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普通高中课程标准实验教科书数学必修五[苏教版]

普通高中课程标准实验教科书—数学必修五[苏教版] §3.1 不等关系 教学目标 (1)通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的 实际背景; (2)经历由实际问题建立数学模型的过程,体会其基本方法; (3)掌握作差比较法判断两实数或代数式大小; (4)通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯. 教学重点,难点 (1)通过具体情景,建立不等式模型; (2) 掌握作差比较法判断两实数或代数式大小. 教学过程 一.问题情境 在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比 较,反映在数量关系上就是相等与不等两种情况,例如: (1) 某博物馆的门票每位 10 元,20 人以上(含 20 人)的团体票 8 折优惠.那么不足 20 人时,应该 选择怎样的购票策略? (2)某杂志以每本 2 元的价格发行时,发行量为 10 万册.经过调查,若价格每提高 0.2 元,发行量 就减少 5000 册.要使杂志社的销售收入大于 22.4 万元,每本杂志的价格应定在怎样的范围内? (3)下表给出了三种食物 X , Y , Z 的维生素含量及成本: X Y Z 维生素 A (单位/kg) 300 500 300 维生素 B (单位/kg) 700 100 300 成本(元/kg) 5 4 3 某人欲将这三种食物混合成 100kg 的食品,要使混合食物中至少含 35000 单位的维生素 A 及 40000 单位的维生素 B ,设 X , Y 这两种食物各取 x kg, y kg,那么 x , y 应满足怎样的关系? 2.问题:用怎样的数学模型刻画上述问题? 二.学生活动 在问题(1)中,设 x 人( x ? 20 )买 20 人的团体票不比普通票贵,则有 8 ? 20 ? 10 x . 在问题(2)中,设每本杂志价格提高 x 元,则发行量减少 0.5 ? x 5x ? 万册,杂志社的销售收入为 0.2 2 (2 ? x)(10 ? 5x 5x ) 万元.根据题意,得 (2 ? x)(10 ? ) ? 22.4 , 2 2 化简,得 5x ? 10 x ? 4.8 ? 0 . 2 在 问 题 (3) 中 , 因 为 食 物 X , Y 分 别 为 x kg , y kg , 故 食 物 Z 为 (10 ? x ? y) kg , 则 有 x ? 5 0y 0 ? 3 0 0 (1 ? 0x0? y ? ) ?3 0 0 ? x ? 1 0y 0 ? 3 0 0 (1 ? 0x0? y ? ) ?7 0 0 3 5 0 0? 0y, ? 25, 即? 4 0 0 0? 0 2,x ? y ? 50. 上面的例子表明,我们可以用不等式(组)来刻画不等关系. ?, ?, ?, ? )表示不等关系. 表示不等关系的式子叫做不等式,常用( ? , 三.建构数学 1.建立不等式模型:通过具体情景,对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析,找出其中 的不等关系,并由此建立不等式. 问题(1)中的数学模型为一元一次不等式, 问题(1)中的数学模型为一元二次不等式, 问题(1)中的数 学模型为线形规划问题. 2.比较两实数大小的方法——作差比较法: 比较两个实数 a 与 b 的大小,归结为判断它们的差 a ? b 的符号;比较两个代数式的大小,实 际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判断它们的差的符号. 四.数学运用 1.例题: 例 1. 某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种. 按照生产的要求, 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢? 解:假设截得的 500mm 钢管 x 根,截得的 600mm 钢管 y 根. ?500 x ? 600 y ? 4000, ?3x ? y, ? 根据题意,应有如下的不等关系: ? ?x ? N , ? ? y ? N. 说明:关键是找出题目中的限制条件,利用限制条件列出不等关系. 例 2.某校学生以面粉和大米为主食.已知面食每 100 克含蛋白质 6 个单位,含淀粉 4 个单位; 米饭每 100 克含蛋白质 3 个单位,含淀粉 7 个单位.某快餐公司给学生配餐,现要求每盒至少含 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉.设每盒快餐需面食 x 百克、米饭 y 百克,试写出 x , y 满足 的条件. ?6 x ? 3 y ? 8 ?4 x ? 7 y ? 10 ? 解: x , y 满足的条件为 ? . x ? 0 ? ? ?y ? 0 例 3.比较大小: (1) (a ? 3)(a ? 5) 与 (a ? 2)(a ? 4) ; (2) a?m a 与 (其中 b ? a ? 0 , m ? 0 ) . b?m b 分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并 同类项之后,判断差值正负,并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小. 解: (1) (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4) ? (a2 ? 2a ?15) ? (a2 ? 2a ? 8) ? ?7 ? 0 ∴ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4) . a ? m a b(a ? m) ? a(b ? m) m(b ? a) ? ? ? , b?m b b(b ? m) b(b ? m) a?m a m(b ? a ) ? . ? 0 ,所以 ∵ b ? a ? 0 , m ? 0 ,∴ b?m b b(b ? m) a?m a ? ( b ? a ? 0 , m ? 0 )在生活中可以找到原型: b 克糖水中有 a 克糖 说明:不等式 b?m b (b ? a ? 0) ,若再添加 m 克糖( m ? 0 ) ,

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