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2012高一数学学案 1.1.2 集合间的基本关系


1.1.2

集合间的基本关系

学习目标 了解子集、真子集、空集的概念,掌握用 Venn 图表示集合的方法,通过子集理解两集 合相等的意义. 自学导引 1.一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素, 我们就说这两个集合有包含关系, 称集合 A 为集合 B 的子集, 记作 A?B(或 B?A), 读作“A 含于 B”(或“B 包含 A”). 2.如果集合 A 是集合 B 的子集(A?B),且集合 B 是集合 A 的子集(B?A),此时,集合 A 与集合 B 中的元素是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,记作 A=B. 3. 如果 A?B, 但存在元素 x∈B, x?A, 且 我们称集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A? B(或 B? A). 4.不含任何元素的集合叫做空集,记作?. 5.空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.

一、写出给定集合的子集 例 1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集; (2)填写下表,并回答问题. 原集合 子集 子集的个数 ? {a.} {a,b} {a.,b,c} 由此猜想:含 n 个元素的集合{a1,a2,?,an}的所有子集的个数是多少?真子集的个 数及非空真子集数呢? 解 (1)不含任何元素的集合:?; 含有一个元素的集合:{0},{1},{2}; 含有两个元素的集合:{0,1},{0,2},{1,2}; 含有三个元素的集合:{0,1,2}. 故集合{0,1,2}的所有子集为?,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}. 其中除去集合{0,1,2},剩下的都是{0,1,2}的真子集. (2) 原集合 子集 子集的个数 1 ? ? {a} ?,{a } 2

4 ?, }, {a. {b}, {a, b}. ?, }, {a. {b}, {c}, {a.,b},{a.,c}, 8 {a.,b,c} {b,c},{a. ,b,c} 这样,含 n 个元素的集合{a1,a2,?,a.n}的所有子集的个数是 2n,真子集的个数是 2n -1,非空真子集数是 2n-2. 点评 (1)分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分, 遵循由少到多的原则,做到不重不漏. (2)集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 有 2n 个子集,有(2n-1)个真子集,(2n-1)个非空子 集,(2n-2)个非空真子集. 变式迁移 1 已知集合 M 满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5},写出集合 M. 解 由已知条件知所求 M 为:{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5}, {1,2,4,5},{1,2,3,4,5}. {a.,b}

二、集合基本关系的应用 例 2 已知集合 A={x|1<ax<2},B={x||x|<1},满足 A?B,求实数 a 的取值范围. 分析 对参数进行讨论,写出集合 A、B,让其满足 A?B,求 a 的值. 解 (1)当 a=0 时,A=?,满足 A?B. (2)当 a>0 时,A= ? x |

? ?

1 ?x? a

2? ?. a?

?1 ? a ? ?1 ? ∵A?B,∴ ? ?2 ? 1 ?a ?
∴a≥2 (3)当 a.<0 时,A= ? x | ∵A?B,∴ ?

?2 ?a

2 1? ? x ? ?. a a? 1 ? ?1 a ?1

? ?

∴a≤-2. 综合(1)(2)(3)知,a 的取值范围{a|a≤-2 或 a=0 或 a≥2}. 点评 对集合 A 分类讨论是解决此类题目的关键,注意不要忽视对 A=?的讨论. 变式迁移 2 已知 A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx=1},若 B? A,求实数 m 所构成的 集合 M. 解 由 x2-5x+6=0 得 x=2 或 x=3. ∴A={2,3} 由 B? 知 B=?或 B={2}或 B={3} A 若 B=?,则 m=0; 1 若 B={2},则 m= ; 2 1 若 B={3},则 m= . 3

1 1? ? ∴M=?0,2,3?.
? ?

三、集合相等关系的应用 例 3 已知集合 A={2,x,y},B={2x,2,y2}且 A=B,求 x,y 的值. 解 方法一 ∵A=B ∴集合 A 与集合 B 中的元素相同 ?x=2x ?x=y2 ? ? ? ∴? , 2 或 ? ? ?y=y ?y=2x
?x=0 ?x=0 ? ? 解得 x,y 的值为? 或? 或 ? ? ?y=0 ?y=1

?x=4 ? 1 ?y=2
1

验证得,当 x=0,y=0 时, A={2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾,舍去. 1 x= ?x=0 4 ? ∴x,y 的取值为? 或 1 ? ?y=1 y= 2

? ? ?

方法二 ∵M=N,∴M、N 中元素分别对应相同. ?x+y=2x+y2, ? ∴? ? y=2x· , y2 ?x·
? ① ?x+y(y-1)=0, 即? ?xy(2y-1)=0. ② ? ∵集合中元素互异,∴x、y 不能同时为 0. 1 ∴y≠0.由②得 x=0 或 y= . 2 当 x=0 时,由①知 y=1 或 y=0(舍去); 1 1 当 y= 时,由①得 x= . 2 4 1 x= , ?x=0, 4 ? ∴? 或 1 ? ?y=1, y= 2

? ? ?

点评 集合相等则元素相同,但要注意集合中元素的互异性,防止错解. 变式迁移 3 含有三个实数的集合可表示为 ?a, b. 解 ∴ 由集合相等得:0∈ ?a,

? b ? ,1? ,也可表示为{a2,a+b,0},求 a., ? a ?

? b ? ,1? ,易知 a≠0, ? a ?

b =0,即 b=0,∴a2=1 且 a.2≠a. a

∴a.=-1. 综上所述:a=-1,b=0.

1.元素、集合间的关系用符号“∈”或“?”表示,集合、集合间的关系用“?”、 ”、“=”或“? ”等表示. 2.在特定的情况下集合也可以作为元素,如集合 B={?,{0},{1},{0,1}},则此时 {1}∈B?而不能是{1}? B. 3.解集合关系的问题时还需注意以下几个方面: (1)当 A?B 时,A=B 或 A? B. (2)判断两个集合间的关系:①用列举法表示两个集合再判断;②分类讨论. (3)解数集问题学会运用数轴表示集合. (4)集合与集合间的关系可用 Venn 图直观表示. “?

一、选择题 1.下列命题 ①空集没有子集; ②任何集合至少有两个子集; ③空集是任何集合的真子集; ④若?? 时,则 A≠?, A 其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 解析 仅④是正确的. 2.已知集合 A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3<x<5},则能使 A?B 成立的实数 a.的取值 范围是( ) A.{a|3<a≤4} B.{a|3≤a≤4} C.{a|3<a<4} D.? 答案 B 解析 结合数轴

由图可知

?b=(a-1) . ?-1≤3 ∵A?B,∴? b=(a-1) . ?+2≥5 ?
2

2

∴3≤a≤4 3.设 B={1,2},A={x|x?B},则 A 与 B 的关系是( ) A.A?B B.B?A C.A∈B D.B∈A 答案 D 解析 ∵B 的子集为{1},{2},{1,2},?, ∴A={x|x?B}={{1},{2},{1,2},?},∴B∈A. n ? ? 4.若集合 A={x|x=n,n∈N},集合 B=?x|x=2,n∈Z?,则 A 与 B 的关系是( ? ? A.A? B.A? C.A=B D.A∈B B B 答案 A

)

5.在以下六个写法中:①{0}∈{0,1};②??{0} ;③{0,-1,1}?{-1,0,1};④0∈?; ⑤Z={正整数};⑥{(0,0)}={0},其中错误写法的个数是( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 答案 B 二、填空题 6.若 B={0,1,2,3,4,7,8},C={0,3,4,7,9},则满足 A?B,A?C 的集合 A 有________个. 答案 16 7.设 M={x|x2-1=0},N={x|ax-1=0},若 N?M,则 a 的值为________. 答案 ± 或 0 1 8 . 若 {x|2x - a = 0 , a∈N} ? {x| - 1<x<3} , 则 a 的 所 有 取 值 组 成 的 集 合 为 ________________. 答案 {0,1,2,3,4,5} 三、解答题 9.设集合 A={1,a,b},B={a,a2,ab},且 A=B,求实数 a、b 的值. 解 ∵A=B 且 1∈A,∴1∈B. 若 a=1,则 a2=1,这与元素互异性矛盾,∴a≠1. 若 a2=1,则 a=-1 或 a=1(舍). ∴A={1,-1,b},∴b=a. b=-b,即 b=0. 若 ab=1,则 a2=b,得 a3=1,即 a=1(舍去). 故 a=-1,b=0 即为所求. 10.设集合 A={x|x2-5x+6=0},B={x|x2-(2a+1)x+a2+a=0},若 B?A,求 a 的 值. 解 方法一 A={x|x2-5x+6=0}={2,3}, 由 B?A,得 B=?,或 B={2},或 B={3},或 B={2,3}, 因为 Δ=(2a+1)2-4a. 2 -4a=1>0, 所以 B 必不为空集. 当 B={2}时,需 2a+1=4 和 a2+a=4 同时成立,不存在 a. 的值. 当 B={3}时,需 2a+1=6 和 a2+a=9 同时成立,不存在 a 的值. 当 B={2,3}时,需 2a+1=5 和 a2+a. =6 同时成立, 所以 a=2. 综上所述:a=2. 方法二 A={x|x2-5x+6=0}={2,3}, B={x|x2-(2a+1)x+a2+a=0} ={x|(x-a.)(x-a-1)=0}={a,a+1}, 因为 a≠a+1,所以当 B?A 时, 只有 a=2 且 a+1=3. 所以 a=2.


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