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辽宁省铁岭市第一高级中学2014届高三上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案


辽宁省铁岭市第一高级中学 2013—2014 学年高三上学期期中考试试题



学(文科)

时间:120 分钟 满分:150 分 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第 22 题~第 24 题 为选考题,其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.

第I卷
一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设集合 A ? ?2, ln x? , B ? ? x, y? ,若 A ? B ? ?0? ,则 y 的值为( A.0 2.复数 1 ? B.1 C. e D. )

1 e
( )

1 (i 为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 i3
B. (1, ?1) C . ( ?1,1)
( D. 108

A. (1,1)

D. (?1, ?1)


3. S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, a 2 ? a8 ? 6 ,则 S 9 ? A.

27 2

B. 27 )

C. 54

4 .下列说法正确的是( ..

A.命题“ ?x ? R , e x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , e x ? 0 ” B.命题 “已知 x, y ? R ,若 x ? y ? 3 ,则 x ? 2 或 y ? 1 ”是真命题
2 C.“ x 2 ? 2 x ? ax 在 x ? ?1, 2? 上恒成立” ? “ ( x ? 2 x) min ? (ax) max 在 x ? ?1, 2? 上恒成立”

D.命题“若 a ? ?1 ,则函数 f ? x ? ? ax ? 2 x ? 1 只有一个零点”的逆命题为真命题
2

5.设函数 D ( x) ? ?

?1, x为有理数, ?0, x为无理数.

,则 D(x)





A.是偶函数而不是奇函数 C.既是偶函数又是奇函数

B.是奇函数而不是偶函数 D.既不是偶函数也不是奇函数 ( )

6.已知 a ? 3, b ? 4, (a ? b) ? (a ? 3b) ? 33, 则 a 与 b 的夹角为

3 3 ? 7.已知 ? ? ( , ? ) , sin ? ? ,则 tan(? ? ) 的值等 2 5 4 1 1 A. . B. ? . C. 7 . 7 7

( A)

?
6

( B)

?

(C )

?

2? 3
( )

(D)

5? 6

D. ? 7 .
3

8..若 ?

?

2

?? ?

?

2

,?

?

2

?? ?

?

2

, m ? R ,如果有 ? ? sin ? ? m ? 0 , )

?? 3 ? sin ? ? m ? 0 ,则 cos(? ? ? ) 的值为(

A. ? 1

B. 0

C.

1 2

D. 1

9.设 f(x)是定义在 R 上的增函数,且对于任意的 x 都有 f(2—x)+f(x)=0 恒成立.如果实数 m、n

? f (m 2 ? 6m ? 23) ? f (n 2 ? 8n) ? 0 ’则 m2+n2 的取值范围是 ( 满足不等式组 ? m?3 ?
A.(3,7) B.(9,25) C.(13,49) D.(9,49)



10.定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (4) ? 1 , f ' ( x) 为 f (x) 的导函数,已知 y ? f ' ( x) 的图 像 如 图 所 示 , 若 两 个 正 数 a 、 b 满 足 f (2a ? b) ? 1 , 则 ( )

b ?1 的取值范围是 a ?1
Y

1 1 A. ( , ) 5 3
C. ( ,5)

B. (??, ) ? (5,??) D. (??,3)

1 3

1 3

O

X

* 11. 数 列 ?an ? 的 首 项 为 3 , ?bn ? 为 等 差 数 列 且 bn ? an ?1 ? an ( n ? N ) . 若 则 b3 ? ?2 ,

b10 ? 12 ,则 a8 (
(A)0

) (C)8 (D)11

(B)3

12. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f(1)=1, 且 对 任 意 x∈R 都 有 f ?( x) ?

1 ,则不等式 2
( )

f ( x2 ) ?

x2 ? 1 的解集为 2
B.(0,1) C.(1,+∞) D.(-1,1)

A.(1,2)

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷卡的相应位置上 13.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 4 : 3 ,现用分层抽样的方法从该校高中 三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取_____名学生. 14.已知数列{an}中,a1=1,以后各项由公式 an=an-1+ 1 (n≥2,n∈N*)给出,则 a4= n(n-1)

15. ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 2 , OA ? AB ? AC ? 0 且 | OA |?| AB | ,则向量 CA 在 CB 方向上的投影为__ ______ π π π π 1 1 16.已知函数 f(x)=cos x+ x,x∈?-2,2?,sin x0= ,x0∈?-2,2?,那么下面命题中真命 ? ? ? ? 2 2

题的序号是________ ①f(x)的最大值为 f(x0);②f(x)的最小值为 f(x0) π π ③f(x)在?-2,x0?上是增函数;④f(x)在?x0,2?上是增函数 ? ? ? ? 三.解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况, 从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进 行“掷实心球”的项目测试.成绩低于 6 米为不合格,成绩在 6 至 8 米(含 6 米不含 8 米)的 为及格,成绩在 8 米至 12 米(含 8 米和 12 米,假定该市初二学生掷实心球均不超过 12 米) 为优秀.把获得的所有数据,分成 [2, 4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12] 五组,画出的频率分布 直方图如图所示.已知有 4 名学生的成绩在 10 米到 12 米之间. (Ⅰ)求实数 a 的值及参加“掷实心球”项目测试的人数; (Ⅱ)根据此次测试成绩的结果,试估计从该市初二年 级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀 的概率; (Ⅲ)若从此次测试成绩最好和最差的两组男生中随机抽 取 2 名学生再进行其它项目的测试,求所抽取的 2 名学生来自不同组的概率.
0.075 a 0.025 2 4 6 8 10 12
米 频率 组距

频率分布直方图

0.200

0.150

18.(本小题满分 12 分)在 △ABC 中,已知内角 A ? 长为 y . (1) 求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域;

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周 ?

(2)求 y 的最大值.

19.(本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+1<0. 20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) ? ? x 3 ? mx 在 ?0,1? 上是增函数 (1)求实数 m 的取值集合 A. ( 2 ) 当 m 取 值 集 合 A 中 的 最 小 值 时 , 定 义 数 列 ?a n ? ; 满 足 a1 ? 3, 且 a n ? 0 ,

a n ?1 ? ? 3 f ' (a n ) ? 9 ? 2 ,求数列 ?a n ? 的通项公式。

(3)若 bn ? na n ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,求证: S n ? 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x.
2

1 2

(1)当 a ? ?2e 时,求函数 f (x) 的单调区间和极值。 (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ?

2 在[1,4]上是减函数,求实数 a 的取值范围. x

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答 时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,⊙O 交直线 OB 于 E、D, 连结 EC、CD. (Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 tan∠CED=

1 ,⊙O 的半径为 3,求 OA 的长. 2

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线是过点 P (?1,2) ,方向向量为 n ? (?1, 3 ) 的直线,圆方程 ? ? 2 cos(? ? (1)求直线的参数方程 (2)设直线与圆相交于 M , N 两点,求 PM ? PN 的值 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? 2 x ? 1 ? ax ? 5 (a 是常数,a∈R) (Ⅰ)当 a=1 时求不等式 f ( x) ? 0 的解集. (Ⅱ)如果函数 y ? f (x) 恰有两个不同的零点,求 a 的取值范围.

?
3

)

2013—2014 学年度上学期期中考试高三试题

数学(文科)参考答案与评分标准
一.选择题 二.填空题 17. 解: (Ⅰ)由题意可知 (0.2 ? 0.15 ? 0.075 ? a ? 0.025) ? 2 ? 1 ,解得 a ? 0.05 . 所以此次测试总人数为 AABBA 13.20 CDDCC 14.7/4 15. BD

3

16. ①③

4 ? 40 . 0.05 ? 2
……………………4 分

答:此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为 40 人.

(Ⅱ) 由 图 可 知 , 参 加 此 次 “ 掷 实 心 球 ” 的 项 目 测 试 的 初 二 男 生 , 成 绩 优 秀 的 频 率 为

(0.15 ? 0.05) ? 2 ? 0.4 ,则估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”
成绩为优秀的概率为 0.4 . ……………………8 分

(Ⅲ)设事件 A:从此次测试成绩最好和最差的两组男生中随机抽取 2 名学生来自不同组. 由已知,测试成绩在 ? 2, 4 ? 有 2 人,记为 a, b ;在 [10,12] 有 6 人,记为 A, B, C, D . 从这 6 人中随机抽取 2 人有

ab, aA, aB, aC, aD, bA, bB, bC, bD, AB, AC, AD, BC, BD, CD ,共 15 种情况.
事件 A 包括 aA, aB, aC , aD, bA,bB ,bC ,bD , 共 8 种情况. 答:随机抽取的 2 名学生来自不同组的概率为 所以 P ( A) ?

8 . 15

8 . 15

……………………………12 分

18.解: (1) △ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,由 A ?

? 2? . ,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? ? ?


















AC ?

BC 2 3 sin B ? sin x ? 4sin x ? sin A sin ?

AB ?

BC ? 2? ? sin C ? 4sin ? ? x ? .----------------6 分 sin A ? ? ? 2? ? ? 2? ? ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ?
?s ? x ? i ? ? 1 n ? ?x ? 2 ? c xo

因为 y ? AB ? BC ? AC , 所以 y ? 4sin x ? 4sin ?



2







? y ? 4? ? ?

?? ? 5? ? ? ?? ? 4 3 sin ? x ? ? ? 2 3 ? ? x ? ? ?, ?? ? ? ? ? ??
所以,当 x ?

? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 . -----------12 分 ? ? ?

19.(本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+1<0. 解析: 因为 ax2-(a+1)x+1<0? (ax-1)(x-1)<0 (1)当 a=0 时,(ax-1)(x-1)<0? -x+1<0? x>1; 2 分

? 1 (2)当 a<0 时,(ax-1)(x-1)<0? x-a?(x-1)>0 ? ?
1 ? x< 或 x>1;---------------------------- -----6 分 a

? 1 (3)当 a>0 时,(ax-1)(x-1)<0? x-a?(x-1)<0 ? ?
1-a a-1 1 因为 -1= =- a a a a-1 ①当- <0 即 a>1 时, a 1 1 <1,(ax-1)(x-1)<0? <x<1. a a a-1 ②当- =0,即当 a=1 时,不等式的解集为? . a a-1 ③当- >0,即 0<a<1 时, a 1 1 1< ,(ax-1)(x-1)<0? 1<x< ;------------------11 分 a a 综上所述:原不等式的解集为:
? ? 1 当 a<0 时为?x?x<a或x>1 ?; ? ? ? ? 1 ? 当 a=0 时为{x|x>1};当 0<a<1 时为?x?1<x<a ?; ? ? ? ? 1 ? 当 a=1 时为? ;当 a>1 时为?x?a<x<1 ?.------------12 分 ? ? ?

20. (1)因为函数 f (x) 在 ?0,1? 上是增函数 只需 f ( x) ? ?3 x ? m 在 ?0,1? 满足 f ( x) ? 0 恒成立
' 2 '

21. 【解析】 (1)函数 f (x) 的定义域为(0,+∞) 。 当 a ? ?2e 时, f ?( x) ? 2 x ?

2e 2( x ? e )( x ? e ) ? x x

2分

当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下:

x
f ?(x) f (x)

(0, e )
0

e

( e ,??)
+

极小值

? f (x) 的单调递减区间是 (0, e ) ;单调递增区间是 ( e ,??) 。
极小值是 f ( e ) ? 0. 6分

(2)由 g ( x) ? x 2 ? a ln x ?

2 a 2 ,得 g ?( x) ? 2 x ? ? 2 x x x 2 又函数 g ( x) ? x 2 ? a ln x ? 为[1,4]上的单调减函数。 x
则 g ?( x) ? 0 在[1,4]上恒成立, 所以不等式 2 x ? 即a ?

8分

a 2 ? ? 0 在[1,4]上恒成立, x x2

2 10 分 ? 2 x 2 在[1,4]上恒成立。 x 2 设 ? ( x) ? ? 2 x 2 ,显然 ? (x) 在[1,4]上为减函数, x 63 63 所以 ? (x) 的最小值为 ? (4) ? ? . ?a 的取值范围是 a ? ? . 2 2

12 分



1 ? ? 3x ? 6( x ? 2 ), ? 24.解: (Ⅰ) f ( x) ? ? ?? x ? 4( x ? 1 ). ? ? 2 ∴ f ( x) ? 0 的解为 ?x x ? 2或x ? ?4? . ························· 分 ··········· ·········· ··· 5 ·········· ··········· ···
(Ⅱ)由 f ( x) ? 0 得, 2x ?1 ? ? ax ? 5 . ························ 分 ··········· ·········· ·· 7 ·········· ··········· ·· 令 y ? 2 x ? 1 , y ? ?ax ? 5 ,作出它们的图象,可以知道,当 ? 2 ? a ? 2 时, 这两个函数的图象有两个不同的交点, 所以,函数 y ? f (x) 有两个不同的零点. ······················· 分 ······················ 10 ·········· ··········· ·


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