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2016高中数学精讲优练课型第二章基本初等函数(I)2.3幂函数课件新人教版必修1_图文

2.3
幂 函 数

【知识提炼】 1.幂函数的概念 函数_____叫做幂函数,其中自变量是__,___是常数. y=xα x α

2.幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象:

(2)幂函数的性质:
幂函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 y=x __ R __ R ___ 奇 ___ 增 y=x2 __ R ________ [0,+∞) ___ 偶 x∈[0,+∞),___ x∈(-∞,0],___ 增 y=x3 __ R __ R ___ 奇 ___

y?x

1 2

y=x-1 _________________ (-∞,0)∪(0,+∞) _______________ {y|y∈R且y≠0} ___ 奇 x∈(0,+∞),___ x∈(-∞,0),___ 减 减

________ [0,+∞) ________ [0,+∞) ________ 非奇非偶 ___

公共点

增 增 减 都经过点______

(1,1)

【即时小测】 1.思考下列问题 (1)二次函数都是幂函数吗?判断的依据是什么? 提示:不一定.如y=5x2,y=x2-3都不是幂函数,只有二次项系数为1,无 一次项和常数项的二次函数才是幂函数.判断的依据是函数解析式要 符合幂函数解析式的结构特征. (2)幂函数的图象是否可以出现在坐标平面内的任意象限?

提示:不能.因为当x>0时,xα>0,因此图象不能出现在第四象限.

2.下列所给的函数中,是幂函数的是 A.y=2x5 C.y=x-3 B.y=x3+1 D.y=3x

(

)

【解析】选C.选项C符合y=xα的形式,对于A系数不为1,B中含有常数 项,而D是指数函数.

3.若y=ax3+(2b+4)是幂函数,则a-b的值为 (
A.-1 B.1 C.-3 D.3

)

【解析】选D.由于y=ax3+(2b+4)是幂函数,则 解得a=1,b=-2,故a-b=3.

?a ? 1, ? ?2b ? 4 ? 0,

4.已知幂函数y=xα 的图象经过点(2,16),则f(-3)=

.

【解析】由于幂函数y=xα的图象经过点(2,16),即2α=16,解得α=4, 故f(-3)=(-3)4=81. 答案:81

【知识探究】 知识点1 幂函数的概念

观察如图所示内容,回答下列问题:

问题1:判定一个函数是否是幂函数应依据哪些特征?
问题2:幂函数和指数函数有哪些区别?

【总结提升】 1.幂函数解析式的结构特征 (1)指数为常数.(2)底数是自变量.(3)幂xα 的系数为1.

2.幂函数与指数函数的比较

式子 常数 指数函数:y=ax(a>0且a≠1) 幂函数:y=xα a为底数 α 为指数

名称 x 指数 底数 y 幂值 幂值

知识点2

幂函数的图象及性质

观察图形,回答下列问题:

问题1:观察上述图象.在第一象限,它们有何特点? 问题2:这些图象有何对称性?奇偶性如何?

【总结提升】 1.幂函数y=xα 在第一象限内的图象特征 (1)指数大于1,在第一象限为抛物线型(下凸). (2)指数等于1,在第一象限为上升的射线(去掉端点). (3)指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型(上凸). (4)指数等于0,在第一象限为水平的射线(去掉端点). (5)指数小于0,在第一象限为双曲线型.

五个幂函数在第一象限内的图象大致情况可以归纳为“正抛负双,大竖 小横”即α >0(α ≠1)时的图象是抛物线型(α >1时的图象是竖直抛物 线型,0<α <1时的图象是横卧抛物线型);α <0时的图象是双曲线型.

2.五个幂函数的奇偶性 幂函数y=x,y=x3,y=x-1为奇函数;幂函数y=x2为偶函数;幂函数y= 为非奇非偶函数.

x

1 2

3.幂函数三个常用的性质 (1)所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且图象都过点(1,1). (2)α >0时,幂函数的图象经过原点,并且在区间(0,+∞)上是增函数. 特别地,当α >1时,幂函数的图象下凸;当0<α <1时,幂函数的图象上 凸. (3)α <0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内, 当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴;当x趋于

+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

【题型探究】 类型一 幂函数的概念

【典例】1.下列函数:①y=

1 x ( ) 2 x ⑤y=(x+1) ;⑥y=x;⑦y=a (0<a<1).其中幂函数的个数为 ( 3

x

1 ;②y= ? 2

;③y=2x4;④y=x3-2; )

A.1

B.2

C.3

D.4

2.(2015·开封高一检测)已知幂函数f(x)=(m2-2m+2)
则f(-3)= .

x

m2 ?2m?3



【解题探究】1.典例1中应从哪几个方面判定函数为幂函数? 提示:应从指数,底数,以及幂xα的系数三方面判定. 2.典例2中的m2-2m+2应满足什么条件? 提示:应使m2-2m+2=1.

【解析】1.选B.②⑦为指数函数;③中系数不为1;④中的解析式为
多项式;⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数,故选B. 2.由于f(x)=(m2-2m+2) f(x)=x2,则f(-3)=9. 答案:9 为幂函数,故m2-2m+2=1,解得m=1,所以
m2 ?2m?3

x

【延伸探究】若典例2中的函数“f(x)=(m2-2m+2)
“f(x)=(m2-m-1)

x

m2 ?2m?3

”改为

x

m2 ?2m?3

,且此函数为奇函数”,则f(-3)的值应为多少?

【解析】由于f(x)=(m2-m-1)

或m=2,又因为该函数为奇函数,则当m=-1时,f(x)=x6不符合;当m=2 时,f(x)=x3,符合.故f(-3)=(-3)3=-27.

x

m2 ?2m?3

为幂函数,则有m2-m-1=1,解得m=-1

【方法技巧】求幂函数解析式的依据和常用方法

(1)依据:若一个函数为幂函数,则该函数应具备幂函数解析式所具备
的特征,这是解决与幂函数有关问题的隐含条件. (2)常用方法: 设幂函数解析式为f(x)=xα ,依据条件求出α .

【变式训练】已知函数f(x)=lg(m2+6)·xm(x∈R)为幂函数,则 f(3)= .

【解析】已知函数f(x)=lg(m2+6)·xm(x∈R)为幂函数,则lg(m2+6)=1, 即lg(m2+6)=lg10,解得m=±2,又函数的定义域为R,故m=2,则f(x)=x2, 得f(3)=9. 答案:9

类型二

幂函数的图象

【典例】1.如图是函数y= A.m,n是奇数,且 <1

x

m (m,n∈N*,m,n互质)的图象,则( n

)

m n ,且 >1 B.m是偶数,n是奇数 m C.m是偶数,n是奇数,且 <1 n m D.m是奇数,n是偶数,且 >1 n m n

2.(2015·烟台高一检测)如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图 象,则有 ( )

A.-1<n<0<m<1

B.n<-1,0<m<1

C.-1<n<0,m>1

D.n<-1,m>1

3.如图,图中曲线是幂函数f(x)=xα 在第一象限内的大致图象,已知 α 取-2,- 1 , 1 ,2四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的α 的值依次 为

2. 2

【解题探究】1.典例1中的函数y=

x

m n

的定义域和值域分别是什么?

提示:由图象可以看出,定义域是全体实数,而值域是非负数,由此可得 m是偶数,n是奇数. 2. 典例 2 中x∈(0,1) 内任取同一个值时 , 这三个函数对应的图象的高 低如何?图象的高低与指数的大小有怎样的对应关系? 提 示 : 当 x∈(0,1) 时 , 这 三 个 函 数 对 应 的 图 象 由 高 到 低 的 顺 序 为 y=xn,y=x-1,y=xm.点低指数大.

3.典例3中当α 取-2,- 1 时,对应的函数在第一象限内的图象如何? 当α 取 1 ,2呢?

2
时,在第一象限内对应的图象是下降的 ;当α取

2 提示:当α取 -2,1 2

1 2 ,2时,对应的图象是上升的 .

【解析】1.选C.由图象知,函数为偶函数,所以m为偶数,n为奇数. 又函数图象在第一象限内上凸,所以 m <1.

n 2.选B.在(0,1)内取x0,作直线x=x0,与各图象有交点 ,则“点低指
数大”由此可判定0<m<1,n<-1. 3.由幂函数的图象与性质,α<0时不过原点,故C3,C4对应的α值均 为负,C1,C2对应的α值均为正;由增(减)快慢知曲线C1,C2,C3,C4的 α值依次为2, ,,-2.

答案:2,

,- 1 ,-2 1

1 2

2 1 2

2

【延伸探究】典例3中若将“-2,- 1 , 1 ,2”改为“α 1,α 2,α 3,α 4对 应的函数图象分别为C1,C2,C3,C4”,那么α 1,α 2,α 3,α 4的大小关系 为 .

2 2

【解析】由C1,C2,C3,C4在第一象限内的图象可知:α1,α2应大于 零;α3,α4应小于零,结合图象的增减快慢,曲线C1,C2,C3,C4的α值的 大小依次为α1>α2>α3>α4. 答案:α1>α2>α3>α4

【方法技巧】解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越 大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越 大,幂函数图象越远离x轴,(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α 与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一 象限内的图象(类似于y=x-1或y= 或y=x3)来判断.

x

1 2

【拓展延伸】幂函数y=xα (α = m ,m,n互质)的奇偶性
幂函数y=xα 的奇偶性是由m,n的值确定的,当m,n均为奇数时,y=xα 是

n

奇函数;当m为偶数,n为奇数时,y=xα 是偶函数;当m为奇数,n为偶数 时,y=xα 既不是奇函数,也不是偶函数.

【变式训练】已知函数 y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示, 则a,b,c 的大 小关系为 .

【解题指南】结合函数在第一象限内的图象以及相应的判断规律进行

辨别.
【解析】根据在第一象限内的图象可知:a>0,b>0,c<0,且a>1,b<1,故

a>b>c.
答案:a>b>c

【补偿训练】函数y=

x

5 3

的图象大致是

(

)

【解析】选B.函数y=

x ? x
3

5 3

5

是定义域为R的奇函数,且此函数在

定义域上是增函数,其图象关于原点对称,排除 A,C.另外,因为
y=

1 1 1 1 ( ) ? ? ( ) < , y ? 1 ? 1, y ? 2 ? 2 ? 2 >2, 函数2 y= 2的图象在直线 y=x的下方; 2 2

5 3

2 3

5 3

5 3

2 3

所以当x∈(0,1)时,

x 当x∈(1,+∞)时,函数 y= x
5 3

5 3

的图象在直线y=x的上方.故选B.

类型三

利用幂函数的性质比较大小

【典例】比较下列各组数中两个数的大小:

2 0.3 1 0.3 1 ( ? ? ) 与( ) . 5 3 2 ?1 3 ?1 ? 2 ? (? ) 与( ? ) . 3 5

【解题探究】本典例(1)(2)中可以利用什么形式的幂函数来进行比较? 提示:(1)中 的增减性比较大小. 的指数都是0.3,因此可以利用函数y=x0.3

2 0.3 1 0.3 ( ) 与( ) 5 3

(2)中

性来比较大小.

2 ?1 3 ?1 的指数都是-1,因此可以利用函数y=x-1的增减 (? ) 与( ? ) 3 5

【解析】(1)因为幂函数y=x0.3在(0,+∞)上是单调递增的,

2 1 2 0.3 1 0.3 又 ? ,所以( ) -1? ( ) . (2)因为幂函数 y=x (-∞,0)上是单调递减的, 5 3 5 在3

2 3 2 ?1 3 ?1 又 ? ? ? ,所以(? ) ? (? ) . 3 5 3 5

【延伸探究】 1.(变换条件)若将典例(1)中的“ 2 又如何进行大小比较?

1 0.3 ”改为 2 0.3 1 ?0.3 ( ) 与( ) “( ) 与( ) ”, 5 3 5 3
0.3

【解析】因为

=30.3,而y=x0.3在(0,+∞)上是单调递增的,

1 ?0.3 ( ) 3 2 2 0.3 0.3 2 0.3 1 ?0.3 又 ? 3,所以( ) ? 3 ,即( ) ? ( ) . 5 5 5 3

2.(变换条件)若将典例(1)中的“ 2
又如何比较其大小?

2 1 0.3 ”改为 2 0.3 ( ) 与( ) “( ) 与 ? 0.3? 5 ”, 5 3 5
0.3

【解析】因为y1=
所以
2

2 2 0.3 25 ( ) ,所以 ?( ) , x5 且 >0.3 ,所以 5 5 2 2 2 2 25 2 0.3 ( ) 与 ? 0.3? 5 ( ) 与 ? 0.3? 5 . 5 5 5

2x ( ) 又因为函数 y 2= 5

在x∈(0,+∞)上为减函数,又0.3<

2 , 在x∈(0,+∞)上是增函数, 5

【方法技巧】比较幂值大小的三种基本方法

【补偿训练】试比较 2

【解析】因为y1= 2 x 在R上为减函数,又 3

2 2 3 2 3 ( ) ? ,所以( ) ? ( ) 4, 3 4 3 3 3 2 又因为函数y2= 2 在x∈(0,+∞)上是增函数,且 2 3 2 3 2 ? ,所以( ) 3 ? ( ) 3, x3 4 3 4 3 3 3 2 3 所以( ) ? ( ) 4 . 4 3
2

3 3 的大小. ( ) 与( ) 3 4

3 4

2

2

【延伸探究】 1.若将“ 2
3 ”,如何比较其大小? 3 3 ”改为“ 2 3 3 ( ) 与( ) ( ) 4 与( ) 4 3 4 y= 在x∈(0,+∞)上是增函数, 3 4 【解析】因为函数 3 4 2

x

3 4

3 2 3 2 3 3 而 ? ,所以( ) 4 ? ( ) 4 . 3 4 3 4

3 3 2 3 3 3 3 ”,又如何比较其大小? 2.若将“ 3 ”改为“ 4 4 ( ) 与( ) ( ) 与( ) 3 4 4 4 【解析】因为函数y= 3 x 在x∈(0,+∞)上是减函数, ( ) 4 2 2 3 3 3 3 而 ? ,所以( ) 4 ? ( ) 3 . 3 4 4 4

2

2

易错案例

利用幂函数的单调性求参数的范围
? 1 >(a-1) 3 ? 1 则实数a的取值 , 3

【典例】(2015·大同高一检测)若(3-2a) 范围为________.

【失误案例】

【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因是对幂函数的定义域考虑不全面 .在解答过程中 只考虑了底数是同号,而忽略了底数不同号的情况,从而定义域考虑不 全造成漏解.

【自我矫正】由题意可得,可利用幂函数y= 类比y=x-1的单调性可得:若 种情况.因此,若(3-2a)
1 ? 3

x

?

1 3

的单调性来求解,

x ?y ,
1 ? 3

?

1 3

?

1 3

则有x<0<y,y<x<0或0<y<x三

>(a-1)

,则有如下三种可能:

?a ? 1 ? 0, ?a ? 1 ? 0, ?a ? 1 ? 0, 4 3 ? ? 或 ?3 ? 2a ? 0, 或 ?3 ? 2a ? 0, 解得a ? 1或 ? a ? . ? 0, ? 3 2 ?3 ? 2a ? ? 故实数 a的取值范围为 (∞,1)∪ ?3 ? 2a ? a ? 1, ?3 ? 2a ? a ? 1, 4 3 答案:(-∞,1)∪ ( , ). 3 2 4 3 ( , ) 3 2

【防范措施】 1.准确把握幂函数的单调性 对于幂函数y=xα 要分清α >0和α <0时的奇偶性和在(0,+∞)上的单 调性,如本例由y=
1 ? 3

是奇函数且在(0,+∞)上是减函数,因此不要忘

x 记该函数在(-∞,0)上也是减函数 ,由此可得不等式组.
2.加强分析问题的全面性 要明确五类幂函数的定义域,要全面分析问题,不要忽略某些方面.如

本例中对于不等式,结合幂函数的单调性,对于底数有三种不等关系.