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高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解


定积分与微积分基本定理习题
一、选择题 1. a=?2xdx,b=?2exdx,c=?2sinxdx,则 a、b、c 的大小关系是( ? ? ?
0 0 0

) D.c<a<b

A.a<c<b

B.a<b<c

C.c<b<a )

2.由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积为(

练习、设点 P 在曲线 y=x2 上从原点到 A(2,4)移动,如果把由直线 OP,直线 y=x2 及直线 x=2 所围成的面积分别记作 S1, S2.如图所示, 当 S1=S2 时, 点 P 的坐标是( 4 16? A.? ?3, 9 ? 4 16? B.? ?5, 9 ? 4 15? C.? ?3, 7 ? 4 13? D.? ?5, 7 ? ) )

3.由三条直线 x=0、x=2、y=0 和曲线 y=x3 所围成的图形的面积为( A.4 4 B. 3 18 C. 5 ) C.2+2cos1 ) D.6

4. ?1-1(sinx+1)dx 的值为( ? A.0 B.2

D.2-2cos1

5.曲线 y=cosx(0≤x≤2π)与直线 y=1 所围成的图形面积是( A.2π B.3π 3π C. 2 D.π )

6.函数 F(x)=?x t(t-4)dt 在[-1,5]上(

?0

A.有最大值 0,无最小值 32 C.有最小值- ,无最大值 3

32 B.有最大值 0 和最小值- 3 D.既无最大值也无最小值 )

1 7.已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2+n,函数 f(x)=?x dt,若 f(x)<a3,则 x 的取值范围是( ?t
1

A.?

3 ? ? 6 ,+∞?

B.(0,e21)

C.(e

-11

,e)

D.(0,e11)

8.如图所示,在一个长为 π,宽为 2 的矩形 OABC 内,曲线 y=sinx(0≤x≤π)与 x 轴围成如图所示的阴 影部分, 向矩形 OABC 内随机投一点(该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的), 则所投的点落在阴影部 分的概率是( )

1 A. π

2 B. π

3 C. π

π D. 4

x+2?-2≤x<0? ? ? 9.函数 f(x)=? 的图象与 x 轴所围成的图形面积 S 为( π ? ?2cosx?0≤x≤2? 3 A. 2 B.1 C.4 1 D. 2

)

10.设函数 f(x)=x-[x],其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[-1.2]=-2,[1.2]=1,[1]=1.又函数 x g(x)=- , f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为 m, f(x)与 g(x)的图象交点的个数记为 n, 则?n g(x)dx 的值是( 3 ?
m

)

5 A.- 2

4 B.- 3

5 C.- 4

7 D.- 6

11.甲、乙两人进行一项游戏比赛,比赛规则如下:甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为 b, 乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为 c(b、c 可以相等),若关于 x 的方程 x2+2bx+c=0 有实根, 则甲获胜,否则乙获胜,则在一场比赛中甲获胜的概率为( 1 A. 3 2 B. 3 1 C. 2 3 D. 4 )

12.已知正方形四个顶点分别为 O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),曲线 y=x2(x≥0)与 x 轴,直线 x=1 构成区域 M,现将一个质点随机地投入正方形中,则质点落在区域 M 内的概率是( 1 A. 2 二、填空题 13.已知函数 f(x)=3x2+2x+1,若?1-1f(x)dx=2f(a)成立,则 a=________. 1 B. 4 1 C. 3 2 D. 5 )

?

π 1 14.已知 a=∫ 0(sinx+cosx)dx,则二项式(a x- )6 的展开式中含 x2 项的系数是________. 2 x 15.抛物线 y2=2x 与直线 y=4-x 围成的平面图形的面积为________. 4 16.抛物线 y2=ax(a>0)与直线 x=1 围成的封闭图形的面积为 ,若直线 l 与抛物线相切且平行于直线 3 2x-y+6=0,则 l 的方程为______. 17.已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与 x 轴在原点处相切,且 x 轴与函数 1 图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为 ,则 a 的值为________. 12

三、解答题 18.如图所示,在区间[0,1]上给定曲线 y=x2,试在此区间内确定 t 的值,使图中阴影部分的面积 S1+ S2 最小.

1 1、 [答案] D[解析] a=?2xdx= x2|02=2,b=?2exdx=ex|02=e2-1>2,c=?2sinxdx=-cosx|02=1- 2 ? ? ?
0 0 0

cos2∈(1,2),∴c<a<b. 1 A. 12 1 B. 4 1 C. 3 7 D. 12

2、[答案] A[解析]

2 ? ?y=x ? 由 3 得交点为(0,0),(1,1). ?y=x ?

1 3 1 4?? 1 1 ∴S=?1(x2-x3)dx= ? ?3x -4x ??0 =12. ?
0

t3 练习; [答案] A[解析] 设 P(t,t2)(0≤t≤2),则直线 OP:y=tx,∴S1=?t (tx-x2)dx= ;S2=?2(x2 6 ? ?
0 t

4 16? 8 t 4 , -tx)dx= -2t+ ,若 S1=S2,则 t= ,∴P? 3 9 ?. ? 3 6 3 x4 2 3、[答案] A[解析] S=?2x3dx= 4 ? ?0 =4. ?
0

3

4、[答案] B[解析] ?1(sinx+1)dx=(-cosx+x)|-11=(-cos1+1)-(-cos(-1)-1)=2. ? 5、 [答案] A[解析] 如右图, S=∫02π(1-cosx)dx=(x-sinx)|02π=2π. 6、[答案] B[解析] F′(x)=x(x-4),令 F′(x)=0,得 x1=0,x2 7 32 25 ∵F(-1)=- ,F(0)=0,F(4)=- ,F(5)=- .∴最大值为 0, 3 3 3 - 32 . 3 1 7、[答案] D;[解析] f(x)=?x dt=lnt|1x=lnx,a3=S3-S2=21-10=11,由 lnx<11 得,0<x<e11. ?t
1

=4, 最小值为

8、[答案] A[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形,考虑用定积分求出其面积.由题意得 S=?πsinxdx

?0

S 2 1 =-cosx|0π=-(cosπ-cos0)=2,再根据几何概型的算法易知所求概率 P= = = . S矩形OABC 2π π

π π 9、[答案] C[解析] 面积 S=∫ -2f(x)dx=?0-2(x+2)dx+∫ 02cosxdx=2+2=4. 2 2 ? 10、 [答案] A[解析] 由题意可得,当 0<x<1 时,[x]=0,f(x)=x,当 1≤x<2 时,[x]=1,f(x)=x-1, 所以当 x∈(0,2)时,函数 f(x)有一个零点,由函数 f(x)与 g(x)的图象可知两个函数有 4 个交点,所以 m=1,n x x2 5 - ?dx= - ?14=- . =4,则?n g(x)dx=?4? 3 6 ? ? ? 2 ? ?
m 1

11、[答案] A;[解析] 方程 x2+2bx+c=0 有实根的充要条件为 Δ=4b2-4c≥0,即 b2≥c, 由题意知,每场比赛中甲获胜的概率为 p= 12、[答案] C; 1 1 [解析] 如图,正方形面积 1,区域 M 的面积为 S=?1x2dx= x3|01= ,故所求 3 3 ?
0

b db ? ?0 1 1×1

1 2

= . 3

1 概率 p= . 3 1 13、 [答案] -1 或 ;[解析] ∵?1-1f(x)dx=?1-1(3x2+2x+1)dx=(x3+x2 3 ? ? 1 +x)|-11=4,?1-1f(x)dx=2f(a),∴6a2+4a+2=4,∴a=-1 或 . 3 ? π π π π 14、 [答案] -192;[解析] 由已知得 a=∫ 0(sinx+cosx)dx=(-cosx+sinx)| 0=(sin -cos )-(sin0 2 2 2 2 -cos0)=2,(2 x- 1 6 - - ) 的展开式中第 r+1 项是 Tr+1=(-1)r×C6r×26 r×x3 r,令 3-r=2 得,r=1,故其 x

系数为(-1)1×C61×25=-192. 15、[答案] 18[解析] -y y2 y2 y3 ∴S=?2-4[(4-y)- ]dy=(4y- - )|-42=18. 2 2 6 ?
2 ? ?y =2x y2 由方程组? 解得两交点 A(2,2)、B(8,-4),选 y 作为积分变量 x= 、x=4 2 ?y=4-x ?

2 16、 [答案] 16x-8y+1=0[解析] 由题意知?1 axdx= ,∴a=1, 3 ?
0

1 设 l:y=2x+b 代入 y2=x 中,消去 y 得,4x2+(4b-1)x+b2=0,由 Δ=0 得,b= , 8 ∴l 方程为 16x-8y+1=0. 17、 [答案] -1 [解析] f ′(x)=-3x2+2ax+b,∵f ′(0)=0,∴b=0,∴f(x)=-x3+ax2,令 f(x)=0,得 x=0 或 x= 1 1 a(a<0).S 阴影=-?0(-x3+ax2)dx= a4= ,∴a=-1. 12 12 ?
a

2 18、 [解析] 由题意得 S1=t· t2-?t x2dx= t3, 3 ?
0

2 1 4 1 S2=?1x2dx-t2(1-t)= t3-t2+ ,所以 S=S1+S2= t3-t2+ (0≤t≤1). 3 3 3 3 ?
t

1? 1 又 S′(t)=4t2-2t=4t? ?t-2?,令 S′(t)=0,得 t=2或 t=0. 1 1 因为当 0<t< 时,S′(t)<0;当 <t≤1 时,S′(t)>0. 2 2 1 1 1 1 0, ?上单调递减,在区间? ,1?上单调递增.所以,当 t= 时,Smin= . 所以 S(t)在区间? ? 2? ?2 ? 2 4


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