五章
知识梳理 双击自测

5.3

平面向量的数量积 8 -81 2 3 4 5

3.设|a|=1,|b|=4,且 a· b=2,则 a 与 b 的夹角为

.

关闭

设 a 与 b 的夹角为 θ. ∵cos θ=
π π ∴θ= 3 3 · 1 = , |||| 2
关闭

解析

答案

第五章
知识梳理 双击自测

5.3

平面向量的数量积 9 -91 2 3 4 5
1 3

4.(2014 江西,文 12)已知单位向量 e1,e2 的夹角为 α,且 cos α= ,若向量 a=3e1-2e2,则|a|= .

关闭
2 2 由题意知|a|2=a2=(3e1-2e2)2=91 +42 -12e1· e2=9+4-12× =9.故|a|=3.

1 3

关闭

3

解析

答案

第五章
知识梳理 双击自测

5.3

平面向量的数量积 10 -101 2 3 4 5

5.已知 a=(2,-1),b=(λ,3),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围 是 .

关闭

由 a· b<0,即 2λ-3<0,解得 λ< . 由 a∥b,得 6=-λ,即 λ=-6.因此 λ< ,且 λ≠-6. 2 3 (-∞,-6)∪ -6, 2
3
关闭

3 2

解析

答案

第五章
知识梳理 双击自测

5.3

平面向量的数量积 11 -111 2 3 4 5

自测点评 1.由于|a||b|cos θ 和|b|cos θ 都是数量,所以 a· b和b在a
方向上的投影都是一个数量,而不是向量. 2.对于两个非零向量 a 与 b,由于当 θ=0° 时 ,a · b>0,所以 a· b>0 是两个向 量 a,b 夹角为锐角的必要而不充分条件;a· b=0 也不能推出 a=0 或 b=0,因为 a· b=0 时,有可能 a⊥b. 3.在实数运算中,若 a,b∈R,则|ab|=|a|· |b|;若 a· b=a· c(a≠0),则 b=c.但对 于向量 a,b 却有|a· b|≤|a|· |b|;若 a· b=a· c(a≠0),则 b=c 不一定成立.原因是 a· b=|a||b|cos θ,都是 cos θ“惹的祸”. 4.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a· b)· c 不一定等于 a· (b· c), 这是由于(a· b)· c 表示一个与 c 共线的向量,而 a· (b· c)表示一个与 a 共线的向 量,而 c 与 a 不一定共线.

第五章
考点一 考点二 考点三

5.3

平面向量的数量积 12 -12-

考点一平面向量数量积的运算
1.已知 a,b 为单位向量,其夹角为 60° ,则(2a-b)· b=( A.-1 B.0 C.1 D.2 )

关闭

由已知得|a|=|b|=1,<a,b>=60° , ∴(2a-b)· b=2a· b-b2=2|a||b|cos<a,b>-|b|2=2×1×1×cos 60° -12=0,故选 B.
关闭

B
解析 答案

第五章
考点一 考点二 考点三

5.3

平面向量的数量积 -13-

2.已知 a=(1,2),2a-b=(3,1),则 a· b=( A.2 B.3 C.4

) D.5

关闭

∵a=(1,2),2a-b=(3,1), ∴b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3).
关闭

D ∴ a· b=(1,2)· (-1,3)=-1+2×3=5.
解析 答案

第五章
考点一 考点二 考点三

5.3

平面向量的数量积 -14-

3.(2014 重庆,文 12)已知向量 a 与 b 的夹角为 60° ,且 a=(-2,-6),|b|= 10, 则 a· b= .

关闭

由题意得|a|=2 10, 所以 a· b=|a||b|cos<a,b>=2 10 × 10 × =10. 2 10
1
关闭

解析

答案

第五章
考点一 考点二 考点三

5.3

平面向量的数量积 -15-

4.已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 ,若向量 b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则 b1· b2= .

π 3

关闭

b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,
2 2 则 b1· b2=(e1-2e2)· (3e1+4e2)=31 -2e1· e2-82 .

因为 e1,e2 为单位向量,<e1,e2>= , 所以 b1· b2=3-2× -8=3-1-8=-6. 2 -6
1
关闭

π 3

解析

答案

第五章
考点一 考点二 考点三

5.3

平面向量的数量积 -16-

方法总结 向量数量积的两种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即 a· b=|a||b|cos<a,b>; (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=x1x2+y1y2.

第五章
考点一 考点二 考点三

5.3

平面向量的数量积 -17-

考点二平面向量数量积的性质
考情分析 平面向量数量积的性质是高考考查的重点和热点,运用
两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题,解题时应灵活选择相应 公式求解.

类型一 平面向量的模
在△ABC 中,若∠A=120° , · =-1,则| |的最小值是( A. 2 B.2 C. 6 D.6 )

关闭

∵ · =-1, ∴| |· | |cos 120° =-1,即| |· | |=2. ∴||2=| ? |2= 2 -2 · + 2 ≥2| |· | |-2 · =6, ∴ ||min= 6. C
关闭

解析

答案

第五章
考点一 考点二 考点三

5.3

平面向量的数量积 -18-

类型二 平面向量的夹角
a+2b 的夹角的余弦值等于( A.
1 26

(1)若平面向量 a 与平面向量 b 的夹角等于 ,|a|=2,|b|=3,则 2a-b 与 B.1 26

) C.

π 3

(2)(2014 四川,文 14)平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,则 m= .
解析:(1)记向量 2a-b 与 a+2b 的夹角为 θ, 又(2a-b)2=4×22+324×2×3×cos =13,(a+2b)2=22+4×32+4×2×3×cos =52,(2a-b)· (a+2b)=2a23 3 2 2b +3a· b=8-18+9=-1, 故 cos θ=
(2-)·(+2) 1 =- , |2-|·|+2| 26 π π

1 12

D.-

1 12

即向量 2a-b 与 a+2b 的夹角的余弦值是- ,故选 B.

1 26

第五章
考点一 考点二 考点三

5.3

平面向量的数量积 -19-

(2)∵a=(1,2),b=(4,2), ∴c=ma+b=(m+4,2m+2). 又∵c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角, ∴cos<c,a>=cos<c,b>,
· · · · = ,即 = , |||| |||| || || +4+4+4 4+16+4+4 ∴ = , 5|| 20|| 5+8 8+20 ∴ = , 5 20



∴10m+16=8m+20,∴m=2. 答案: (1)B (2)2

第五章
考点一 考点二 考点三

5.3

平面向量的数量积 -20-

类型三 平面向量的垂直问题
已知 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(0<α<β<π). (1)求证:a+b 与 a-b 互相垂直; (2)若 ka+b 与 a-kb 的模相等,求 β-α 的值(其中 k 为非零实数).
(1)证明:∵(a+b)· (a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2 =(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0, ∴a+b 与 a-b 互相垂直.

第五章
考点一 考点二 考点三

5.3

平面向量的数量积 -21-

(2)解:ka+b=(kcos α+cos β,ksin α+sin β), a-kb=(cos α-kcos β,sin α-ksin β), |ka+b|= 2 + 2kcos(-) + 1, |a-kb|= 1-2cos(-) + 2 . ∵|ka+b|=|a-kb|, ∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α). 又 k≠0,∴cos(β-α)=0. ∵0<α<β<π,∴0<β-α<π, ∴β-α= .
π 2

第五章
考点一 考点二 考点三

5.3

平面向量的数量积 -22-

方法总结 1.利用数量积求解长度问题的处理方法:
(1)a2=a· a=|a|2 或|a|= · ; (2)|a± b|= ( ± )2 = 2 ± 2a· b + 2 .

(3)若 a=(x,y),则|a|= 2 + 2 . 2.求两非零向量的夹角时要注意:数量积大于 0 说明不共线的两向量的 夹角为锐角,数量积等于 0 说明两向量的夹角为直角,数量积小于 0 且两向 量不能共线时两向量的夹角为钝角. 3.证明或利用两向量的垂直关系时要注意: 数量积的运算 a· b=0?x1x2+y1y2=0.a⊥b 是对非零向量而言的,若 a=0, 虽然有 a· b=0,但不能说 a⊥b.

第五章
考点一 考点二 考点三

5.3

平面向量的数量积 -23-

对点练习 1 若向量 a,b 满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则
|b|=( A. 2 C .1 ∵(a+b )⊥ a,|a|=1,
∴a· b=-1. 又∵(2a+b)⊥b, ∴(2a+b)· b=0.∴2a· b+|b|2=0. ∴ |b|2=2.∴|b|= 2,选 B. B
关闭

) B. 2 D.
2 2
关闭

∴(a+b)· a=0,∴|a|2+a· b=0,

解析

答案

第五章
考点一 考点二 考点三

5.3

平面向量的数量积 -24-

对点练习 2 (2014 湖北,文 12)若向量=(1,-3),||=| |, ·
=0,则||= .

关闭

设 B(x,y),由||=||,可得 10 = · =x-3y=0,② 由①②得 x=3,y=1 或 x=-3,y=-1,

2 + 2 ,①

所以 B(3,1)或 B(-3,-1), 2 5 故 =(2,4)或 =(-4,2),| |=2 5,故答案为 2 5.

关闭

解析

答案

第五章
考点一 考点二 考点三

5.3

平面向量的数量积 -25-

考点三平面向量数量积的应用
在矩形 ABCD 中,AB=1,AD= 3,P 为矩形内一点,且 AP= ,若 =λ+μ(λ,μ∈R),则 λ+ 3μ 的最大值为( A.
3 2 3 2

) D.
6+3 2 4
关闭

B.

6 2

C.

3+ 3 4

因为 =λ +μ , 所以| |2=|λ +μ |2.
3 所以 2 3 4
2

=λ2| |2+μ2| |2+2λμ · .
3 4

因为 AB=1,AD= 3,AB⊥AD, 所以 =λ2+3μ2.又 =λ2+3μ2≥2 3λμ,
3 3 3 4 4 2 B λ+ 3μ 的最大值为 26,当且仅当 λ= 46,μ= 42时取等号. 所以

所以(λ+ 3μ)2= +2 3λμ≤ + = .

3 4

关闭

解析

答案

第五章
考点一 考点二 考点三

5.3

平面向量的数量积 -26-

方法总结 平面向量的数量积作为中学数学知识的一个交汇点,成
为联系多项内容的桥梁,特别是在函数、三角函数、不等式、平面解析几何 问题上的研究,更是体现了向量的工具价值.向量的坐标表示,使平面向量与 直角坐标系中的点建立了一一对应的关系,构建了用“数”的运算处理“形” 的问题的一种新模式.

第五章
考点一 考点二 考点三

5.3

平面向量的数量积 -27-

对点练习 已知向量 a=(x+1,1),b=(1,y-2),且 a⊥b,则 x +y
2

2

的最小

值为( A.
1 3

) B.
2 3

C.

1 2

D.1

关闭

a⊥b,∴a· b=0,即 x+1+y-2=0,整理得 x+y=1,
1 ∴x +y =x +(1-x) =2x -2x+1=2 2 1 C ∴ x2+y2 的最小值为 . 2
2 2 2 2 2

2

+ ≥ ,

1 2

1 2

关闭

解析

答案

第五章
思想方法 核心规律

5.3

平面向量的数量积 -28-

满分策略

函数思想与数形结合思想在数量积中的应用
求向量夹角与模的范围问题经常应用函数思想与数形结合思想.模的 最值问题多采用将其表示为某一变量或某两个变量的函数, 利用求函数值 域的方法确定最值, 体现了函数思想的运用, 又多与二次函数与均值不等式 相联系; 求向量夹角的范围问题, 根据条件, 利用向量的线性运算的几何意义, 依据图形通过数形结合确定夹角的范围.

第五章
思想方法 核心规律

5.3

平面向量的数量积 -29-

满分策略

设 e1,e2 为单位向量,非零向量 b=xe1+ye2,x,y∈R.若 e1,e2 的夹角为 ,则 的最大值等于 答案:2 解析:因为 b≠0,所以 b=xe1+ye2,x≠0,y≠0. 又|b| =(xe1+ye2) =x +y + 3xy, 则
|| ||
2 2 2 2 2 2

π 6

|| ||

.

|| ||

2 2

=

2 x2 +y2 + 3xy

= y2

1

y + 3x+1 2 x
2

,不妨设 =t,



=

1 ,当 t2 + 3t+1

3 t=- 时,t2+ 2

3t+1

1 || 取得最小值 ,此时 2 取得最大值,所以 4 ||

|| 的最大值为 ||

2.

第五章
思想方法 核心规律

5.3

平面向量的数量积 -30-

满分策略

若平面向量 α,β 满足|α|=1,|β|≤1,且以向量 α,β 为邻边的平行四边形的 面积为 ,则 α 与 β 的夹角 θ 的取值范围是 答案:
π 5π , 6 6 1 2

.

解析:如图,向量 α 与 β 在单位圆 O 内,因|α|=1,|β|≤1,且以向量 α,β 为 邻边的平行四边形的面积为 ,故以向量 α,β 为边的三角形的面积为 ,故 β 的终点在如图的线段 AB 上 ∥ AB,且圆心 O 到线段 AB 夹角 θ 的取值范围为
5 , 6 6 1 2 1 4 1 的距离为 2

,因此

.

第五章
思想方法 核心规律

5.3

平面向量的数量积 -31-

满分策略

对点练习 已知 a,b 是单位向量,a· b=0.若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c|的
最大值为( )
关闭
2 2 2 + 2 可看做 由题意 , 不妨令 a = (0,1), b = (1,0), c = ( x , y ), 由 | c-a-b |= 1 得 (x-1) +(y-1) =1,| c |= A. 2-1 B. 2 C. 2+1 D. 2+2

(x,y)到原点的距离,而点(x,y)在以(1,1)为圆心,以 1 为半径的圆上.如图所示,当点(x,y)在位 置 P 时到原点的距离最近,在位置 P'时最远,而 PO= 2-1,P'O= 2+1,故选 C.

关闭

C
解析 答案

第五章
思想方法 核心规律

5.3

平面向量的数量积 -32-

满分策略

1.平面向量的坐标表示与向量表示的比较: 已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 是向量 a 与 b 的夹角.
向量表示 向量 a 的模 a 与 b 的数量积 a 与 b 共线的 充要条件 非零向量 a,b 垂直 的充要条件 向量 a 与 b 的夹角 |a|= · = 2 a· b=|a||b|cos θ a∥b(b≠0)?a=λb a⊥b?a· b=0 cos θ=
· | | | |

坐标表示
2 2 |a|= 1 + 1 a· b=x1x2+y1y2

a∥b?x1y2-x2y1=0 a⊥b?x1x2+y1y2=0 cos θ=
1 2 +1 2
2 + 2 2 + 2 1 1 2 2

2.在数量积的基本运算中,经常用到数量积的定义、模、夹角等公式, 尤其对|a|= · 要引起足够重视,是求距离常用的公式. 3.已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程,通过解方程求出 其中的参数值.

第五章
思想方法 核心规律

5.3

平面向量的数量积 -33-

满分策略

1.|a· b|≤|a|· |b|当且仅当 a∥b 时等号成立.这是因为|a· b|=|a|· |b|· |cosθ|,而 |cosθ|≤1. 2.两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是 a· b=0,两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是 a· b=± |a||b|. 3.两向量的夹角为锐角?cosθ>0 且 cosθ≠1. 4.一些常见的错误结论: (1)若|a|=|b|,则 a=b;(2)若 a2=b2,则 a=b;(3)若 a∥b,b∥c,则 a∥c;(4)若 a· b=0,则 a=0 或 b=0;(5)|a· b|=|a|· |b|;(6)(a· b)c=a(b· c);(7)若 a· b=a· c,则 b=c.以 上结论都是错的.

请做《考点规范练 26》


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