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浙江省瑞安市五中2016届高三上学期入学测试数学试题


2016 届瑞安市五中高三上学期入学测试试卷 数学试题(2015.8)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.图中的阴影表示的集合是( A. ) C. CU ? A ? B ? D. CU ? A ? B ? ).

?CU A? ? B

B.

?CU B ? ? B

2.已知 ? , ? 为第一象限的两个角,则“ ? ? ? ”是“ sin ? ? sin ? ”的( A.充分不必要条件 3.已知 sin 2? ? ? A. ? B.必要不充分条件 C.充要条件 )

D.既不充分也不必要条件

24 ? ? ? , ? ? ? ? , 0 ? ,则 sin ? ? cos ? ? ( 25 ? 4 ?
B.

1 5

1 5

C. ?

7 5
) D.

D.

7 5

4.三角形 ABC 中,a=15,b=10,A= 60 ? A. ?

,则 cos B ? ( C. ? )

2 2 3

B.

2 2 3

6 3

6 3

5. y ? x ? cos x 的大致图象是(

6.函数 f ? x ? ? 1 ? 3 tan x cos x 的最小正周期为( A. 2? 7.设函数 f ? x ? ? A. ?0,1? B.

?

?

). D.

3 ? 2

C. ?

? 2
).

2x 1 ? , ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,则函数 y ? ? ? f ? x ?? ? 的值域是( x 1? 2 2
B. ?0, ?1? C. ??1,1? D. ?1,1?

8.已知 AB 、AC 是非零向量且满足 AB ? 2 AC ? AB , AC ? 2 AB ? AC , 则 ?ABC 的形状 (

??? ?

????

?

??? ?

????

?

??? ?

?

????

??? ?

?

????



A.等腰三角形

B.直角三角形

C. 等边三角形

D.等腰直角三角形

9. 若函数 f(x)=sinω x(ω >0)在 [ ? , ? ] 上是单调函数,则 ω 应满足的条件是(

6 2

) D. 0<ω ≤3

A.0<ω ≤1

B. ω ≥1

C. 0<ω ≤1 或 ω =3

10.函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)的图象关于直线 x=-

2

b 对称.据此可推测,对任意的非零实数 a, 2a
).

b,c,m,n,p,关于 x 的方程 m[f(x)]2+nf(x)+p=0 的解集都不可能是(
A.{1,2} 题号 答案 二、 填空题 :本大题共 7 小题,每空 5 分共 40 分。 11. 设函数 f(x)= ? 2 1 2 B.{1,4} 3 4 C.{1,2,3,4} 5 6 7

D.{1,4,16,64} 8 9 10

? ?( 1 ) x , x ? 0 ,则 f(-2)= ? ?log 2 x, x ? 0


; 若 f(a)=1,则实数 a=

.

12.若

=3,则 sin2α =

13.已知平面向量 =(1,2) , =(﹣2,m) ,且 ∥ ,则| |= 14. 函数 f ( x) ?
1 ? 4 ? x 2 的定义域是___________. ln( x ? 1)
?



15.在正三角形 ABC 中, D 是 BC 边上的点,若 AB ? 3 , BD ? 1 ,则 AB? AD =___________. 16. 已知 a,b∈R,若 a +b -ab=2,则 ab 的最小值是 17. 已知△ABC,AB=7,AC=8,BC=9,P 为平面 ABC 内一点,满足 PA ? PC ? ?7 ,则 | PB | 的最小值是 .
2 2

?

??? ? ??? ?

??? ?

三、解答题:本大题共 4 小题,每题 15 分,共 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.已知向量 a ? (cos x ? sin x,2 sin x) , b ? (cosx ? sin x,? cos x) , f ( x) ? a ? b , (1)求 f ( x) 的最小正周期;(2)当 x ? ?

?

?

? ?

? ? 3? ? , ? 时,求 f ( x) 的最小值以及取得最小值时 x 的值。 ?4 4 ?

19.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a-b=2,c=4, sinA=2sinB.(1) 求△ABC 的面积;(2) 求 sin(A-B).

20.已知定义域为 R 的奇函数 f(x)=x|x+m|. (1)求出 m 的值,并解不等式 f(x)≥x; (2)对任意 x1,x2∈[1,1+a],总有|f(x1)﹣f(x2)|≤2,求实数 a 的取值范围.

21.已知函数 f(x)=

1 ?x | x?2|

(1)判断函数 f(x)在(-2,-1)上的单调性并加以证明; (2)若函数 g(x)=f(x)-2|x|-m 有四个不同的零点,求实数 m 的取值范围.

2015 年瑞安市五中高三上学期入学测试答案
一、选择题: 题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 D 5 B 6 C 7 B 8 C 9 C 10 C

二、填空题: 11. 4,2或0

12.

13. 17.4

14. (?1,0) ? (0,2]

15 15. 2
三、解答题:

2 16. ? 3

18.已知向量 a ? (cos x ? sin x,2 sin x) , b ? (cosx ? sin x,? cos x) , f ( x) ? a ? b , (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)当 x ? ?

?

?

? ?

? ? 3? ? , ? 时,求 f ( x) 的最小值以及取得最小值时 x 的值。 ?4 4 ?
??????????3 分

18. f ( x) ? (cosx ? sin x)(cosx ? sin x) ? 2 sin x(? cos x)

? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 cos( 2 x ?
(1) T ?

?
4

)

??7 分

2? ?? 2

???????????????????????????9 分

(2) x ? ?

? ? 3? 7? ? ? ? 3? ? , ? 时, 2 x ? ? ? , ? 4 ?4 4 ? ?4 4 ?
?
4 ?? 即x ?

????????????????11 分

?当 2 x ?

3? 时,???????????????????????13 分 8

取到 f ( x) 的最小值 ?

2

?????????????????????????15 分

19.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a-b=2,c=4, sinA=2sinB. (Ⅰ) 求△ABC 的面积; (Ⅱ) 求 sin(A-B). (I)解:由 sin A = 2sin B 及正弦定理
a b 得 = sin A sin B a = 2b ?? ?? ??2 分 a - b = 2 所以 a = 4, b = 2 ?? ? ??3 分 又 c = 4 D ABC 所以 是等腰三角形 又 取底边 AC 的中点 D ,连 BD ,则高 BD = 15 ???5 分

所以 D ABC 的面积 S ?

1 ? AC ? BD ? 15; 2

???7 分

(II)在 Rt D ABD 中, sin A =

15 1 , cos A = 4 4

B

sin

B 1 B = , cos = 2 4 2

15 4
B B ?cos 2 2 1 2鬃 4

?? ?? ??10 分
15 = 4 15 8

sin B = 2sin

4 D 2

4

A

C

cos B = cos 2

B B 15 2 1 7 - sin 2 ? ( ) - ( ) 2 = ???? ??12 分 2 2 4 4 8

sin( A ? B) ? sin A ? cos B ? cos A ? sin B

?? ?? ??13 分 ?? ?? ??15 分

?

15 7 1 15 3 15 ? ? ? ? 4 8 4 8 16

20.已知定义域为 R 的奇函数 f(x)=x|x+m|. (1)求出 m 的值,并解不等式 f(x)≥x; (2)对任意 x1,x2∈[1,1+a],总有|f(x1)﹣f(x2)|≤2,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数奇偶性的性质;二次函数的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意先求出 m,代入求函数解析式; (1)由 x|x|≥x 可得 或 ,从而解不等式;

(2)由 f(x)=

可知 f(x)在 R 上单调递增,从而化对任意 x1,x2∈[1,1+a],总有|f

(x1)﹣f(x2)|≤2 为 f(1+a)﹣f(1)≤2,从而解得. 解答: 解:∵f(x)=x|x+m|是定义域为 R 的奇函 数, ∴m=0, ∴f(x)=x|x|; (1)由 x|x|≥x 得, 或 ;

解得,x≥1 或﹣1≤x≤0, 故不等式的解集为{x|x≥1 或﹣1≤x≤0}; (2)f(x)= ,

则 f(x)在 R 上单调递增, ∴f(x)在[1,1+a]上单调递增, ∴f(1+a)﹣f(1)≤2,

即(1+a)|1+a|﹣1≤2, 又∵1+a>1, ∴0<a< ﹣1. 点评: 本题考查了分段函数的应用,属于中档题. 21.已知函数 f(x)=

1 ?x | x?2|

(I)判断函数 f(x)在(-2,-1)上的单调性并加以证明; (II)若函数 g(x)=f(x)-2|x|-m 有四个不同的零点,求实数 m 的取值范围. 21. (本题满分 14 分)
ì 1 ? ? + x, x > - 2 ? ? x+2 (I)解:函数 f ( x) = ? ??????????1 分 í ? 1 ? , + x , x < 2 ? ? ? ? x+2

函数 f ( x ) 在在 (?2, ?1) 上递减,????????????2 分 证明如下: 设 x1 , x2 ? (?2, ?1) ,且 x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (

1 1 ? ) ? ( x1 ? x2 ) x1 ? 2 x2 ? 2

? ( x1 ? x2 )[1 ?

1 ] ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

?????4 分

Q ?2 ? x1 ? x2 ? ?1 ,? x1 ? x2 ? 0, 0 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 1
?1 ? 1 ?0 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

????????6 分 (II)解法一: 函数 g ( x) = f ( x) - 2 x - m 有四个零点 1 + x 图像与函数 y = 2 x + m 图像有四个交点 ??7 分 ? 函数 f ( x ) = | x+2 | 结合图像 (1) 当 x ? ?2 时, 函数 f ( x) = -

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以函数 f ( x ) 在 (?2, ?1) 上递减.

1 + x 图像与函数 y = 2 x + m 图像恰有一个交点,??9 分 x +2 1 + x( x > - 2) x +2
y

(2)当 x ? ?2 时,为满足 g ( x) 有 4 个不同的零点,则函数 f ( x) = 图像与函数 y = 2 x + m 图像恰有三个交点符合要 而 f ( x) =

求。

1 1 + x( x > - 2) 过点 (0, ) , x +2 2
y = 2? x + m 1

1 结合图像知则 m ? ??????????10 分 2
-2 1 x+2 -1 +x

o

1

x

f?x? =

当直线 y = - 2 x + m 与 y =

1 +x(x > - 2) x +2

相切时,在 ( ?2, ?) 内只有两个交点。
Y

ì 1 ? ? +x 1 ? y= 消去 y 得 + 3x - m = 0 整理得 x +2 í ? x +2 ? y = 2 x + m ? ? 3x2 + (6 - m) x + 1- 2m = 0 \ D = (6 - m)2 - 4创 3 (1- 2m) = 0 m= 62- ( 3 舍 去 ) , 解 得 m = - 6 + 2 3 ???????13 分 1 \ 当 m ? ( 6 + 2 3, ) 时 , 函 数 g ( x) 有 4 个 零 2
点??????.?14 分 解法二: 函数 g ( x) = f ( x) - 2 x - m 有四个零点 1 + x - 2 | x | - m = 0 有四个实根 ? 方程 | x+2 |

E

D

4

2

C
-4 -2 O

B
2 X

-2

? 函数 h( x ) =

1 图像与函数 y = 2 x - x + m 图像有四个交点 | x+2 | 1 图像与函数 y = | x+2 |

? 函数 h( x ) =

ì x + m, x ? 0, ? ? 图像有四个交点??8 分 í ? ? ? - 3x + m, x < 0,

(1)当 x ? 0 时, 1 若函数 h( x) = 图像与函数 y = x + m 图像有一 x+2 个交点,则 m ?

1 ???????????10 分 2
1 ( x < 0) 图像 | x+2 |

(2) 当 x ? 0 时,若函数 h( x) = 与函数 y = - 3x + m 图

像恰好有 3 个交点符合要求, 则m ?

1 2

?????11 分

当直线 y = - 3x + m 与 y =

1 (x > - 2) 相切时, x +2

在 ( ??, 0) 内只有两个交点。

ì 1 ? ? (x > - 2) ? y= x+2 í ? ? ? ? y = - 3x + m

消去 y 得

1 = - 3x + m 整理得 3x2 + (6 - m) x + 1- 2m = 0 x +2

\ D = (6 - m)2 - 4创 3 (1- 2m) = 0 解得 m = - 6 - 2 3 (舍去) , m = - 6 + 2 3 ???????13 分 1 \ 当 m ? ( 6 + 2 3, ) 时,函数 g ( x) 有 4 个零点??????.?14 分 2

解法三: 函数 g ( x) 有 4 个不同零点,即方程 方程化为:① ?

1 +x ? 2 | x | ? m ? 0 有 4 个不同的实根. x?2

? x?0 2 ? x ? (m ? 2) x ? (2m ? 1) ? 0 ? x ? ?2 ? ? 2 <x ? 0 与② ? 2 与③ ? ??7 分 2 ?3x ? (6 ? m) x ? (2m ? 1) ? 0 ? 3x ? (6 ? m) x ? (2m ? 1) ? 0 记 v( x) ? x2 ? (m ? 2) x ? (2m ?1) , u( x) ? 3x2 ? (6 ? m) x ? (2m ? 1) , w( x) ? 3x2 ? (6 ? m) x ? (2m ?1) u( x), v( x), w( x) 开口均向上. 对①:由 v(?2) ? ?1 ? 0 知 v( x) 在 [0, ??) 最多一个零点. 1 当 v(0) ? 2m ? 1 ? 0 ,即 m ? 时, v( x) 在 [0, ??) 上有一个零点 2 1 当 v(0) ? 2m ? 1 ? 0 ,即 m ? 时, v( x) 在 [0, ??) 没有零点。 ??????9 分 2 对②:由 u (?2) ? ?1 ? 0 知 u ( x) 在 (??, ?2) 有唯一零点.???????10 分
对③:为满足 g ( x) 有 4 个零点, w( x) 在 (?2, 0) 应有两个不同零点.

? w(0) ? 1 ? 2m ? 0 ? w(?2) ? 1 ? 0 ? 1 ? 2 ∴ ? ? ? (6 ? m) ? 12(1 ? 2m) ? 0 ? ?6 ? 2 3 ? m ? .???????13 分 2 ? 6?m ? ?2 ? ? ?0 6 ? ?
1 综上所述:当 m ? ( 6 + 2 3, ) 时,函数 g ( x) 有 4 个零点??????.?14 分 2
解法四: 函数 g ( x) 都有 4 个不同零点,即方程 m ?

1 ? x ? 2 | x | 有 4 个不同的实根. x?2

? 1 ?? x ? 2 ? 3 x, x ? ?2 ? 1 1 令 h( x) ? ? x ? 2 | x | .则 h( x) ? ? ? 3 x, ?2 ? x ? 0 .??????7 分 ? x?2 x ? 2 ? ? 1 ? x, x ? 0 ? ? x?2

h( x) 在 (??,?2) 单调递增,且其值域为 R ,所以 h( x) ? m 在 (??,?2) 有一个实根??8 分 1 1 h( x) 在 [0, ??) 单调递减,且其值域为 ( ? ?, ] ,所以当 m ? 时, h( x) ? m 在 [0, ??) 上有一个 2 2 1 实根,当 m ? 时, h( x) ? m 在 [0, ??) 上没有实根????????10 分 2

(-2,0) 至少有两个实根. 为满足 g ( x) 都有 4 个不同零点, h( x) ? m 在
当 ?2 ? x ? 0 时, h( x) ?

1 ? 3( x ? 2) ? 6 ? 2 3 ? 6 x?2

1 ? ? ? h( x) 在 ? ?2,-2 ? ? 单调递减,且此时值域为 ? 2 3 ? 6, ?? 3 ? ?

?

1? 1 ? ? ? h( x) 在 ??2 ? ,0 ? 单调递增,且此时值域均为 ? 2 3 ? 6, ? ???.?12 分. 2? 3 ? ? ?
1 (-2,0) 有两个实根 ?????13 分 ∴ m ? ( 6 + 2 3, ) 时,方程 h( x) ? m 在 2 1 综上所述:当 m ? ( 6 + 2 3, ) 时,函数 g ( x) 有 4 个零点 ??????.?14 分 2


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