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数学高考题分类汇编不等式


不等式
一、选择题 1. (2013· 重庆高考理科· T3) (3 ? a)(a ? 6)(?6 ? a ? 3) 的最大值为 ( A. 9 B.
9 2

)

C. 3

D.

3 2 2

【解题指南】直接利用基本不等式求解. 【解析】选 B. 当 a ? ?6 或 a ? 3 时,
(3 ? a)( a ? 6) ?

(3 ? a)(a ? 6) ? 0 ,当 ? 6 ? a ? 3 时,

3 3?a ? a ?6 9 ? ,当且仅当 3 ? a ? a ? 6, 即 a ? 时取等号. 2 2 2

2. (2013· 山东高考理科· T12) 设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0. 则当 A.0
xy 2 1 2 取得最大值时, ? ? 的最大值为( z x y z



B.1

C.

9 4

D.3

【解题指南】此题可先利用已知条件用 x,y 来表示 z,再经过变形, 转化为基本不等式的问题,取等号的条件可直接代入 ? ? ,进而 再利用基本不等式求出 ? ? 的最值. 【解析】选 B. 由 x2 ? 3xy ? 4 y2 ? z ? 0 ,得 z ? x2 ? 3xy ? 4 y 2 . 所以
xy xy 1 x 4y 1 ? 2 ? ,即 ? ? 1 ,当且仅当 ? 2 x 4y z x ? 3 xy ? 4 y y x x 4 y ? ?3 2 ? ?3 y x y x
xy ) max ? 1 . z
2

2 x

1 y

2 z

2 x

1 y

2 z

x ? 2 y 时取等号此时 z ? 2 y 2 , (

1 ? ? 1 ?1? ? 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2y 2y ? ? ?1. ? ? ? ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 ? x y 2y x y z 2 y y xy y 2 ? ? ? ? ? ?

1

3. (2013·山东高考文科·T12)设正实数 x, y, z 满足
x 2 ? 3xy ? 4 y 2 ? z ? 0 ,则当
z 取得最大值时,x ? 2 y ? z 的最大值为( xy



A.0

B.

9 8

C.2

D.

9 4

【解题指南】此题可先利用已知条件用 x,y 来表示 z,再经过变形, 转化为基本不等式的问题,取等号的条件可直接代入 x ? 2 y ? z ,进而 再利用基本不等式求出 x ? 2 y ? z 的最值. 【解析】 选 C. 由 x2 ? 3xy ? 4 y2 ? z ? 0 ,得 z ? x2 ? 3xy ? 4 y 2 . 所以
x 4y z x 2 ? 3xy ? 4 y 2 x 4 y x 4y , ? ? ? ?3? 2 ? ? 3 ? 1 ,当且仅当 ? y x xy xy y x y x

即 x ? 2 y 时取等号此时 z ? 2 y 2 , 所以 x ? 2 y ? z ? 2 y ? 2 y ? 2 y 2 ? 4 y ? 2 y 2 ? 2 y?2 ? y ? ? 2? ? 当且仅当 y=2-y 时取等号. 4.(2013· 福建高考文科· T7)若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是 A. ?0, 2? D. ? ??, ?2? 【解题指南】 “一正二定三相等”,当题目出现正数,出现两变量,一般 而言,这种题就是在考查基本不等式. 【解析】选 D. 2 2x? y ≤2x+2y=1,所以 2x+y≤ ,即 2x+y≤2-2,所以 x+y≤ -2. 二、填空题 5. (2013·四川高考文科·T13)已知函数 f ( x) ? 4 x ? ( x ? 0, a ? 0) 在
x ? 3 时取得最小值,则 a ? ____________。
2

y?2? y? ? ? 2, 2 ? ?

2

(

)

B. ??2,0?

C. ??2, ???

1 4

a x

【解题指南】本题考查的是基本不等式的等号成立的条件,在求解时 需要找到等号成立的条件,将 x ? 3 代入即可. 【解析】由题 f ( x) ? 4 x ? ( x ? 0, a ? 0) ,根据基本不等式 4 x ? ? 4 a , 当且仅当 4 x ? 时取等号,而由题知当 x ? 3 时取得最小值,即 a ? 36 . 【答案】36 6.(2013·天津高考文科·T14)设 a + b = 2, b>0, 则 值为 .
1 |a| ? 中的 2|a| b 1 |a| ? 的最小 2|a| b

a x

a x

a x

【解题指南】将

1 由 a + b 代换,再由均值不等式求解.
1 |a| a?b |a| a b |a| ? ? ? ? ? ? 2|a| b 4|a| b 4|a| 4|a| b

【解析】因为 a + b = 2, b>0,所以
?

b |a| a b |a| a ? 时等号成立,此时 a ? ?2 , ?2 ? ? ? 1,当且仅当 4|a| b 4|a| 4|a| b 4|a|

或a ? 2 ,
3

若 a ? ?2 ,则
3 . 4

a 3 a 5 1 |a| 2 ? 1 ? ,若 a ? ,则 ? 1 ? . 所以 ? 的最小值为 2|a| b 4| a| 4 4|a| 4 3

【答案】

3 4

7. (2013· 天津高考理科· T14) 设 a + b = 2, b>0, 则当 a =
1 |a| ? 取得最小值. 2|a| b

时,

【解题指南】将

1 |a| ? 中的 2|a| b

1 由 a + b 代换,再由均值不等式求解.
1 |a| a?b |a| a b |a| ? ? ? ? ? ? 2|a| b 4|a| b 4|a| 4|a| b

【解析】因为 a + b = 2, b>0,所以
?

b |a| a b |a| a ? ?2 ? ? ? 1,当且仅当 时等号成立,此时 a ? ?2 , 4|a| b 4|a| 4|a| b 4|a|

或a ? 2 ,
3

若 a ? ?2 , 则
3

a 3 ?1 ? , 若a ? 2 , 则 a ? 1 ? 5 . 所以 1 ? | a | 取最小值时, 2|a| b 4| a | 4 4|a| 4 3

a ? ?2 .

【答案】-2 8.(2013·上海高考文科·T13)设常数 a>0.若 9x ? 正实数 x 成立,则 a 的取值范围为 【解析】 考查均值不等式的应用,
由题意知,当x ? 0时, f ( x) ? 9 x ? a2 a2 1 ? 2 9x ? ? 6a ? a ? 1 ? a ? x x 5

a2 ? a ? 1 对一切 x

.

【答案】 [ , ?) 9. (2013· 陕西高考文科· T14) 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲 建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长 x 为 (m).

1 5

x

40m

40m

【解题指南】设出矩形的高 y,由题目已知列出 x,y 的关系式,整理 后利用均值不等式解决应用问题. 【解析】设矩形高为 y, 由三角形相似得:
x 40 ? y ? , 且x ? 0, y ? 0, x ? 40, y ? 40 40 40

? 40 ? x ? y ? 2 xy , 仅当x ? y ? 20时,矩形的面积 s ? xy取最大值400.

【答案】20.

4

不等关系与不等式
一、选择题 1. (2013·北京高考文科·T2)设 a,b,c∈R,且 a>b,则( A.ac>bc B. ?
1 a 1 b

)

C.a2>b2

D.a3>b3

【解题指南】利用不等式的性质求解. 【解析】选 D.y=x3 在(-∞,+∞)上为增函数,所以 a3>b3. 2. (2013·浙江高考文科·T10)设 a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如 下:
a∧b= a, a≤b, b, a>b, a∨b= b, a≤b, a, a>b.

若正数 a,b,c,d 满足 ab≥4,c+d≤4,则

(

)

A.a∧b≥2,c∧d≤2 B.a∧b≥2,c∨d≥2 C.a∨b≥2,c∧d≤2 D.a∨b≥2,c∨d≥2 【解题指南】充分理解新定义的运算,根据它的运算性质求解. 【解析】选 C.因为 a∧b=min{a,b},a∨b=max{a,b},又 ab≥4,所以 a,b 中至少有一个大于等于 2,所以 a∨b≥2,排除 A,B;因为 c+d≤4,所以 c,d 中至少有一个小于等于 2,所以 c∧d≤2,故选 C. 二、填空题 3.(2013· 浙江高考文科· T16)设 a,b∈R,若 x≥0 时恒有 0≤x4-x3+ax+b ≤(x2-1)2,则 ab= .

【解题指南】 由不等式恒成立可取特殊值得到 a,b 的关系,再由不等式 恒成立求得 ab. 【解析】因为 x≥0 时,0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2 恒成立,所以当 x=1 时,0
5

≤a+b≤0 成立,所以 a+b=0,a=-b,当 x=0 时,0≤b≤1,所以-1≤a≤0,所以 原 不 等 式 为 0 ≤ x4-x3+ax-a≤(x2-1)2,ax-a ≤ x3-2x2+1, 所 以 a(x-1) ≤
1? (x2-x-1)(x-1),当 x>1 时, a≤x2-x-1= ? ?x? ? ? 2?
2

?

5 (x≥1)恒成立,得 a≤-1;所以 4

a=-1. 当 x<1 时,同理可得 a=-1,所以 ab=-a2=-1. 【答案】-1

6

一元二次不等式及其解法
一、选择题 1. (2013· 重庆高考文科· T7) 关于 x 的不等式 x2 ? 2ax ? 8a 2 ? 0 (a ? 0) 的解集为 ( x1 , x2 ) ,且 x2 ? x1 ? 15 ,则 a ? A.
5 2

(

)

B.

7 2

C.

15 4

D.

15 2

【解题指南】直接求出不等式的解集,根据 x2 ? x1 ? 15 求出 a 的值. 【解析】选 A.由题意知, 不等式 x2 ? 2ax ? 8a 2 ? 0 ( a ? 0 )的解集为
(?2a,4a) ,因为 x2 ? x1 ? 15 ,所以 4a ? (?2a) ? 15 ,解得 a ?
5 . 2
x

2.(2013·江西高考文科·T6)下列选项中,使不等式 x< 1 <x2 成 立的 x 的取值范围是( ) C.(0,1) D.(1, ?? )

A.( ?? ,-1)B. (-1,0)

【解题指南】转化为不等式组,应注意 x>0 与 x<0 的区别. 【解析】选 A.当 x ? 0 时不等式化为 ? ? 式化为 ? ?
?x 2 ? 1
3 ? ?x ? 1

?x 2 ? 1
3 ? ?x ? 1

,此时无解;当 x ? 0 时不等

,此时解得 x ? ?1.

3.(2013·安徽高考理科·T6)已知一元二次不等式 f (x)<0 的解集为
1? ? x ? x|x <-1或x > ? ,则 f (10 )>0 的解集为 2? ?



) D. {x |x<-lg2 }

A. {x |x<-1或x>lg2 }

B. {x |-1<x<lg2 }

C. {x |x>-lg2 }

【解题指南】根据一元二次不等式、指数函数、对数函数的图像与性 质进行判断.
1? 【解析】选 D。由 f (x)<0 的解集为 ? ? x|x <-1或x > ? ,可得 ? 2?
7

1 1 1 x f (x)=-(x- )(x+1)=-x 2 - x+ , 当 f( 1 0) > 0 2 2 2

1 x 1 l =- g l2 时, 有10 < 2 , 即x <g
2



4. (2013· 陕西高考理科· T9 ) 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲 建一个面积不小于 300m2 的内接矩形花园(阴影部分), 则其 边长 x(单位 m)的取值范围是 ( A. C. [15,20] [10,30] B. D. [12,25] [20,30] )
x 40m

40m

【解题指南】设出矩形的高 y,由题目已知列出 x,y 的关系式,整 理得 x 的一元二次不等式,解之可得 x 的取值范围. 【解析】选 C. 设矩形高为 y, 由三角形相似得:
x 40 ? y ? , 且x ? 0, y ? 0, x ? 40, y ? 40,xy ? 300, 整理得 40 40

y ? x ? 40, 将y ? 40 ? x代入xy ? 300,整理得x 2 ? 40x ? 300 ? 0,解之得 10 ? x ? 30.

5. (2013· 大纲版全国卷高考文科· T4) 不等式 x 2 ? 2 ? 2的解集是 ( A. ? -1,1? D. ? -2,0? ? ?0,2 ? B. ? -2, 2? C. ? -1,0? ? ? 0,1?



【解题指南】利用绝对值不等式 | x |? a(a ? 0) ,则 ? a ? x ? a ,去掉绝对 值. 【解析】选 D.由 | x 2 ? 2 |? 2 得, ? 2 ? x 2 ? 2 ? 2 ,即 0 ? x 2 ? 4 ,所以不等 式的解集为 ? -2,0? ? ? 0, 2? . 二、填空题 6. (2013·重庆高考文科·T15)设 0 ? ? ? ? ,不等式
8x2 ? (8sin ? ) x ? cos 2? ? 0 对 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围
8





【解题指南】因为不等式恒成立,所以判别式小于等于零,直接求解即 可. 【解析】因为不等式 8x2 ? (8sin ?) x ? cos 2? ? 0 对 x ? R 恒成立, 所以 ? ? 64sin 2 ? ? 32cos2? ? 0 ,即 64sin 2 ? ? 32 ? 64sin 2 ? ? 0 ,解得 sin ? ? 因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? [0, ] ? [
5? 【答案】 [0, ] ? [ , ? ] 6 6

?

?

6

5? ,? ] 6

1 2

7.(2013·上海高考文科·T1)不等式 【解析】 x(2 x ? 1) ? 0 ? x ? (0, ) 【答案】 (0, )
1 2

x <0 的解为 2x ? 1

.

1 2

8. (2013·广东高考理科·T9) 不等式 x2 ? x ? 2 ? 0 的解集 为 .

【解题指南】本题考查二次不等式的解法,注意应用口诀“小于取中 间”. 【解析】 x2 ? x ? 2 ? ( x ?1)( x ? 2) ? 0 ,解得 ?2 ? x ? 1 ,解集为 {x | ?2 ? x ? 1} . 【答案】 {x | ?2 ? x ? 1} .

9

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问 题
一、选择题 1.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T9)已知 a>0,x,y 满足约束条件
? x ?1 ? ? x ? y ? 3 若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a= ? y ? a ? x ? 3? ? 1 1 A. B. C.1 D.2 4 2

(

)

【解题指南】结合线性约束条件,画出可行域,由目标函数取得最小值 1,结合图形可求得 a. 【解析】选 B.画出不等式组表示的平面区域如图所示:

当目标函数 z=2x+y 表示的直线经过点 A 时,z 取得最小值,而点 A 的 坐标为(1,-2a),所以 2-2a=1,解得 a= , ,故选 B. 2.(2013·新课标全国Ⅱ高考文科·T3)设 x, y 满足约束条件
? x ? y ? 1 ? 0, ? ? x ? y ? 1 ? 0, ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是( ? x ? 3, ?

1 2

) D. ?3

A. ?7

B. ?6

C. ?5

【解题指南】结合线性约束条件,画出可行域,将目标函数平移得最 小值.
10

【解析】选 B.由 z=2x-3y 得 3y=2x-z,即 y ? x ? 。作出可行域如图,

2 3

z 3

平移直线 y ? x ? ,由图象可知当直线 y ? x ? 经过点 B 时,直线
y?

2 3

z 3

2 3

z 3

?x ? y ?1 ? 0 ? x ? 3 2 z x ? 的截距最大,此时 z 取得最小值,由 ? 得? ,即 3 3 ?x ? 3 ?y ? 4

B(3,4) ,代入直线 z=2x-3y 得 z ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?6 ,选 B.

3. (2013·陕西高考文科·T7)若点(x,y)位于曲线 y = |x|与 y = 2 所 围成的封闭区域, 则 2x-y 的最小值为 A. -6 B .-2 ( C. 0 ) D. 2

【解题指南】画出直线围成的封闭区域,把求 2x-y 最小值转化为求 y=2x-z 所表示直线的截距的最大值,通过平移可求解. 【解析】选 A. y ?| x | 与y ? 2 的图像围成一个三角形区域,3 个顶点的 坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 在封闭区域内平移直线 y=2x, 在点(-2,2) 时,2x – y = - 6 取最小值. 4. (2013·山东高考理科·T6)在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不
?2x ? y ? 2 ? 0 ? 等式组: ? x ? 2y ? 1 ? 0 ,所表示的区域上一动点,则直线 OM 斜率的 ? 3x ? y ? 8 ? 0 ?

最小值为 ( )
11

A.2

B.1

C. ?

1 3

D. ?

1 2

【解题指南】本题可先根据题意画出平面区域,然后利用数形结合找 出斜率的最值. 【解析】选 C. 作出可行域如图

由图象可知当 M 位于点 D 处时,OM 的斜率最小.由 ?
?x ? 3 ?1 1 ,即 D(3, ?1) ,此时 OM 的斜率为 ? ? . ? 3 3 ? y ? ?1

? x ? 2y ? 1 ? 0 得 ?3x ? y ? 8 ? 0

? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? 5.(2013·北京高考理科·T8)设关于 x,y 的不等式组 ? x ? m ? 0, 表 ?y ? m ? 0 ?

示的平面区域内存在点 P(x0,y0)满足 x0-2y0=2,求得 m 的取值范围 是(
?


3? 1? B. ? ? ??, ? 3 ? ? 2? C. ? ? ??, ? ? ? 3? 5? D. ? ? ??, ? ? ? 3?

4? A. ? ? ??, ? ?

【解题指南】作出平面区域,则区域的边界点中有一个在 x0-2y0=2 的上方,一个在下方。 【解析】选 C。作出可行域如下图所示:

12

要使可行域存在,必有 m ? ?2m ? 1 ,要求可行域内包含直线 y ? x ? 1 上 的点,只要边界点 (?m,1 ? 2m) 在直线 y ? x ? 1 上方,且 (?m, m) 在直线
? ?m ? 1 ? 2m, ? 2 1 1 ? y ? x ? 1 下方,解不等式组 ?1 ? 2m ? ? m ? 1, 得 m< ? . 3 2 2 ? 1 ? m ? ? m ? 1, ? ? 2
1 2

1 2

? x ? y ? 8, ?2 y ? x ? 4, 6. (2013· 四川高考文科· T8) 若变量 x, y 满足约束条件 ? 且 ? x ? 0, ? ? ? y ? 0,
z ? 5 y ? x 的最大值为 a ,最小值为 b ,则 a ? b 的值是(

) D. 16

A. 48

B. 30

C. 24

【解题指南】本题考查的是简单的线性规划问题,求解的关键是正确 的作出可行域,然后求出最大值与最小值. 【解析】选 C,作出可行域如图,

结合图形可知,当 y ? x ? z 经过点 A ? 4, 4 ? 时, z 取最大值 16,当
y?
13

1 5

1 5

1 1 x ? z 经过点 B ?8,0 ? 时, z 取最小值为-8,所以 a ? b ? 24 ,故选 C. 5 5

7. (2013·湖北高考文科·T9)某旅行社租用 A , B 两种型号的客 车安 排 900 名客人旅行, A , B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人, 租金 分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆, 旅行社要求租车总数不超过 21 辆, 且B 型车不多于 A 型车 7 辆.则租金最少为( ) A.31200 元 D.38400 元 【解题指南】利用线性规划求解. 【解析】选 C. 设 A 型、B 型车辆的数量分别为 x,y 辆,则相应的 运营成本为 1600x+2400y, 依题意, x, y 还需满足: x+y≤21, y≤x+7,
? x ? y ? 21, ? y ? x ? 7, ? 36x+60y≥900,于是问题等价于求满足约束条件 ? ?36 x ? 60 y ? 900, ? ? x, y ? 0, x, y ? N ,

B.36000 元

C.36800 元

要使目标函数 z ? 1600x ? 2400 y 达到最小值。作可行域如图所示,

可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12),Q(7,14),R(15,6), 由图可知,当直线 z=1600x+2400y 经过可行域的点 P 时,直线 z=1600x+2400y 在 y 轴上截距 型车 5 辆,B 型车 12 辆.
14

z 最小,即 z 取得最小值.故应配备 A 2400

zmin=1600x+2400y=1600×5+2400×12=36800(元). 8. (2013·天津高考文科·T2)与(2013·天津高考理科·T2)相同 设变量 x,y ( ) A.-7 B.-4 C.1 D.2
?3 x ? y ? 6 ? 0, 满足约束条件 ? ? x ? y ? 2 ? 0, 则目标函数 ? y ? 3 ? 0, ?

z=y-2x 的最小值为

【解题指南】画出约束条件所表示的可行域,平移直线 z=y-2x 至截距 最小即可. 【解析】选 A.由 z=y-2x,得 y=2x+z.作出不等式组对应的平面区域 ABC.

作直线 y=2x,平移直线 y=2x+z,由图象知当直线经过点 B 时,y=2x+z 的 截距最小,此时 z 最小.由 ? ? 所以最小值为-7.
? x ? y ? 2, ? 9.(2013·福建高考文科·T6)若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 1, 则 ? y ? 0, ?
x ? y ? 2 ? 0, ? y ? 3 ? 0,

得? ?

x ? 5,

? y ? 3,

代入 z=y-2x 得 z=3-2×5=-7.

z=2x+y 的最大值和最小值分别为 A.4 和 3 C.3 和 2 B.4 和 2 D.2 和 0

(

)

【解题指南】找出可行域,将各端点代入求出最值.
15

【解析】选 B.可行域如图所示,

可行域的三个端点为 ?1,0? , ? 2,0? , ?1,1? ,分别代入可得 zmin=2× 1+0=2,zmax=2×2+0=4.
? y ? 2x ? 10.(2013·湖南高考理科·T4)若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 , ? y ? ?1 ?

则x ? 2 y的最大值是 (

) C.
5 3

A. -

5 2

B. 0

D.

5 2

【解题指南】先作出约束条件对应的可行域,再求出顶点坐标,然后 找出最优解即可。
? y ? 2x ? 【解析】选 C.作出不等式组 ? x ? y ? 1 ,表示的平面区域, ? y ? ?1 ?

得到如图的△ABC 及其内部,

( ,) (- ,-1) 其中 A ,B ,C(2,-1).设 z=x+2y,将直线 l:z=x+2y 进行平移,
16

1 2

1 2 3 3

当 l 经过点 B 时,目标函数 z 达到最大值,所以 z 最大值= . 二、填空题 11. (2013·新课标Ⅰ高考文科·T14)设 x,y 满足约束条件
?1 ? x ? 3 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为______. ? ?? 1 ? x ? y ? 0

5 3

【解题指南】 画出 x,y 满足约束条件的可行域,平移目标函数,确定目标 函数取得最大值的位置,求出点的坐标,将该点坐标代入目标函数中. 【解析】画出可行域如图所示,

当目标函数 z ? 2 x ? y 过点 A(3,3) 时,取得最大值, Z max ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 【答案】 3 12. (2013·大纲版全国卷高考文科·T15)若 x、 y 满足约束条件
? x ? 0, ? ? x ? 3 y ? 4, 则 z ? ? x ? y的最小值为 ?3 x ? y ? 4, ?

.

【解析】画出 x、 y 满足约束条件的可行域,如图

17

可知过点 A 时,目标函数取得最小值,联立 ? 以 z min ? ?1 ? 1 ? 0 . 【答案】0.

?x ? 3 y ? 4 ,解得 A(1,1) ,所 ?3x ? y ? 4

? x ? 0, ? 13.(2013·大纲版全国卷高考理科·T15)记不等式组 ? x ? 3 y ? 4, 所 ?3 x ? y ? 4, ?

表示的平面区域为 D. 若直线
y ? a ? x ?1? 与D有公共点,则a的取值范围是

.

【解析】画出可行域如图所示,

当直线 y ? a( x ? 1) 过点 A (0,4) 时, 当直线 y ? a( x ? 1) 过 a 取得最大值为 4 , 点 (1,1) 时, a 取得最小值为 .所以 a 的取值范围为 [ ,4] . 【答案】 [ ,4] 14.(2013·浙江高考理科·T13)设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足
? x ? y ? 2≥0, ? ? x ? 2 y ? 4≥0, ,若 z 的最大值为 12,则实数 k= ? 2 x ? y ? 4≤0, ?
1 2 1 2 1 2

.

【解析】不等式组表示的可行域如图所示,

18

由 z=kx+y 可得 y=-kx+z,知其在 y 轴上的截距最大时,z 最大,由图知当
1 ? k< 且直线过点 A(4,4)时,z 取最大值 12,即 4k+4=12,所以 k=2. 2

【答案】2 15.(2013·浙江高考文科·T15)设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足
x≥2, ? ? ? x ? 2 y ? 4≥0, 若 z 的最大值为 12,则实数 k= ? 2 x ? y ? 4≤0, ?

.

【解题指南】根据不等式组画出可行域,再把目标函数 z 转化为在 y 轴上的截距. 【解析】不等式组表示的可行域如图所示,

由 z=kx+y 可得 y=-kx+z,知其在 y 轴上的截距最大时,z 最大,经检验 -k<0 且直线过点 A(4,4)时,z 取最大值 12,即 4k+4=12,所以 k=2. 【答案】2 16. (2013·江苏高考数学科·T9)抛物线 y=x2 在 x=1 处的切线与两坐 标轴围成的三角形区域为 D(包含三角形内部和边界).若点 P(x,y)是区 域 D 内的任意一点,则 x+2y 的取值范围是
19

.

【解题指南】先确定可行域,再通过平移目标函数求范围. 【解析】 由 y? ? 2 x 得抛物线 y ? x 2 在 x ? 1 处的切线方程为 y ?1 ? 2( x ?1) 即
y ? 2x ?1

即得可行域如图中阴影

目标函数 z ? x ? 2 y ? 2 y ? ? x ? z 平移目标函数经过点 A 时 x ? 2 y 最小 经过点 B 时 x ? 2 y 最大,故 x ? 2 y 的取值范围是 [ ?2, ] 【答案】 [ ?2, ]
? x ? 2 y ? 8, ? 17. (2013· 湖南高考文科· T13) 若变量 x,y 满足约束条件 ?0 ? x ? 4, ?0 ? y ? 3, ?
1 2 1 2

1 2

1 2

则 x+y 的最大值为________ 【解题指南】先作出约束条件对应的可行域,求出顶点坐标,然后找 出最优解即可。 【解析】画出可行域如图,

20

由?

? x ? 2 y ? 8, 得 A(4,2),目标函数 z=x+y 可看成斜率为-1 的动直线,其纵 ? x ? 4,

截距越大 z 越大,数形结合可得当动直线过点 A 时,z 最大=4+2=6. 【答案】6 18.(2013·安徽高考文科·T12)若非负数变量 x、y 满足约束条件
ì ? x-y ? 1, 则 x+y 的最大值为_____ í ? ? x + 2 y ? 4,

【解题指南】 作出可行域,求出最优点,得出最大值。
ì 2 ?x= ì x y = 1 2 5 镲 3 ? 【解析】由 眄 ,即点 A ,同理可得点 B(4,0) , ( ,) 5 镲 3 3 ? x +2y = 4 ?y= 3 ?

可行域如图阴影所示,

由图可知当直线 x + y = k 经过(4,0)时得所求的最大值是 4. 【答案】4
? x ? 0, 19.(2013·北京高考文科·T12)设 D 为不等式组 ? ?2 x ? y ? 0 ,表 ?x ? y ? 3 ? 0 ?

示的平面区域,区域 D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 ___________. 【解题指南】作出可行域 D,然后可以看出点(1,0)到 D 的距离
21

的最小值为点(1,0)到直线 2x-y=0 的距离。 【解析】作出可行域 D,

点(1,0)到区域 D 上点的最小距离即是点(1,0)到直线 2x-y=0 的距离, d ? 【答案】
| 2 ?1 ? 0 | 2 ?1
2 2

?

2 5 。 5

2 5 5

? x ? 4 y ? 4, ? 20.(2013·广东高考理科·T13)给定区域 D : ? x ? y ? 4, 令点集 ? x ? 0, ?

T ={(x0,y0)∈D| x0,y0∈Z,( x0,y0)是 z=x+y 在 D 上取得最大值或最小值的

点},则 T 中的点共确定____条不同的直线。 【解题指南】本题考查线性规划中的整点最优解问题,可列出整点验 算. 【解析】区域 D 是以 (0,1),(0, 4),(4,0) 为顶点的三角形内部区域(含边 界) , D 内的整点有
(0,1),(0, 2),(0,3),(0, 4),(1,1),(1, 2),(1,3),(2,1),(2, 2),(3,1),(4,0) , 这 11 个点是 z=x+y

在 D 上取得最大值或最小值的点为 (0,1),(0, 4),(1,3),(2, 2),(3,1),(4,0) , 这些 点共确定 6 条不同的直线. 【答案】6.
22

21.(2013·广东高考文科·T13)已知变量 x , y 满足约束条件
? x ? y ? 3 ? 0, ? z ? x ? y 的最大值是 ? ?1 ? x ? 1, 则 ? y ? 1, ?



【解题指南】 本题考查线性规划中的最优解问题, 可画出可行域计算. 【解析】可行域 D 是以 (?1,1),( ?1, 2),(1, 4),(1,1) 为顶点的直角梯形内部区 域(含边界) ,z=x+y 在 D 上取得最大值的点为 (1, 4) ,最大值是 5. 【答案】5. 22. (2013·山东高考文科·T14)在平面直角坐标系 xOy 中, M 为
?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 不等式组 ? ? x ? y ? 2 ? 0 所表示的区域上一动点,则 OM 的最小值为 ?y ? 0 ?

_______ 【解题指南】可画出不等式组表示的平面区域, OM 的最小值即为在 平面区域内找一点,使得这点与原点的距离最小. 【解析】作出可行域如图

易知过原点做直线 x ? y ? 2 ? 0 的垂线,即为 OM 的最小值,
OM min ? 0?0?2 12 ? 12
2.

? 2.

【答案】

23. (2013·陕西高考理科·T13)若点(x, y)位于曲线 y ?| x ? 1| 与 y=
23

2 所围成的封闭区域, 则 2x-y 的最小值为

.

【解题指南】画出直线围成的封闭区域,把求 2x-y 最小值转化为求 y=2x-z 所表示直线的截距的最大值,通过平移可求解. 【解析】封闭区域为三角形。令| x – 1 | = 2 , 解得 x1 ? ?1, x2 ? 3 ,所以 三角形三个顶点坐标分别为(1,0,) , (-1,2) , (3,2) ,在封闭区域内平 移直线 y=2x,在点(-1,2)处 2x-y 取最小值 – 4. 【答案】-4.

24

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