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山东省济宁市2013届高三下学期4月联考数学理试题


山东省济宁市 2013 届高三下学期 4 月联考数学理试 题
2013.4
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题
有一项是符合题目要求的.

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只

1.设全集 U=R,集合 M={x|x2+2x-3≤0) ,N={x|-1≤x≤4},则 M ? N 等于( A. {x | 1≤x≤4} 2.复数 B. {x |-1≤x≤3} C. {x |-3≤x≤4} )



D. {x |-1≤x≤1}

1? i 表示复平面内的点位于( 2?i

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知命题 p : m, n 为直线, ? 为平面,若 m // n, n ? ?, 则 m // ? ;命题 q : 若 a ? b, 则 ac ? bc ,则 下列命题为真命题的是( ) A. p 或 q B. ?p 或 q


C. ?p 且 q )

D. p 且 q

4.设 a=30 3,b=log ? 3,c=log0.3 e 则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c

D.c<a<b

5.将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ( ) A.y=sin 2x

?
6

) 的图象向右平移

? 个单位后,则所得的图象对应的解析式为 6
2? ) 3
D.y=sin(2x 一
4

B.y=cos 2x

C.y=sin(2x+

? ) 6
2

6.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的 直径为 4,该几何体的体积为 V1 ,直径为 4 的球的体积 为 V2 ,则 V1 : V2 ? ( A. 1: 2 C. 1:1 ) B. 2 :1 D. 1: 4

主视图

侧视图

.
俯视图

第 1 页 共 9 页

? x ? y ? 11 ? 0 ? 7.设实数 x,y 满足不等式组 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ,则 z=2x+y 的最大值为( ?x ? 0 ?



A.13 B.19 C.24 D.29 8. 左图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图, 1 次到 14 次的考试成绩依 第 次记为 A1 , A2 , ? , A14 . 右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图. 那么算法流程图输出的结果是( )

7 8 9 10 11

9 6 3 8 3 9 8 8 4 1 5 3 1 4

1

?

?

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

9.已知 f ? x ? ?

1 2 ?? ? x ? sin ? ? x ? , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图像是( ) 4 ?2 ?

2 10.设 a ? ?1 (3x 2 ? 2 x)dx ,则二项式 (ax 2 ? )6 展开式中的第 4 项为(

1 x

) D. ?240

A. ?1280x3 11.已知椭圆方程

B. ?1280

C. 240

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ,双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点是椭圆的顶点, 4 3 a b
) C.2 D.3

顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 ( A. 2 B. 3

12.已知定义在 R 上的函数 f(x) ,对任意 x∈R,都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若函 数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x=-1 对称,则 f(201 3)=( )

A.0

B.201 3

C.3
第 2 页 共 9 页

D.—201 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.已知不等式 x ? 2 ? x ≤ a 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是 14.航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验,要求 2 艘攻击型核潜艇一前一后, 2 艘驱逐舰和 2 艘护卫舰分列左、右,同侧不能都是同种舰艇,则舰艇分配方案的方法 数为 . 2 15.若圆 C 以抛物线 y =4x 的焦点为圆心, 截此抛物线的准线所得弦长为 6,则该圆 的标准方程是 1 6.根据下面一组等式 S1=1 S2=2+3=5 S3=4+5+6=1 5 S4=7+8+9+1 0=34 S5=1 1+1 2+1 3+1 4+1 5=65 S6=1 6+1 7+1 8+1 9+20+2 1=1 1 1 S7=22+23+24+25+26+27+28=1 75 …………………… 可得 S1+S3+S5+……+S2n-1= . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 12 分)已知锐角△ ABC 中的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a, b, c ,定义
?? ? ?? ? B 向量 m ? (2sin B, 3), n ? (2cos2 ?1,cos 2B), 且 m ? n. 2

(1)求 f ( x) ? sin 2 x cos B ? cos 2 x sin B 的单调减区间; (2)如果 b ? 4, 求 ?ABC 面积的最大值. 18.(本小题满分 12 分) 某产品按行业生产标准分成 6 个等级,等级系数 ? 依次为 1,2,3,4,5,6,按行业 规定产品的等级系数 ? ? 5 的为一等品, 3 ? ? ? 5 的为二等品, ? ? 3 的为三等品. 若某工厂生产的产品均符合行业标准,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系 数组成一个样本,数据如下;

第 3 页 共 9 页

(1)以此 30 件产品的样本来估计该厂产品的总体情况,试分别求出该厂生产原一等品、二 等品和三等品的概率; (2)该厂生产一件产品的利润 y(单位:元)与产品的等级系数 ? 的关系式为

?1,? ? 3 ? y ? ?2 , 3 ? ? ? 5 ,若从该厂大量产品中任取两件,其利润记为 Z,求 Z 的分布列和数学期 ? 4 ,? ? 5 ?
望. 19. (本小题满分 12 分) 如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2, CD ? ?CC1 (? ? R) (1)当 λ
=

1 时,求证 AB1 丄平面 A1BD; 2

(2)当二面角 A—A1D—B 的大小为

? 时, 求实数λ 3

的值.

20. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 数 列

?an ?

中 ,

a1 ? 1, an?1 ?

an , ? n ? N * ?. an ? 3

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? 3 ? 1
n
*

?

? 2n a , 数列 ?b ? 的前 n 项和为 T , 若不等式 ? ?1?
n n

n

n

n

? ? Tn

对一切 n ? N 恒成立,求 ? 的取值范围.

21、(本小题满分 12 分)
x2 y 2 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒 a b

数关系,直线 l : x ? y ? 2 ? 0 与以原点为圆心,以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 相切. (1)求椭圆 C 的方程;(2)设 M 是椭圆的上顶点,过点 M 分别作直线 MA, MB 交椭圆于 A,B 两点,设两直线的斜率分别为 k1,k2,且 k1+k2=4,证明:直 1 线 AB 过定点( ? ,-l). 2 22、(本小题满分 14 分)
2a 2 ? x( a ? 0 ) 已知函数 f ( x ) ? ?a ln x ? x

(1)若曲线 y ? f ( x ) 在点(1, f ?1? )处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,求实数 a 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调性;
第 4 页 共 9 页

(3)当 a ? ( ??,0 ) 时,记函数 f(x)的最小值为 g(a),求证:g(a)≥-e-4.

高三数学(理科)4 月考试参考答案
1 D 2 A 3 B 4 B 14、32 5 D 6 A
2

7 A

8 D

9 A 16、 n

10 A
4

11 C

12 A

13、 a ≥2

15、 ?x ? 1? ? y 2 ? 13

18

第 5 页 共 9 页

19.解: (Ⅰ)取 BC 的中点为 O ,连结 AO 在 正 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 面 ABC ? 面 CB1 , ?ABC 为 正 三 角 形 , 所 以

AO ? BC ,
故 AO ? 平面 CB1 . 以 O 为坐标原点建立如图空间直角坐标系

O ? xyz ,――――2 分
则 A(0,0, 3) , B1 (1, 2, 0) , D(?1,1, 0) ,

A1 (0, 2, 3) , B(1, 0, 0) .
所 以 AB1 ? ( 1 , ? , 2

????

, DA ? (1,1, 3) , 3 ) 1

???? ?

??? ? DB ? (2, ?1,0) ,
因为 AB1 ? DA ? 1 ? 2 ? 3 ? 0, AB1 ? DB ? 2 ? 2 ? 0 , 1 所以 AB1 ? DA , AB1 ? DB ,又 DA1 ? DB ? D , 1 所以 AB1 ? 平面 A BD . 1 ――――-6 分

???? ???? ?

???? ??? ?

( Ⅱ ) 由 ⑴ 得 D(?1, 2? , 0) , 所 以 DA ? (1, 2 ? , 3, DB ? (2, ?2?,0) , ? 2 ) 1

???? ?

??? ?

??? ? DA ? (1, ?2?, 3) ,
设平面 A BD 的法向量 n1 ? ( x, y, z) ,平面 AA D 的法向量 n2 ? (s, t, u) , 1 1

??

?? ?

?? ???? ? ?? ?n1 ? DA1 ? 0, ? ?2 ? ), 由 ? ?? ??? 得平面 A BD 的一个法向量为 n1 ? (? ,1, ? 1 3 n1 ? DB ? 0, ? ? ?? ? 同理可得平面 AA D 的一个法向量 n2 ? ( 3,0, ?1) , 1

第 6 页 共 9 页

?? ?? ? ?? ?? ? 1 n1 ? n2 1 ?? ? ,解得 ? ? ,为所求.――――12 分 ? 由 cos ? n1 , n2 ?? ?? 4 | n1 | ? | n2 | 2

第 7 页 共 9 页

第 8 页 共 9 页

a

?? ?,?e ?
?4

? e ?4
0 极小值

?? e ,0?
?4

g ??a ?

负 减函数

正 增函数

g ?a ?

?????????????12 分 又 g ?a?min ? g - e?4 ? -e?4 ??????????13 分 所以当 a ? ( ??,0 ) 时, g(a)≥-e-4??????????14 分

?

?

第 9 页 共 9 页


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