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第八章 一元一次不等式 Microsoft Word 文档 (2)


第8章

一元一次不等式

8.1 认识不等式
教学目标: 教学目标 1、知识与技能: (1) 通过对实际问题数量的分析,引入不等式概念,使学生了解不等式及解的 意义。 (2) 使学生进一步理解归纳和类比的数学思想方法。 2、过程与方法: (1)让学生充分感受生活中存在着大量不等关系,初步体会不等式和等式都刻 画了现实世界中的数量关系,都是研究量与量之间关系的重要模型。 (2)使学生经历由实际问题建立等式模型的过程,发展学生的符号感和数学化 的能力,培养学生观察问题、发现问题、解决问题的能力。 3、情感态度与价值观: 通过学生所熟悉的实际问题引入不等式的概念,体现了数学的价值观,激发学生 的学习兴趣。 教学重点: 教学重点: 不等式及其解的意义。 教学难点: 教学难点: 含有未知数的不等式的解的理解。 教学过程: 教学过程: 一、复习引入 某班学生去世纪公园。世纪公园的票价是:每人 5 元;一次购票满 30 张, 每张可少收 1 元。怎么买票合算? 二、探索新知 问题 1 世纪公园的票价是:每人 5 元;一次购票满 30 张,每张可少收 1 元。某班 有 27 名少先队员去世纪公园进行活动。当领队王小华准备好了零钱到售票处买 27 张票时,爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华,提议买 30 张票。但有的同学不 明白,明明我们只有 27 个人,买 30 张票,岂不是“浪费”吗? 那么,究竟李敏的提议对不对呢?是不是真的“浪费”呢? 我们不妨一起来算一算: 买 27 张票,要付款 5×27=135(元) 买 30 张票,要付款 4×30=120(元) 显然 120<135 这就是说,买 30 张票比买 27 张票付款要少,表面上看是“浪费”了 3 张票, 而实际上反而节省了。 当然,如果去世纪公园的人数较少(例如 10 个人) ,显然不值得去买 30 张 票,还是按实际人数买票为好。现在的问题是:至少要有多少人去世纪公园,多 买票反而合算呢? 探索
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我们一起来分析上面提出的问题。 设有 x 人要进世纪公园,如果 x≧30,显然按实际人数买票,每张票只要付 4 元。如果 x<30,那么: 按实际人数买票 x 张,要付款 5x(元) 买 30 张票,要付款 4×30=120(元) 如果买 30 张票合算,那么应有 120<5 x 现在的问题就是:x 取哪些数值时,上式成立? 前面已经算过,当 x=27 时,上式成立。让我们再取一些值试一试,将结果 填入下表。 5x 比较 120 与 5 x 的大小 120< 5 x x 21 105 120>5 x 不成立 22 23 24 25 26 27 135 120<5x 成立 … … … … 由上表可见,当 x=___________时,不等式 120<5x 成立。也就是说,少于 30 人时,至少要有_____人进公园时,买 30 张票反而合算。 概括 像上面出现的 120<135,x<30,120<5x 那样用不等号“<”或“>”表示不等 关系的式子,叫做不等式。 不等式。 不等式 不等式 120<5x 中含有未知数 x。 能使不等式成立的未知数的值, 叫做不等式 不等式 的解。 的解。 如上例中,x=25,26,27,…都是不等式 120<5x 的解,而 x=24,23,22, 21 则不是它的解。 例 用不等式表示: (1)x 的一半小于-1 (2)y 与 4 的和大于 0.5 (3)a 是负数; (4)b 是非负数; 1 解: (1) x<-1 2 (2)y+4>0.5 (3)a<0 (4)b 是非负数,就是 b 不是负数,它可以是正数或零,即 b>0 或 b=0,通常 可表示成 b≥0。 三、巩固练习 P42 练习 1、2、3 四、小结 本节课结合实际问题给出了不等式及其解的概念。 现实世界中大量存在着数 量间的不等关系,比较量的大小,研空它们的变化规律,是人们在工作和生活中
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解决实际问题的需要,因此,同学们要学好不等式的有关知识。 五、作业布置 P42 习题 8.1 1、2、3

8.2 解一元一次不等式 1、不等式的解集 、
教学目标: 教学目标: 1、知识与技能: (1)使学生理解不等式的解集的含义,明确不等式的解是在某范围内的所有数。 (2)通过学习数轴表示不等式的解集,使学生感受到数形结合的作用。 2、过程与方法: 让学生经历实验、观察、分析、概括过程,自主探索不等式的解集等概念,培养 学生的思维能力。 3、情感态度与价值观: 培养学生与他人合作学习的习惯。 教学重点: 教学重点: 不等式的解集。 教学难点: 教学难点: 对不等式解集含义的理解。 教学过程: 教学过程: 一、复习提问 1、什么是不等式? 2、什么是不等式的解? 二、探索新知 实验:将如下重量的法码分别放入天平的左边。

请大家仔细观察,哪些砝码放入天平左边后能使天平向左边倾斜? 如果砝码重 x 克, 要使 x+2>5, 天平左边放入 x 克砝码后使天平向左边倾斜。 即: 那么这样的 x 应取什么数?这样的数是有限个还是无限个? 通过实验、讨论、交流、归纳得到:大于 3 的每一个数都是不等式 x+2>5 的解,而小于 3 的每一个数都不是不等式 x+2>5 的解。因此不等式 x+2>5 的解 有无限多个,它们组成集合,称为不等式 x+2>5 的解集。 由实例概括出不等式解集以及解不等式的概念:一个不等式的所有解,组成 这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集 不等式的解集。 不等式的解集

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求出不等式的解集。求不等式的解集的过程,叫做解不等式 解不等式。 解不等式 不等式 x+2>5 的解集,可以表示成 x>3,它也可以在数轴上直观地表示出来, 如图 8.2.1 所示。

同样,如果某个不等式的解集为 x≤-2,也可以在数轴上直观地表示出来, 如图 8.2.2 所示。 说明:图 8.2.1 在表示 3 的点画空心圆圈,表示不包括这一点,表示大时应往右 拐;图 8.2.2 在表示-2 的点画黑点表示包括这一点,表示小时应向左拐。 三、巩固练习 P44 练习 1、2 四、小结 1、什么叫做不等式的解集?它与方程的解有何区别? 2、用数轴表示不等式的解集有什么优点?用数轴表示不等式解集时应该注意哪 些问题? 五、作业布置 P49 习题 8.2 2

2、不等式的简单变形(一) 、不等式的简单变形(
教学目标: 教学目标 1、知识与技能: (1)使学生理解和掌握不等式的基本性质 1。 (2)会用不等式的基本性质 1 将不等式变形,并渗透类比思想方法。 2、过程与方法: 让学生经历实验和探索不等式性质 1 的过程,培养学生观察,分析、归纳能力。 3、情感态度与价值观: 通过合作、交流,使学生感受合作、交流带来的好处。
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教学重点: 教学重点: 运用不等式基本性质 1 对不等式进行变形。 教学难点: 教学难点: 不等式基本性质 1 对不等式进行变形。 教学难点: 教学难点: 不等式基本性质 1 的应用。 教学过程: 教学过程: 一、复习提问 1、什么叫不等式? 2、什么叫不等式的解? 3、不等式的解与解不等式有何区别? 4、不等式的解与方程的解有何区别? 5、方程有哪些简单变形? 二、探索新知 提出问题:一个倾斜的天平两边分别放有重物,其质量分别为 a 和 b(显然 a>b) ,如果在
两边盘内分别加上等量的砝码 c, 请同学们猜一猜天平会发生什么变化?如果再把砝码 c 拿 出来呢?

通过实验操作验证,归纳得到: 不等式的性质 1:如果 a>b,那么 a+c>b+c,a-c>b-c 注意:a、b、c 可以是数字,也可以是字母。 提问:你能用文字语言加以叙述吗? 让学生思考后回答,得出结论:不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一 个整式,不等号的方向不变。 例 1 解不等式: (1)x-7<8 (2)3x<2x-3 解: (1)不等式的两边都加上 7,不等式的方向不变,所以 x-7+7<8+7, 得 x<15 (2)不等式的两边都减去 2x(即加上-2x) ,不等号的方向不变,所以 3x-2x<2x-3-2x 得 x<-3 提问: 这里的变形, 与方程变形中的移项相类似, 你能说出不等式变形的 “移项” 该怎么进行吗? 相当于 x-7<8 得 x<8+7 3x<2x-3 得 3x-2x<-3 这就是说,解不等式也可以“移项” ,即把不等式一边的某项变号后移到另一边, 不改变不等号方向。 三、巩固练习 P47 练习 1、2
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四、小结 1、不等式性质 1 的内容是什么? 2、应用不等式性质 1 进行不等式的简单变形,可否采用解方程中的移项方法解 不等式,应注意什么? 五、作业布置 P49 习题 8.2 1.(1)(2)、2

2、不等式的简单变形(二) 、不等式的简单变形(
教学目标: 教学目标: 1、知识与技能: (1) 使学生会用不等式性质 2、3,将不等式进行简单变形。 (2) 通过不等式性质的学习, 使学生感受到 “转化” 思想在数学学习中的运用。 2、过程与方法: 让学生经历不等式性质 2、3 的探索过程,培养学生观察、分析、归纳能力。 3、情感态度与价值观: 让学生积极参与对数学问题的讨论,能从交流中获益,初步形成与他人合作学习 的习惯。 教学重点: 教学重点: 不等式性质 2、3,用不等式性质求解不等式。 教学难点: 教学难点: 不等式性质 3 的准确应用。 教学过程: 教学过程: 一、复习引入 1、叙述不等式的性质 1。 2、如何运用“移项”把不等式进行变形?请举例说明。 二、探索新知 提出问题:我们已经经过实验,得到结论:当不等式的两边都加上(或减去)同 一个数或同一个整式, 不等号的方向不变。 现在要问: 若不等式的两边都乘以 (或 除以)同一个不为零的数,不等式的方向是否也不变呢? 试一试 将不等式 7>4 两边都乘以同一个数,比较所得的数的大小,用“<”或“>” 填空: 7×3_______4×3, 7×2_______4×2, 7×1_______4×1, 7×0_______4×0, 7×(-1)_______4×(-1) , 7×(-2)_______4×(-2) , 7×(-3)_______4×(-3) ,
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……………………………………………… 从中你能发现什么? 概括 不等式的性质 2 如果 a>b,并且 c>0,那么 ac>bc。 不等式的性质 3 如果 a>b,并且 c<0,那么 ac<bc。 这就是说,不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变; 不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。 与解方程一样, 解不等式的过程, 就是要将不等式变形成 x>a 或 x<a 的形式。 例2 解不等式:
1

(1) 2 x>-3; (2)-2x<6。 解: (1)不等式的两边都乘以 2,不等号的方向不变,所以
1 2 x×2>(-3)×2,



x>-6。
1

(2)不等式的两边都除以-2(即乘以- 2 ) ,不等式的方向改变,所以
1 1

-2x×(- 2 )>6×(- 2 ) , 得 x>-3。 提问:这两小题中不等式的变形与方程的什么变形类似? 这里的变形,与方程变形中的“将未知数的系数化为 1”相类似,它依据的是不 等式的性质 2 或 3,要注意不等式两边乘以(或除以)同一个负数时要改变不等 式的方向,这是与解方程系数化为 1 不同的地方。 三、巩固练习 P47 练习 3、4 四、小结 应用不等式性质 1 解不等式可以对照解一元一次方程中的移项; 应用不等式性质 2、3 来解不等式时,要注意区别,特别是不等式两边乘以(或除以)同一个负 数时要改变不等式的方向,不能简单地照搬解方程中未知数系数化 1 的做法。 五、作业布置 (4) 、3 P49 习题 8.2 1.(3)

3.解一元一次不等式 .
教学目标: 教学目标: 1、知识与技能: (1)使学生了解一元一次不等式的概念。 (2)使学生掌握一元一次不等式的解法。 (3)使学生能用一元一次不等式解决简单的实际问题。 2、过程与方法: (1)让学生通过联系方程的基本变形,自主探索解一元一次不等式的一般步骤,
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体会数学学习中比较和转化的作用。 (2)通过自主探索一元一次不等式在实际问题中的应用,感受数学建模思想。 3、情感态度与价值观: 激发学生学习数学的兴趣和热情,培养学生运用数学知识分析问题,解决实际问 题的意识,以及主动探索合作交流的精神。 教学重点: 教学重点: 一元一次不等式的解法。 教学难点: 教学难点: 在实际问题中建立一元一次不等式的数量关系。 教学过程: 教学过程: 一、复习引入 1、不等式的性质有哪些? 2、解不等式的过程,要将不等式变形成什么样的形式? 二、探索新知 提出问题:请同学们观察前面已学过的不等式:x+2>5,x-7<8,3x<2x-3.它们有什 么共同的特点? 观察、思考、交流,归纳得到:它们都只含有一个未知数,且含未知数的式子是 整式,未知数的系数是 1。 具有以上共同点的不等式叫做一元一次不等式。 例 3 解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来: (1) 2x-1<4x+13; (2) 2(5x+3)≤x-3(1-2x). 解: (1)2x-1<4x+13, 2x-4x<13+1, -2x<14, x>-7. 它在数轴上的表示如图 8.2.4.

(2)2(5x+3)≤x-3(1-2x) , 10x+6≤x-3+6x, 3x≤-9, x≤-3. 它在数轴上的表示如图 8.2.5

x+ 4 3 例 4 当 x 取何值时,代数式

3x - 1 2 的值的差大于 1? 与与

3x - 1 x+ 4 3 2 解:根据题意,得 - >1, 2(x+4)-3(3x-1)>6,
40

2x+8-9x+3>6, -7x+11>6, -7x>-5,
5



x< 7

x+ 4 5 3 7 的任何数时,代数式 所以,当 x 取小于

3x - 1 2 的值的差大于 1。 与与

问题 2 在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有 20 道题,对于每一道题,答对 得 10 分,答错或不答扣 5 分,总得分不少于 80 分者通过预选赛。育才中学 25 名学生通过了预选赛,它们分别可能答对了多少道题? 实践与探索 (1) 试解决这个问题 (不限定方法) 你是用什么方法解决的?有没有其他方法? 。 与你的同伴讨论和交流一下。 (2)如果你是利用不等式的知识解决这个问题的,在得到不等式的解集以后, 如何给出原问题的答案?应该如何表述? 三、巩固练习 P48 练习 1、2 P49 练习 1、2 四、小结 1、解一元一次不等式的解题步骤是什么? 2、在解一元一次不等式时应注意什么? 让学生讨论、交流,总结解一元一次不等式的解题步骤: (1)去分母; (2)去括 号; (3)移项; (4)合并同类项; (5)系数化为 1。在解题时应注意正确应用不 等式性质 3,防止不等式变化上的错误。 五、作业布置 P50 习题 8.2 5

8.3 一元一次不等式组(一) 一元一次不等式组(
教学目标: 教学目标 1、知识与技能: (1)了解一元一次不等式组和它的解集的概念。 (2)使学生掌握一元一次不等式组的解法。 (3)会应用数轴确定一元一次不等式组的解集,感受数形结合的作用,逐步熟 悉和掌握数形结合的思想方法。 2、过程与方法: (1)让学生经历通过具体问题抽象出不等式组的过程,即经历知识的拓展过程。 (2)结合实际问题,让学生体会到数学学习的内容是现实的、有意义的、富有 挑战性的。 3、情感态度与价值观:
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让学生体验成功的感受,增强学好数学的信心。 教学重点: 教学重点: 一元一次不等式的概念和它的解法。 教学难点: 教学难点: 确定两个不等式的解集的公共部分。 教学过程: 教学过程: 一、复习引入 1、什么是一元一次不等式? 2、什么是一元一次不等式的解集? 3、求解一元一次不等式有哪些步骤? 4、解下列不等式,并把它的解集在数轴上表示出来。 2 (1)4x-3<1-2x;(x< ) (2)5+2x ≤ 3x-6;(x ≥ 11) 3 1 8+ x (3)3(x-2) >4(x-3);(x<6) (4) x + 1 ≥ ;(x ≤ -2) 2 3 二、探索新知 问题 3 用每分钟可抽 30 吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水,估计积存的污 水不少于 1200 吨且不超过 1500 吨,那么大约需要多少时间才能将污水抽完? 分析:设需要 x 分钟才能将污水抽完,那么总的抽水量为 30x 吨。由题意,积存 的污水在 1200 吨到 1500 吨之间,应有 1200≤30x≤1500 上式实际上包括了两个不等式 30x≥1200 和 30x≤1500 它说明了在这个实际问题中,未知量 x 应同时满足这两个条件。我们把这两个一 元一次不等式合在一起,就得到一个一元一次不等式组 一元一次不等式组: 一元一次不等式组 ① ? 30 X ≥ 1200 , ? ②

? 30 X ≤ 1500 . ? X ≥ 40 , ? ? X ≤ 50 .

分别求这两个不等式的解集,得 ① ②

同时满足不等式①、②的未知数 x 应是这两个不等式解集的公共部分。在数轴上 表示这两个不等式的解集 (图 8.3.1) 可知其公共部分是 40 和 50 之间的数 , (包 括 40 和 50) ,记作 40≤x≤50。这就是所列不等式组的解集。 所提问题的答案为:大约需要 40 到 50 分钟才能将污水抽完。

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概括 几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的不等式组的解集。 解一元一次不等式组,通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式的解 集, 再求出它们的公共部分。 利用数轴可以直观地帮助我们求出不等式组的解集。 例 1 解不等式组: ① ? 3 x ? 1 > 2 x + 1, ? ②

?2 x > 8.

解:解不等式①,得 x>2 解不等式②,得 x>4 在数轴上表示不等式①、②的解集,如图 8.3.2,可知所求不等式组的解集是 x>4

三、巩固练习 P52 练习 1、2、3、4 四、小结 1、什么叫一元一次不等式组? 2、填好下表空格: 不等式组 数轴表示(a<b)

解集

法则

五、作业布置 P54 习题 8.3 1

8.3 一元一次不等式组(二) 一元一次不等式组(
教学目标: 教学目标: 1、知识与技能: (1) 巩固和提高一元一次不等式组的解法。 (2) 应用一元一次不等式组解有关的简单应用题。
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2、过程与方法: 通过对实际问题的探索和交流, 让学生体会到对题意分析和理解是建立数学模型 的基础,并认识到现实世界中的数量关系是错综复杂的。 3、情感态度与价值观: 让学生充分发表意见,并鼓励学生提出不同的解法,培养学生能够与他人交流的 习惯。 教学重点: 教学重点 一元一次不等式的解法和一元一次不等式的简单应用。 教学难点: 教学难点: 确定一元一次不等式的解法和一元一次不等式的简单应用。 教学过程: 教学过程: 一、复习引入 1、什么叫一元一次不等式组? 2、什么叫一元一次不等式组的解集?一元一次不等式组的解法步骤是什么? 3、解下列不等式组:

二、探索新知 例(补充)当 x 取哪些整数时,不等式 2(x+2) <x+5 与不等式 3(x-2)+9>2x 同时 成立? 分析: 先求出两个不等式解集的公共部分, 再由公共部分求出符合条件的整数值。 问题 4 小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板,爸爸体重为 72 千克,坐在跷跷 板的一端;体重只有妈妈一般的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的一端。这时,爸爸 的一端仍然着地。后来,小宝借来一副质量为 6 千克的哑铃,加在他和妈妈坐的 一端,结果,爸爸被高高地跷起。猜猜看,小宝的体重约多少千克(精确到 1 千克)?
问题 1:问题的已知条件有哪些? 问题 2:从跷跷板的状况可以概括出怎样的不等关系? 问题 3:用什么方法可以解决这个问题? 解:设小宝的体重为 x 千克,则妈妈的体重为 2x 千克,根据题意,得:

解这个不等式组,得:

22<x<24 答:小宝的体重在 22 千克至 24 千克之间。 三、巩固练习 P53 练习 1、2、3、4 四、小结: 本节课复习巩固了一元一次不等式组的解法, 在掌握了一元一次不等式组的
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基础上,对应用一元一次不等式组解决有关实际问题进行了探索和研究。我们现 在所学的方程和不等式基本知识只是认识客观世界的基础, 同学们要很好地打好 这个基础,为将来进一步学习估准备。 五、作业布置: P54 习题 8.3 2、3

小结与复习
教学目标: 教学目标: 1、知识与技能: (1) 使学生进一步认识不等式的意义,了解不等式的性质,并能进行简单的应 用。 (2) 使学生进一步理解不等式解集的意义,会解简单的一元一次不等式,并能 在数轴上表示出不等式的解集。 会解由含两个相同未知数的一元一次不等 式组成的不等式组,会利用数轴求出不等式组的解集。体会类比、化归思 想的作用。 (3) 能根据简单的实际问题中的数量关系, 列出一元一次不等式或一元一次不 等式组成的不等式组并求解。能从所找到的不等式解集中,确定符合题意 的解,并根据实际意义检验它是否合理。 2、过程与方法: (1) 使学生经历实际问题中的数量关系的分析、抽象的过程,体会到现实世界 中的各种各样错综复杂的数量关系,有相等关系和不等关系。 (2) 进一步强化学生对数学学习中经历“问题情境---建立模型---回顾拓展”过 程的感受和体会,进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。 (3) 引导学生有目的梳理知识,形成这一章完整的知识体系。 3、情感态度与价值观: 使学生在数学活动中学会总结、归纳,形成反思自己学习过程的意识,积累学习 数学的经验。 教学重点: 教学重点: 一元一次不等式的解法。 教学难点: 教学难点: 一元一次不等式(组)解集的确定;以及不等式的性质的运用。 教学过程: 教学过程: 一、知识结构

二、注意事项 1.不等式的只是源于生活实际。要学会分析现实世界中量与量的不等关系,并
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抽象出不等式。 2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,不等式的变形要注意与方 程的变形相对照,特别是注意不等式的性质 3:当不等式两边都乘以同一个负数 时,不等号要改变方向。 3.将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来,可以加深对一元一次不等式和 一元一次不等式组的解集的理解,也便于直观地得到一元一次不等式组的解集。
三、巩固练习 P55 复习题 2、3、4、5、6、8、9、10 四、作业布置 P55 复习题 1、7、11

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