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浙江省湖州市菱湖中学2018-2019学年高一3月月考数学试题

菱湖中学 2018 学年第二学期 3 月月考 高一数学 注意事项:填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内, 答在试题卷上无效。 卷Ⅰ(共 40 分) 一、选择题(本题 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.) 1.如图,正方形 ABCD 中,点 E、F 分别是 DC、BC 的中点,那么→EF=( ) A.12→AB+12A→D C.-12A→B+12→AD B.-12→AB-12A→D D.12A→B-12→AD 2.与向量 a=(1,1)方向相反的单位向量是( ) A.( 22, 22) B.(- 22,- 22) C.(- 22, 22) D.( 22, 22)或(- 22,- 22) 3.设 a,b 是两个非零向量,下列结论一定成立的是( ) A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ ,使得 a=λ b D.若存在实数 λ ,使得 a=λ b,则|a+b|=|a|-|b| 4.在△ABC 中,a=3,b=5,sinA=13,则 sinB=( ) A.59 B.15 C. 5 3 D.1 5.已知 a·b=-12 2,|a|=4,a 与 b 的夹角为 135°,则|b|=( ) A.12 B.3 C.6 D. 3 3 6.在△ABC 中, sin 2 A ? sin 2 C ? sin2 B ? sin A?sin B ,则角 C 的大小为( ) A. 30° B. 45° C.60° D.120° 7. 点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量→AB在→CD方向上的投影为( ) A.3 2 2 B.3 15 2 C.-3 2 2 D.-3 15 2 8.已知 ?ABC 的三个内角 A, B,C 所对边长分别是 a,b, c ,若 sin B s?in A ?3 a c? ,则角 B sin C a ?b 的大小为( ) A. ? B. ? C. 2? D. 5? 6 3 3 6 9.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 asinA+bsinB=csinC,则△ABC 的形 状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 10.在△ABC 中,设 =2 ,那么动点 M 的轨迹必通过△ABC 的( ) A.垂心 B.内心 C.重心 D.外心 卷Ⅱ(共 110 分) 二、填空题(本题共 7 小题,单空每题 4 分,多空每题 6 分, 分.) 11.(1)已知向量 a,b 满足|a|=1,a·b=-1,则 a·(2a- b)=____ __, (2)如图,正三角形 ABC 边长为 2, 设B→C=2→BD,→AC=3→AE,则A→D·B→E=________. 共 36 12.在△ABC 中,已知 a=3 3 ,c=2,B=150°,则边 b 的长为_____ 及△ABC 的面积等于 . 13.设向量 a,b 满足|a|=|b|=1,且|3a-2b|= ,则 a 与 b 的夹角______;则|2a+3b|=_________. 14.在△ABC 中,A=60°,b=1,S△ABC= 3 ,则 c ? ______,则 a?b?c =_______. sin A ? sin B ? sin C 15.如图,在△ABC 中,AB=AC=2,BC=2 3 ,点 D 在 BC 边 上,∠ADC=45°,则 AD 的长度为________. 16.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3 , A=60°,则 BC 边的长是________. 17.关于平面向量 a,b,c,有下列三个命题: ①若 a·b=a·c,则 b=c; ②若 a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则 k=-3; ③非零向量 a 和 b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 60°; ④在△ABC 中,a=5,b=8,c=7,则 BC ?CA ? ?20 ; 其中真命题的序号为________.(写出所有真命题的序号) 三、解答题(本题共 5 小题,共 74 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 18.(本小题满分 14 分)已知 a ? 1 , b ? 2 ,且 a 与 b 的夹角? 为 600 (1)求 a ? b , (a ? 2b)2 , a ? 3b (2)证明: a ? b 与 a 垂直. 19.(本小题满分 15 分)已知向量 a ? (?3, 2) , b ? (?1, 0) , c ? (2,1) (1)求 a ? 2b ? 3c 的坐标表示; (2)若 a 与 b 的夹角为? ,求 cos? ; (3)若 (?a ? b) ? (c ? 2b) ,求 ? 的值. 20.(本小题满分 15 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 cosC=35. (1)若C→B·C→A=92,求△ABC 的面积; (2)设向量 x=(2sinB2, 3),y=(cosB,cosB2),且 x∥y,求 sin(B-A)的值. 21. (本小题满分 15 分) 如图,在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,∠CAD= ? ,AC= 7 ,cos∠ADB= ? 2 . 42 10 (1)求 sin C 的值. (2)若 BD=5,求△ABD 的面积. 22. (本小题满分 15 分) 设锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且有 b=2asin B. (