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2015-2016学年高中数学 第2章 4平面向量的坐标课件 北师大版必修4_图文

第二章
平面向量

第二章
§4 平面向量的坐标

1

课前自主预习

3

易错疑难辨析

2

课堂典例讲练

4

课 时 作 业

课前自主预习

三坐标雷达亦称一维电扫描雷达,可获得目标的距离、方 向和高度信息,比其他二坐标雷达(仅提供方位和距离信息的雷 达)多提供了一维高度信息.这使其成为对飞机引导作战的关键 设备.要此类雷达主要用于引导飞机进行截击作战和给武器系 统提供目标指示数据,正如向量,也可以利用平面或空间中的 坐标来表示.平面向量的坐标有何运算规律呢?这就是本节要 学习的内容.

1.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,如图,我们分别取与x轴、y轴方向 相同的两个单位向量i,j作为基底,a为坐标平面内的任意向 → 量,以坐标原点O为起点作 OP =a,由平面向量基本定理可 → 知,有且只有一对实数x,y,使得OP=xi+yj,因此a=xi+yj.

(x,y) 叫作向量a的坐标,记作a= 我们把实数对________ (x,y) ________.

2.平面向量线性运算的坐标表示 (1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),

(x1+x2,y1+y2) ;a-b=_______________. (x1-x2,y1-y2) 则a+b=_______________
即向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的

和与差 . ________ (λx,λy) (2)设a=(x,y),λ∈R,则λa=________.

实数与向量相应坐标 即实数与向量乘积的坐标分别等于 ___________________
的乘积.

→ (x -x ,y -y ) (3)设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=_______________ 2 1 2 1 ,

终点的相应坐标 即一个向量的坐标等于其____________________ 减去 始点的相应坐标 . _________________

3.向量平行的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,那么当且仅当 x1y2-x2y1=0 时,向量a,b(b≠0)共线.由于规定零向量 _______________ 与任何向量平行,所以b≠0的条件可去掉.当x2y2≠0时,向量 x1 y1 a,b共线的条件也可以写作________ x =y .
2 2

即:(1)若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的 坐标成比例. (2)若两个向量相对应的坐标成比例,则它们平行.

→ 1.(2015· 全国卷Ⅰ文,2)已知点 A(0,1),B(3,2),向量AC= → (-4,-3),则向量BC=( A.(-7,-4) C.(-1,4) [答案] A ) B.(7,4) D.(1,4)

[解析] 本题主要考查平面向量的线性运算. → → → BC = BA + AC =(-3,-1)+(-4,-3)=(-7,-4).故 本题正确答案为A.

2.(2014·广东文,3)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a
=( ) A.(-2,1) C.(2,0) [答案] B B.(2,-1) D.(4,3)

[解析] 本题考查向量的坐标运算.
b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1),选B.向量的减法是横坐标 的差作为横坐标,纵坐标的差作为纵坐标.

3 .已知向量 a = (x,5) , b = (5 , x) ,两向量方向相反,则 x
=( ) A.-5 C.-1 [答案] A B.5 D.1

[解析]
知选A.

当两向量对应坐标异号或同为零时方向相反.易

4.已知点A、B、C的坐标分别是(2,-4),(0,6),(- → → → 1→ 8,10),则AB+2BC=__________,BC-2AC=________.

[答案] (-18,18),(-3,-3) → → → [解析] AB=(-2,10),BC=(-8,4),AC=(-10,14),
→ → ∴AB+2BC=(-2,10)+2(-8,4)=(-2,10)+(-16,8)=(- 18,18), 1 → 1→ BC-2AC=(-8,4)-2(-10,14)=(-8,4)-(-5,7)=(-3, -3).

→ 5.已知AB=(1,2),A(3,4),则B点坐标是________.

[答案] (4,6)
[解析] 设B点的坐标为(x,y), → 则AB=(x-3,y-4)=(1,2).
? ?x-3=1, ∴? ? ??y-4=2, ? ?x=4, 解得? ? ?y=6.

∴B点的坐标是(4,6).

课堂典例讲练

求向量的坐标或点的坐标
已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原 点,AB边在x轴上,C在第一象限,D为AC的中点,分别求向 → → → → 量AB,AC,BC,BD的坐标.

[思路分析]

表示出各点的坐标 →

用终点坐标减去始点坐标 → 得相应的向量的坐标

[规范解答]

如图,正三角形ABC的边长为2,则顶点

A(0,0),B(2,0),C(2cos60° ,2sin60° ), 1 3 ∴C(1, 3),D(2, 2 ), → → ∴AB=(2,0),AC=(1, 3), → BC=(1-2, 3-0)=(-1, 3), 1 3 3 3 → BD=(2-2, 2 -0)=(-2, 2 ).

[规律总结]

(1)向量的坐标等于终点的

坐标减去始点的相应坐标,只有当向量的始

点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的
坐标. (2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标,解题时常常结合 几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.如图所示, 设向量a=(a1,a2),a的方向相对于x轴的旋转角为θ,由三角函 数的定义可知a1=|a|cosθ,a2=|a|sinθ.

→ 已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与 AB 相等,其中A(1,2), B(3,2),求x.

→ → [分析] 由于a= AB ,则 AB =(x+3,x2-3x-4).由A,B

→ 的坐标可得AB的坐标,列方程组解得x.

[解析] ∵A(1,2),B(3,2), → → ∴OA=i+2j,OB=3i+2j(i,j为基底), → → → 则AB=OB-OA=2i=(2,0). → ∵a=AB,∴(x+3,x2-3x-4)=(2,0).
? ?x+3=2, ∴? 2 ? ?x -3x-4=0, ? ?x=-1, 解得? ? ?x=-1或x=4,

∴x=-1.

用基底表示的坐标运算
已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和D(-2,3), → → → → → 以AB,AC为一组基底来表示AD+BD+CD.
[思路分析] 求待定的m,n. [规范解答] → → → → → 设 AD + BD + CD =mAB +nAC ,由坐标运算
→ → → ∵ AB =(1,3), AC =(2,4), AD =(-3,5),

→ → BD=(-4,2),CD=(-5,1), → → → ∴AD+BD+CD=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).

→ 根据平面向量基本定理,一定存在实数m,n,使得 AD + → → → → BD+CD=mAB+nAC,∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4),即(-12,8) =(m+2n,3m+4n).
? ?m+2n=-12, 可得? ? ?3m+4n=8, ? ?m=32, 解得? ? ?n=-22.

→ → → → → ∴AD+BD+CD=32AB-22AC.

[规律总结] 定的系数.

用基底a,b表示指定向量p时,可由平面向量

基本定理设p=λa+μb,然后借助于坐标运算列方程(组)求解待

已知 a = (10 ,- 4) , b = (3,1) , c = ( - 2,3) ,试用 b , c 表示
a.
[解析] 设a=λb+μc(λ,μ∈R),则(10,-4)=λ(3,1)

+μ(-2,3)=(3λ,λ)+(-2μ,3μ)=(3λ-2μ,λ+3μ).
? ?3λ-2μ=10, 依题意,得? ? ?λ+3μ=-4, ? ?λ=2, 解得? ? ?μ=-2,

所以a=2b-2C.

向量坐标表示下的共线问题 如 图 所 示 , 已 知 点 A(4,0) ,

B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.
→ → 解法一:设出P点坐标,利用 OP 与 OB 共线,

[思路分析]

→ → AP与AC共线,列出方程组,通过解方程组求得P点坐标. → → 解法二:由 OP 与 OB 共线,用B点坐标表示P点坐标,然后 → → 利用AP与AC共线求解.

[规范解答]

解法一:设点P的坐标为(x,y),

→ → 则OP=(x,y),OB=(4,4). → → ∵OP与OB共线,∴4x-4y=0.① → → → → 又∵AP=(x-4,y),AC=(-2,6),AP与AC共线, ∴6(x-4)+2y=0.② 由①②得x=3,y=3,∴P点坐标为(3,3).

→ → 解法二:设OP=λOB=(4λ,4λ), → → 则AP=(4λ-4,4λ),AC=(-2,6). 3 → → ∵AP与AC共线,∴24λ+8λ=24,λ=4. → ∴OP=(3,3), 即 P 点坐标为(3,3).

[规律总结]

求解直线或线段的交点问题,常规方法为写

出直线或线段对应的直线方程,建立方程组求解,而利用向量 方法借助共线向量可减少运算量,且思想简单明了.

→ → 如果向量 AB =i-2j, BC =i+mj,其中i,j分别是x轴,y 轴正方向上的单位向量,试确定使A,B,C三点共线的实数m 的值. → → [解析] 方法一:∵A,B,C三点共线,即AB,BC共线,
→ → ∴存在实数λ,使得AB=λBC, 即i-2j=λ(i+mj).
? ?λ=1, ∴? ? ?λm=-2.

∴m=-2,即m=-2时,A,B,C三点共线.

方法二:依题意知i=(1,0),j=(0,1), → 则AB=(1,0)-2(0,1)=(1,-2), → BC=(1,0)+m(0,1)=(1,m). → → 而AB,BC共线, ∴1×m-1×(-2)=0. ∴m=-2. 故当m=-2时,A,B,C三点共线.

向量坐标的应用
→ → → 已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)若AP = AB +λ AC (λ∈R),试求λ何值时,点P在第三象限内?

[思路分析]

要判断点P所在的象限,须知P点坐标,为此

→ → → → → → 需求 OP = OA + AP 的坐标.或由 AP = AB +λ AC 找出坐标的关 系,求出P点坐标.

[规范解答]

解法一:设点P的坐标为(x,y).

→ 则AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3). → → AB+λAC=(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)] =(3,1)+λ(5,7)=(3,1)+(5λ,7λ) =(3+5λ,1+7λ),

→ → → ∵AP=AB+λAC, ∴(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ).
? ?x-2=3+5λ ∴? ? ?y-3=1+7λ ? ?x=5+5λ ,∴? ? ?y=4+7λ

.

? ?5+5λ<0 若点P在第三象限内,则? ? ?4+7λ<0



? ?λ<-1 ∴? 4 ,∴λ<-1. λ<-7 ? ?

即当λ<-1时,点P在第三象限内. → → → → → → 解法二:OP=OA+AP=OA+AB+λAC → → =OB+λAC=(5,4)+λ(5,7) =(5+5λ,4+7λ),∴P(5+5λ,4+7λ),
? ?5+5λ<0 ∵点P在第三象限内,∴? ? ?4+7λ<0

,∴λ<-1.

[规律总结]

向量的坐标运算为研究平面上问题带来方

便,拓展了数形结合应用的空间,将几何问题向量化,并由向 量运算的结果解释几何意义.

→ → → 已知点O(0,0)、A(1,2)、B(4,5),向量OP=OA+tAB. (1)t为何值时,点P在x轴上? (2)t为何值时,点P在第二象限? (3)四边形ABPO能否为平行四边形?若能,求出t的值;若 不能,说明理由.

→ → → [解析] ∵OP=OA+tAB=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t), ∴P(1+3t,2+3t). 2 (1)∵P在x轴上,∴2+3t=0即t=-3.
? ?1+3t<0 (2)由题意得? ? ?2+3t>0

2 1 .∴-3<t<-3.

→ → (3)∵AB=(3,3),OP=(1+3t,2+3t). → → 若四边形ABPO为平行四边形,则AB=OP,
? ?1+3t=3 ∴? ? ?2+3t=3

,而上述方程组无解,

∴四边形ABPO不可能为平行四边形.

易错疑难辨析

如果P1,P2,P3三点在同一条直线上,且P1, → |P1P3| P2,P3三点的坐标分别为(3,y),(x,-1),(0,-3), = → |P3P2| 3,求点P1,P2的坐标.

→ |P1P3| [错解] 由 =3,且P1,P2,P3三点共线, → |P3P2| → → 故P1P3=3P3P2,即(-3,-3-y)=3(x,2),
? ?-3=3x, 即? ? ?-3-y=6, ? ?x=-1, 解得? ? ?y=-9.

故P1(3,-9),P2(-1,-1). → |P1P3| [辨析] 由 =3,只说明了两向量模的大小关系而没 → |P3P2|

有说明方向,故两向量的方向有相同或相反两种情况.

[正解]

→ |P1P3| 因为P1,P2,P3三点在同一直线上且 =3, → |P3P2|

→ → → → 则P1P3=3P3P2或P1P3=-3P3P2. 即(-3,-3-y)=3(x,2)或(-3,-3-y)=-3(x,2),
? ?-3=3x, 即? ? ?-3-y=6 ? ?x=-1 解得? ? ?y=-9 ? ?-3=-3x, 或? ? ?-3-y=-6. ? ?x=1, 或? ? ?y=3.

故P1,P2的坐标为P1(3,-9),P2(-1,-1)或P1(3,3), P2(1,-1).

[规律总结]

两非零向量a,b共线,则它们的方向有相同

或相反两种情况,求解时可能会漏掉一种情况而导致错误.