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河北省五个一联盟邯郸一中石家庄一中张家口一中保定一中唐山一中2017届高三数学上学期第二次模拟考试试题理

河北省“五个一名校联盟”2017 届高三教学质量监测(二)理科数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分。考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一

项符合题目要求
(1)已知 i 是虚数单位,若 z(1? i) ? 1? 3i ,则 z=

(A) 2 ? i

(B) 2 ? i

(C) ?1? i

(D) ?1? i

(2)已知全集 U ={1,2,3, 4,5,6,7},集合 A ={1,3,7}, B ={ x x ? log2(a ?1) , a ? A },则

( CU A ) ∩( CU B )=

(A){1,3}

(B) {5,6}

(C){4,5,6}

(D){4,5,6,7}

(3)已知命题 p, q 是简单命题,则“ ?p 是假命题”是“ p ? q 是真命题”的

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(C) 充要条件

(D) 既不充分又不必要条件

(4)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为 1 , 2
两次闭合后都出现红灯的概率为 1 ,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红 5
灯的概率为

(A) 1 10

(B) 1 5

(C) 2 5

(D) 1 2

( 5 ) 已 知 角 ? 的 顶 点 与 原 点 重 合 , 始 边 与 x 轴 正 半 轴 重 合 , 终 边 在 直 线 y ? 3x 上 , 则

sin(2? ? ? ) ? 3

(A) 3 ? 4 3 10

(B) ? 3 ? 4 3 (C) 4 ? 3 3

10

10

(D) ? 4 ? 3 3 10

(6)设函数

f

? x? 是定义在

R

上的奇函数,且

f

?x?

?

???lgo?gx3??x

? 1?

x x

? ?

0 ,则 0

g

??

f

??8???

=

(A)-2

(B)-1

(C)1

(D)2

(7)函数 f ? x? ? sin?x(? ? 0) 的图像向右平移 ? 个单位得到函数 y ? g ? x? 的图像,并且函数
12

g

?

x?

在区间

?? ?? 6

,

? 3

? ??

上单调递增,在区间

?? ?? 3

,

? 2

? ??

上单调递减,则实数 ?

的值为

(A) 7 4

(B) 3 2

(C) 2

(D) 5 4

?x ? y ?1? 0

(8)设变量 x, y 满足约束条件 ??x ? y ? 0

,则 z ? x ? 2 y 的最大值为

??x ? 2 y ? 4 ? 0

(A) ?12

(B) ?1

(C)0

(D) 3 2
(9)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人, 他在所著的《数书九章》中

提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图给出了利用
秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入 x 的值为2,则输出v的值为

( A ) 210 ?1

( B ) 210

( C ) 310 ?1

(D) 310
(10)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1,图中粗线画出的是

某几何体的三视图,则该几何体的体积为

(A) 2 3

(B) 4 3

(C) 8 3

(D) 4

(11)已知椭圆 C : x2 ? y2 ? 1的左、右顶点分别为 A、B , F 为椭圆 C 的右焦点,圆 43

x2 ? y2 ? 4 上有一动点 P , P 不同于 A, B 两点,直线 PA 与椭圆 C 交于点 Q ,则 kPB 的取值 kQF
范围是

(A) (??, ? 3) (0, 3)

4

4

(C) (??, ?1) (0,1)

(B) (??, 0) (0, 3) 4
(D) (??, 0) (0,1)

(12)若关于 x 的不等式 xex ? 2ax ? a ? 0 的非空解集中无整数解,则实数 a 的取值范围是

(A)

[

2 5e2

,

1) 3e

(B)[ 1 , e ) 3e 4e

(C)[ 1 , e] 3e

(D)[ e , e] 4e

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上. (13)已知正实数 x,y 满足 2x+y=2,则2x+1y的最小值为_________.

(14)已知点 A(1,0) , B(1, 3 ) ,点 C 在第二象限,且∠AOC=150°,→ OC =-4→ OA +λ → OB ,则

λ =_________.

(15)在平面直角坐标系 xOy 中,将直线 y ? x 与直线 x ?1 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转一周

? 得到一个圆锥,圆锥的体积V ? 圆锥

1
?

x2

dx

?

?

x3 1

?

?

.

据此类比:将曲线 y

? 2ln x 与直

0

3 03

线 y ? 1及 x 轴、 y 轴所围成的图形绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体积

V ? ________.
? ? ? ? (16)已知数列 an 的前 n 项和为 Sn , Sn ? n2 ? 2n , bn ? anan?1 cos(n ?1)? ,数列 bn 的前

n 项和为Tn ,若Tn ? tn2 对 n ? N* 恒成立,则实数 t 的取值范围是__________.
三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)—(21)题为必考题,(22),(23)题为选考题.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 2acosC-c=2b. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 c= 2,角 B 的平分线 BD= 3 ,求 a.

(18)(本小题满分 12 分) 空气质量指数(Air Quality Index,简称 AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按 照 AQI 大小分为六级:0~50 为优;51~100 为良;101~150 为轻度污染; 151~200 为中度污 染;201~300 为重度污染;>300 为严重污染.

一环保人士记录去年某地某月 10 天的 AQI 的茎叶图如下. (Ⅰ)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数;(按这个
月总共 30 天计算) (Ⅱ)将频率视为概率,从本月中随机抽取 3 天,记空气质量优良的天数为 ξ ,
求 ξ 的概率分布列和数学期望.

(19)(本小题满分 12 分)

如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠BCD=120°,四边形 BFED 是以 BD 为直角
腰的直角梯形,DE= 2BF=2,平面 BFED⊥平面 ABCD.
(Ⅰ)求证: AD⊥平面 BFED;
E
(Ⅱ)在线段 EF 上是否存在一点 P,使得平面 PAB 与平面 ADE

所成的锐二面角的余弦值为5

7 28

.若存在,求出点 P 的位置;

P

D

C

F

若不存在, 说明理由. (20)(本小题满分 12 分)

A

B

x2 y2 已知椭圆 C1:a2+b2=1

(a>b>0)的离心率为

23,P(-2,1)是 C1 上一点.

(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程;

(Ⅱ)设 A、B、Q 是点 P 分别关于 x 轴、y 轴及坐标原点的对称点,平行于 AB 的直线 l 与 C1 相交于

不同于 P、Q 的两点 C、D,点 C 关于原点的对称点为 E. 证明:直线 PD、PE 与 y 轴围成的三

角形是等腰三角形.

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x)=alnx+12x2-ax (a 为常数).
(Ⅰ)试讨论 f (x)的单调性; (Ⅱ)若 f (x)有两个极值点分别为 x1,x2.不等式 f (x1)+f (x2) <λ (x1+x2)恒成立,求 λ 的最 小值. 请考生在第(22),(23)二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

(22)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为???xy==si5ncαos α ,(α 为参数).以坐标原点 O 为极

点,x

轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线

l

的极坐标方程为

ρ

cos ( θ



π 4

)=

2.l 与 C

交于 A、B 两点.

(Ⅰ)求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程;

(Ⅱ)设点 P(0,-2),求|PA|+|PB|的值.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式|x-3|+|x-m|≥2m 的解集为 R.
(Ⅰ)求 m 的最大值; (Ⅱ)已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=m, 求 4a2+9b2+c2 的最小值及此时 a,b,c 的值.

一、选择题:

河北省“五个一名校联盟”2017 届高三教学质量监测(二) 理科数学参考答案

ACAC ABCC DBDB 二、填空题:

(13)

9 2

(14)1

三、解答题:

(17)(本小题满分 12 分)

(15)? (e ?1)

(16) (??, ?5]

解:(Ⅰ)2acosC-c=2b,

由正弦定理得 2sinAcosC-sinC=2sinB,

…2 分

2sinAcosC-sinC=2sin(A+C) =2sinAcosC+2cosAsinC,

∴-sinC=2cosAsinC,

∵sinC≠0,∴cosA=-

1 2



而 A∈(0, π ),∴A=23π .

(Ⅱ)在△ABD 中,由正弦定理得,sinA∠BADB=sBiDnA

∴ sin∠ADB=ABsBiDnA=

2 2



∴ ∠ADB=π4 ,

∴∠ABC=π6 ,∠ACB=π6 ,AC=AB= 2

由余弦定理, BC= AB2+AC2?2AB?ACcosA= 6.

…6 分
…9 分 …12 分

(18)(本小题满分 12 分)

解:

(Ⅰ)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为 2,空气质量良的天数为 4,故该样本中

63 空气质量优良的频率为10=5,

…2 分

估计该月空气质量优良的频率为35,从而估计该月空气质量优良的天数为 30×35=18.

…4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)估计某天空气质量优良的概率为35,

ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3.
P(ξ =0)=???25???3=1825,

P(ξ =1)=C1335???25???2=13265,

P(ξ =2)=C23???35???225=15245,

P(ξ =3)=???35???3=12275,

故 ξ 的分布列为:

ξ

0

1

2

3

P

8 125

36 125

54 125

27 125

显然 ξ ~B???3,35???,Eξ =3×35=1.8.

…8 分 …12 分

(19)(本小题满分 12 分)
z E
解:

(Ⅰ)在梯形 ABCD 中, ∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠BCD=120°,

P

D

C

F

∴故 AB=2, ∴BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos60°=3,

A

B

y

x

∴ AB2=AD2+BD2

∴BD⊥AD,

∵平面 BFED⊥平面 ABCD, 平面 BFED∩平面 ABCD=BD,

∴ AD⊥平面 BFED.

…5 分

(Ⅱ)∵AD⊥平面 BFED∴AD⊥DE,

以 D 为原点,分别以 DA,DE,DE 为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则 D(0,0,0),A(1,0,0),B(0, 3,0),E(0,0,2),F(0, 3,1)

→ EF =(0, 3,-1),→ AB =(-1, 3,0),→ AE =(-1,0,2)

设→ EP =λ → EF =(0, 3λ ,-λ ) (0≤λ ≤1),

则→ AP =→ AE +λ → EF =(-1, 3λ ,2-λ )

…7 分

取平面 EAD 的一个法向量为 n=(0,1,0), 设平面 PAB 的一个法向量为 m=(x,y,z),

由→ AB ·m=0,→ AP ·m=0 得:

??-x+ 3y=0,
?
?? -x+ 3 λ y+(2-λ

令 )z=0,

y=2-λ

,得 m=(2

3-

3λ ,2-λ ,

3-

3λ ),

…9 分

∵ 二面角 A-PD-C 为锐二面角,



cos?m,n?=||mm· ||nn||

=5

7 28



1 解得 λ = 3

,即 P 为线段 EF 靠近点 E 的三等分点.

(20)(本小题满分 12 分)

…12 分

解:

??? (Ⅰ)由题意可得

b2 3 1-a42+a2= b12=4,1,解得???ab22= =82, .

x2 y2 故椭圆 C 的方程为 8 + 2 =1.

…5 分

(Ⅱ)由题设可知 A (-2,-1)、 B(2, 1)

因此直线

l

1 的斜率为2,设直线

l

的方程为:y=12x+t.

?? 由

y=12x+t, x2 y2

得 x2+2tx+2t2-4=0.(Δ >0)

? 8 + 2=1,

设 C (x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2=-2t,x1·x2=2t2-4

∴kPD+kPE=yx22- +12+

-y1-1 -x1+2

=(y2-1)(2(-2+x1)x2)-((22-+xx12)) (y1+1)

而(y2-1)(2-x1) -(2+x2) (y1+1)

=2(y2-y1)-(x1 y2+x2y1)+x1-x2-4

…7 分

=x2-x1-x1·x2-t (x1+x2) +x1-x2-4

=-x1·x2-t (x1+x2)-4 =-2t2 +4+2t2-4

=0

即直线 PD、PE 与 y 轴围成一个等腰三角形.



12 分

(21)(本小题满分 12 分)

解:

a

x2-ax+a

(Ⅰ)f′(x)=x+x-a= x

(x>0),

①当 a<0 时,解 f′(x)=0 得,x=

,

f(x)的单调减区间为(0,

,单调增区间为(

,+∞);

…2 分

②当 0≤a≤4 时,x2-ax+a=0 的 Δ =a2-4a≤0,所以 f′(x)≥0,f(x)的增区间为(0,+∞),无

减区间;

…4 分

③当 a>4 时,Δ =a2-4a>0,解 f′(x)=0 得,x1,2=

,

f(x)的单调增区间为(0,

,(

,+∞),单调减区间为(

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f(x)有两个极值点时,设为 x1,x2,
则 a>4,x1+x2=a ,x1x2=a 故 f(x1)+f(x2)=alnx1+12x21-a x1+alnx2+12x22-ax2 =aln(x1x2)+12(x21+x22)-a(x1+x2)
=aln(x1x2)+12 (x1+x2)2-x1x2-a(x1+x2)=a???ln a-12a-1???
于是 f(xx1)1+ +fx(2 x2)=lna-12a-1,a∈(4,+∞).
令 φ (a)=lna-12a-1,则 φ ′(a)=1a-12.
因为 a>4,所以 φ ′(a) <0.



).

…6 分

…9 分

于是 φ (a)=lna-12a-1 在(4,+∞)上单调递减.

因此

f

(x1)+f x1+x2

(x2)=φ

(a)

<φ

(4)=ln4-3.



f

(x1)+f x1+x2

(x2)可无限接近

ln4-3.

又因为 x1+x2>0,故不等式 f

(x1)+f

(x2)

<λ

(x1+x2)等价于

f

(x1)+f x1+x2

(x2)<λ

.

所以 λ 的最小值为 ln4-3.

…12 分

(22)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)C:x52+y2=1;l:y=x-2.

…4 分

??x=

2 2

t,

(Ⅱ)点 P(0,-2)在 l 上,l 的参数方程为

(t 为参数)

???y=-2+

2 2

t

代入x52+y2=1 整理得,3t2-10 2t+15=0,

…7 分

由题意可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=103 2

…10 分

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

解:

(Ⅰ)因为|x-3|+|x-m|≥|(x-3)-(x-m)|=|m-3|

当 3≤x≤m,或 m≤x≤3 时取等号,

令|m-3|≥2m,所以 m-3≥2m,或 m-3≤-2m.

解得 m≤-3,或 m≤1

∴m 的最大值为 1

(Ⅱ)由(Ⅰ)a+b+c=1.

由柯西不等式,(

1 4



1 9

+1)(

4a2+9b2+c2)≥(a+b+c)2=1,

…2 分
…5 分 …7 分

∴4a2+9b2+c2≥

36 49

,等号当且仅当 4a=9b=c,且 a+b+c=1 时 成立.

即当且仅当

a=

9 49

,b=

4 49

,c=

36 49

时,4a2+9b2+c2 的最小值为

36 49



…10 分