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东北师大附中上学期2011届高三第三次摸底考试解析:数学(文)


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东北师大附中 2011 届上学期高三第三次摸底考试

数学(文)试题
说明: 本试卷分为第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分.总分 150 分,考试时间 120 分 钟. 注意事项: 1.答第Ⅰ 卷前,考生务必将自己姓名、考号、考试科目用 2B 铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案. 3.将第Ⅰ 卷选择题的答案涂在答题卡上,第Ⅱ 卷每题的答案写在答题纸的指定位置. 4.考试结束,将答题纸和答题卡一并交回,答案写在试卷上视为无效答案. 参考公式:圆锥表面积公式: S ? ? r ? r ? l ? ( r 是圆锥底面半径, l 是母线)

1 2 3 4? R 3 球体积公式: V ? (R 是球的半径) 3

圆锥体积公式: V ? ? r h ( r 是圆锥底面半径, h 是高)

第Ⅰ (选择题 卷

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) . 1.已知集合 M ? x y ? A. ?x |1 ? x ? 3? C. ?x | 2 ? x ? 3?

?

? x 2 ? 3x , N ? ?x || x |? 2? ,则 M ? N ?
B. ?x | 0 ? x ? 3? D. x 2 ? x ? 3

?





?

?

【答案】D 【分析】根据集合的含义,把集合 M , N 具体求出来,再根据集合的运算法则进行计算。
2 【解析】集合 M 是函数 y ? ? x2 ? 3x 的定义域,即 x 满足 ? x ? 3x ? 0 ,解得 0 ? x ? 3 ,

, 2) ? ) 即 M ? [0,3] ; 集 合 N 是 不 等 式 x ? 2 的 解 集 , 即 N ? ( ? ? ? ? ( 2 , ?, 所 以 M ? N ? (2,3] 。
【考点】集合。 【点评】 本题考查集合的意义和交集运算。 在集合的试题中明确集合的含有是解题的关键之 一,其要点是关注集合的代表元素,如本题中集合 M 的代表元素是 x ,是函数的定义域, 不是函数的值域。 2.命题“存在 x0 ? R, 2
x0

? 0”的否定是
x

( B.存在 x0 ? R, 2
x0



A.不存在 x0 ? R, 2 0 >0 C.对任意的 x ?R, 2 ? 0
x

?0
x

D.对任意的 x ? R, 2 >0

【答案】D。 【分析】根据含有量词的命题否定的法则解决即可。 【解析】已知命题的否定是“对于任意的 x ? R , 2 ? 0 ”。 【考点】常用逻辑用语。 【点评】特称命题的否定是全称命题,全称命题的否定是特称命题。
x

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3.已知: a ? log0.7 0.9 b ? log1.1 0.7,c ? 1.10.9 ,则 a,b,c 的大小关系为 , A. a ? b ? c C. b ? a ? c 【答案】C。 【分析】以 0,1 为标准进行比较即可。 B. a ? c ? b D. c ? a ? b





【解析】b ? log1.1 0.7 ? log1.1 1 ? 0 ,0 ? log0.7 1 ? log0.7 0.9 ? log0.7 0.7 ? 1 ,故 0 ? a ? 1 ,

c ? 1.10.7 ? 1.10 ? 1 。所以 b ? a ? c 。
【考点】基本初等函数Ⅰ 。 【点评】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用。在使用函数性质比较大小时,一个方 面是用好函数的单调性,另一个方面是确定中间值,根据中间值进行比较,常用的中间值是 0,1 。 4.有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位:cm) ,则该几何体的体积为: ( )
5 6 正视图 5 5 6 侧视图 5

6

俯视图

A. 12? cm3 B. 15? cm3 C. 36? cm3 D. 48? cm3 【答案】A。 【分析】根据空间几何体的三视图把几何体还原出来,根据面积和体积公式进行计算即可。 【解析】根据三视图,这个空间几何体是底面半径为 3cm ,母线长度为 5cm 的圆锥,其高 度为 4 ,故其表体积为 ? r h ? 12? (cm ) 。
2 3

1 3

【考点】空间几何体。 【点评】本题考查空间几何体的三视图和圆锥的表面积、体积计算。在高考中空间几何体的 三视图一般是与表面积、 体积计算相互交汇, 在计算面积时要注意计算的是表面积 (全面积) 还是侧面积。

sin 2 35? ?
5.化简 A.

sin 20?

1 2?
B. ?
2





1 2

1 2

C. ?1

D. 1

【答案】B. 【分析】对分子上的 sin 35? 进行降幂。

sin 2 35? ?
【解析】

1 1 ? cos 70? 1 ? 2? 2 2 ? ? cos 70? ? ? 1 。 ? sin 20 sin 20? 2sin 20? 2

【考点】简单的三角恒等变换。 【点评】 在三角恒等变换中二倍角的余弦公式占有重要位置, 这个公式可以实现升幂和降幂。

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2 2

6.已知实数 a 、 b ,则“ ab ? 2 ”是“ a ? b ? 4 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A
2 2 2 2





【分析】根据不等式 a ? b ? 2ab ,当 ab ? 2 时一定有 a ? b ? 2ab ? 4 ,反之不成立, 举反例即可。 【解析】条件是充分的,但不是必要的,如 a ? ?2, b ? 2 ,显然满足 a ? b ? 4 ,但不满
2 2

足 ab ? 2 。 【考点】常用逻辑用语 【点评】 充要条件的考查一般要以数学基础知识为素材, 这个考点可能涉及的知识面是极为 广泛的。
2 7.函数 f ? x ? ? log 2 x ? 5 x ? 6 的单调减区间为

?

?





A. ? ,?? ?

?5 ?2

? ?

B. ?3,???

C. ? ? ?, ?

? ?

5? 2?

D. ?? ?,2?

【答案】D。 【分析】在注意定义域的情况下,根据复合函数是单调性判断方法进行。 【解析】函数的定义域是 (??, 2) ? (3, ??) ,根据复合函数单调性的判断方法,函数

f ? x ? ? log 2 ? x 2 ? 5 x ? 6 ? 的单调递减区间是 (??, 2) 。

【考点】基本初等函数Ⅰ。 【点评】本题考查复合函数单调性的判断方法。复合函数单调性的判断方法是:在函数的定 义域内,内外两层函数的单调性相同时,复合后的函数单调递增,内外两层的函数单调性相 反时,复合后的函数单调递减。 8.已知点 P 在曲线 y ? sin x 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是 ( )

A. ? 0,

? ?? ? 4? ?

B. ?

? ? 3? ? , ?4 4 ? ?

C. ?0, ? ? ? , ? ? D. [ , ? ) 4 ? 4? ? 4 ?

? ??

? 3?

?

3?

【答案】C 【分析】根据函数 y ? sin x 的导数的值域确定曲线上切线的斜率范围,根据斜率与倾斜角 的关系,再确定倾斜角的范围。 【解析】 y ' ? cos x ,这个函数的值域是 [?1,1] ,故曲线 y ? sin x 上在任意点处的切线的斜 率在 [?1,1] ,根据性质是斜率和倾斜角的关系,直线的倾斜角的正切在 [?1,1] 取值,故倾斜 角的范围是 ?0,

? ? ? ? 3? ? ? ,? ? 。 ? 4? ? 4 ? ? ?

【考点】导数及其应用 【点评】 本题在导数的几何意义和正切函数的性质、 直线的斜率和倾斜角的关系的交汇处命 制,较为全面地考查基础知识和方法。 9.已知数列 ?an ? 是正项等比数列, ?bn ? 是等差数列,且 a6 ? b8 ,则 ( ) A. a3 ? a9 ? b9 ? b7 C. a3 ? a9 ? b9 ? b7 B. a3 ? a9 ? b9 ? b7 D. a3 ? a9 ? b9 ? b7

【答案】B。 【分析】根据基本不等式和等差数列、等比数列的性质即可。 【解析】 a3 ? a9 ? 2 a3a9 ? 2 a6 ? 2a6 ? 2b8 ? b9 ? b7 。
2

【考点】不等式、数列。

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【 点 评 】 本 题 在 基 本 不 等 式 和 数 列 之 间 交 汇 命 制 。 在 等 差 数 列 ?an ? 中

am ? an ? a p ? aq ? m ? n ? p ? q






*







?an ?



am ? an ? ap ? aq ? m ? n ? p ? q ,其中 m, n, p, q?N ,是最经常使用的重要性质,本题
中就是使用的其特殊情况 p ? q 时的情况。
? ? ? ? 10.已知向量 a ? cos 75 ,sin 75 , b ? cos15 ,sin15 ,那么 a ? b =

?

?

?

?

?

?

? ?





A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.1

【答案】D。 【分析】根据平面向量模的意义进行具体运算。

【 解 析 】 a ? b ? (a ? b)? a ? b) ? a ? 2a? ? b ? 1 ? 2cos(75? ? 15?) ? 1 ? 1 , 所 以 ( b

? ?2

? ?

? ?

?2

? ? ?2

? ? a ? b ? 1。
【考点】平面向量、简单的三角恒等变换。 【 点 评 】 本 题 交 汇 平 面 向 量 和 三 角 恒 等 变 换 命 制 。 在 平 面 向 量 中

? ? a? a?

? ? a? cao s

? ? 2 ? a a ,这个关系式是根据平面向量数量积的概念得到的,利用这个 , ? a

关系可以把求平面向量的模转化为求平面向量的数量积。 11.定义两种运算: a ? b ?

a 2 ? b 2 , a ? b ? (a ? b) 2 ,则函数 f ? x ? ?

2? x 2 ? ? x ? 2?
( )

A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A. 【分析】根据给出的新运算法则,把函数 f ( x ) 的解析式求出来,再根据奇偶函数的定义进 行判断。 【 解 析 】

2 ? x ? 4 ? x2
? ?x 4 2 ? 2 ? (2 ? x)



x ? 2 ? ( x ? 2) 2







2 ? ( x ? 2) 2 f (? x) ? ? f ( x) ,故函数 f ( x) 是奇函数。

f ( x) ?

4 ? x2

?x 4 2 ,该函数的定义域是 [?2, 0) ? (0, 2] 且满足 x

【考点】基本初等函数Ⅰ 。 【点评】本题根据给出的新定义求函数解析式,再判断函数的奇偶性,属于创新类试题。在 判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域, 只有定义域区间关于坐标原点对称时这个 函数才可能具备奇偶性,否则就是非奇非偶的函数。 12.已知定义在 R 上的函数 f ( x)、g ( x) 满足

f ( x) ? a x ,且 f '( x ) g ( x )? f ( x ) g '(x ) , g ( x)


? f ( n) ? 31 f (1) f (?1) 5 ? ? ,有穷数列 ? ? ( n ? N * )的前 n 项和等于 , 则 n 等于( 32 g (1) g (?1) 2 ? g (n) ?
A.4 【答案】B。 B.5 C.6
x

D.7

【分析】根据给出的导数关系,利用导数判断函数 a 的单调性,确定 a 的取值范围,再根

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? f ( n) ? f (1) f (?1) 5 进而求出数列 ? 列方程求解 n 值。 ? ? 求出 a 值, ? 的前 n 项和, g (1) g (?1) 2 ? g (n) ? f ( x) f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) 【解析】令 h( x) ? ,则 h '( x) ? ? 0 ,故函数 h( x) 为减函数, g 2 ( x) g ( x) 即 0 ? a ? 1。
据已知的

1 5 1 f (n) ? 1 ? f (1) f (?1) 5 再根据 , ? ? ,得 a ? ? ,解得 a ? 2 (舍去)或者 a ? 。 ? a 2 2 g (n) ? 2 ? g (1) g (?1) 2 ? ? 1 1 (1 ? n ) ? f ( n) ? 2 2 ? 1 ? 1 ,由于1 ? 1 ? 31 ,所以 n ? 5 。 数列 ? ? 的前 n 项和是 1 2n 32 2n ? g (n) ? 1? 2
n

【考点】导数及其应用、数列。 【点评】本题交汇了指数函数、导数研究函数的单调性、等比数列等知识,以方程思想为指 导命制,充分体现了高考命题的原则。

第Ⅱ 卷
13.函数 f ? x ? ?

(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题纸相应位置上. )

1 的定义域为____________________. log 2 ? x ? 2 ? 【答案】 (2,3) ? (3, ??)
【分析】对数的真数大于零,分母不等于零。 【解析】 x 满足 x ? 2 ? 0, x ? 2 ? 1 ,故函数的定义域是 (2,3) ? (3, ??) 。 【考点】基本初等函数Ⅰ。 【点评】求函数的定义域就是求出使函数的解析式有意义的自变量的范围。 14 . 已 知 m>0,n>0, 向 量 a ? ? m 1?,b?? 1 ? , , 且 a / / b 则 , , n1 ? 是 .

?

?

?

?

1 2 ? 的最小值 m n

【答案】 3 ? 2 2 。 【分析】根据两个向量平行的充要条件,得出正数 m, n 满足的关系式,再根据基本不等式 求最值。 【 解 析 】 向 量 a ∥ b 的 充 要 条 件 是 m ?1 ? 1? (1 ? n) , 即 m ? n ? 1 , 故

?

?

1 2 ? ? (m ? n m n

n m2 ? 1 ?2 ) ? ?? ? ? 3 ? ?3 ? m n ?m n?

2。 2

【考点】平面向量、不等式。 【点评】 使用基本不等式求二元函数最值时一定要注意等号成立的条件, 在求解过程中尽可 能的只使用一次基本不等式, 如果使用两次基本不等式则需要验证两次不等式是否等号成立 的条件相同,如果两次不等式等号成立的条件产生矛盾,则求解结果就是错误的。本题采用 的常数代换法可以避免两次使用基本不等式。 15.对于函数 f ? x ? ? x ? 2x ,在使 f ? x ? ? M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最大
2



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-1 叫做 f ? x ? ? x 2 ? 2x 的下确界,则函数 g ? x ? ? 【答案】

x2 ? 1

? x ? 1?

2

的下确界为

.

1 。 2

【分析】 根据题意, 函数的下确界就是函数的最小值, 问题等价于求函数 g ? x ? ? 最小值。

x2 ? 1

? x ? 1?

2



1 2x 2x ? 1, , 其中 2 即由于 x ? ?1 , ?1 ? 2 故 ?1, 2x x ?1 x ?1 ? x ? 1? 1 ? 2 x ?1 1 所以函数 g ( x) 的最小值为 。 2
【解析】g ? x ? ?
2

x2 ? 1

?

【考点】不等式。 【点评】 本题是新定义试题, 这类试题就是把新定义域转化为我们熟悉的数学问题进行解答。 16.已知 ?ABC 中, ?A、 ?B、 ?C 所对的边长分别为 a、 b、 c ,则下列条件中能推出 ?ABC 为锐角三角形的条件是_________. (把正确答案的序号都写在横线上)

1 . 5 ? ③ b ? 3, c ? 3 3 , B ? 30 .
①sin A ? cos A ?

② AB? BC ? 0 . ④ tan A ? tan B ? tan C ? 0 .

? ?? ? ??

【答案】④ 【分析】个悲剧给出的各个条件,判断三角形内角的范围。

12 1 ,两端平方得 sin A cos A ? ? ,此时 A 为钝角;根据数量 5 25 ? ?? ? ?? b c 3 ? 积的定义 AB? BC ? 0 得 B 是钝角;由正弦定理 ,得 sinC ? ,可得 sin B sin C 2 C ? 60? 或 者 120? , 也 不 是 锐 角 三 角 形 ; 根 据 三 角 形 的 内 角 关 系 可 得 tan? tan A B? t a? C n At a n B t a C ,只能是 tan 0 , tan B, tan C 均大于零。 n tan ? A
【解析】由 sin A ? cos A ? 【考点】解三角形。 【点评】这类试题属于多项选择题,在解题中要逐个认真验证,稍有不慎就容易出错、 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分) 设函数 f ? x ? ? ax ? 2 ? a ? 0? , (Ⅰ )不等式 | f ? x ? |? 6 的解集为 ? ?1, 2? ,求 a 的值; (Ⅱ )在(Ⅰ )的条件下,试求不等式

x 1 ? ? 的解集. f ? x? 2

【分析】 (1) | f ? x ? |? 6 等价于 ?6 ? f ( x) ? 6 ,解带有参数 a 的这个不等式即可得到不等 式的解集,再根据已知的解集,比较即得 a 值; (2)把不等式的一端化为零,然后采取等价 转化的方法转化为一元二次不等式的解、 【解析】 )? ax ? 2 ? 6,??8 ? ax ? 4, (Ⅰ

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?4 ? a ? ?1 ? 4 8 ?? ,? a ? ?4 ?x?? , 当 a ? 0 时, . 8 ?? ? 2 a a ? a ?
(Ⅱ )由(Ⅰ )知 f ? x ? ? ?4x ? 2

?

x 1 ? ? ,变形得: ?4 x ? 2 2 ?( x ? 1)(2 x ? 1) ? 0 1 x ?1 解得: x ? 1或x ? . ? ? 0即? 2 2x ?1 ?2 x ? 1 ? 0
∴ 原不等式的解集为 ? x | x ? 1或x ?

? ?

1? ? 2?

【考点】不等式。 【点评】 带有绝对值的不等式是 《不等式选讲》 的内容, 简单的分式不等式课标也没有要求, 但是简单分式不等式可以根据不等式的性质转化为一元二次不等式, 在转化时注意转化的等 价性。 18.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin ?
2

?? ? ? x ? ? 3 cos 2 x . ?4 ? ?? ? ? ? ?

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (II)若不等式 f ( x) ? m ? 1 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 6 4 【分析】 (1)把已知的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式,根据三角函数的性 质 求 解 ;( 2 ) 不 等 式 f ( x) ? m ? 1 , 等 价 于 m ? 1 ? f ( x) ? m ? 1 , 故 只 要

m ?1 ? f ( x)min , m ?1 ? f ( x)max 即可。

?? ?? ? 2 x ?? ? 3 cos 2 x ?2 ?? ? 2? ?? ? ? ?. ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? ,? T ? 2 3? ? ?? ? ? (II)∵ x ? ? , ? , ?6 4? ? ? ?? ? ∴0 ≤ 2 x ? ≤ ,即1≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤2 , 3 6 3? ? ∴ f ( x)max ? 2,f ( x)min ? 1 .
【解析】 ) ∵ f ( x) ? ?1 ? cos ? (Ⅰ

?

∵ f ( x) ? m ? 1 ? f ( x) ?1 ? m ? f ( x) ? 1 ,
?? ? ? ∵x?? , ? ?6 4? ? m ? f ( x ) max ? 1 ∴? ,2 ,∴1 ? m ? 2 ,即 m 的取值范围是 (1 ) . ? m ? f ( x ) min ? 1
【考点】基本初等函数Ⅱ。 【点评】 本题考查三角函数的性质。 在三角函数解答题中考查三角函数性质也是一个主要命 题方向, 这类试题中给出的三角函数往往要先通过三角恒等变换的方法, 把已知的三角函数
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式化为一个角的一个三角函数的形式,再根据基本三角函数的性质解决问题。 19.(本题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对 n ? N ,都有 an ? 5Sn ? 2 成立,
*

(Ⅰ 求数列 ?an ? 的通项公式; ) (Ⅱ )设数列 bn ? log2 an ,试求数列 ?bn ? 的前 n 项和 M n . 【分析】 (1)把已知的 an ? 5Sn ? 2 升或者降一个角标后,两式相减即可得到数列 ?an ? 为 等比数列,令 n ? 1 求出 a1 ,即可得到数列 ?an ? 的通项公式; (2)等比数列加绝对值后还是 等比数列、取对数后是等差数列,直接按照公式进行计算即可。 【解析】(Ⅰ n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 2 ? 5a1 ? 2 ,∴a1 ? ? )当

1 . 2

1 1 ? an ? 2 ? ? ? an?1 ? 2 ? 5 5 1 an 1 ? an ? ? an ?1 , 即 ?? 4 an ?1 4 1 1 ∴ 数列 ?an ? 成等比数列,其首项 a1 ? ? ,公比为 ? 2 4
当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ?

1 ? 1? ? 数列 ?an ? 的通项公式 an ? ? ? ? ? ? . 2 ? 4? n 1? 2 n (Ⅱ )由(Ⅰ an ? ? ?1? ? 2 )知 ,?bn ? log2 an ? 1 ? 2n .

n ?1

?bn?1 ? bn ? ?2,??bn ? 为等差数列,且首相为 b1 ? ?1 ,公差为 ? 2.
?Mn ? n ? ?1 ? 1 ? 2n ? ? ?n2 2

【考点】数列。 【点评】本题考查数列中 an , S n 的关系、等比数列的概念与通项、错位相减求和的方法。高 考对数列试题考查的难度在下降,主要考查数列的基本问题、两类基本数列、数列求和,主 要是根据公式求和、错位相减求和、裂项求和,在一些数列试题中也可能和不等式问题进行 交汇。 20. (本题满分 12 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,点 A 在 x 轴的正半轴上,直线 AB

5? ? ? 5? ? , OB ? 1 ,设 ?AOB ? ? , ? ? ? , ?. 6 ?2 6 ? (Ⅰ ? 表示 OA ; )用 ??? ??? ? ? (Ⅱ tan ? ? ? 2 ,求 OA ? OB 的值. )若
的倾斜角为

【分析】 (1)根据正弦定理即可; (2)根据第一问的结果和平面向量数量积的定义,把求
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的数量积转化为求三角函数的值。 【解析】(Ⅰ ?AOB 中, OB ? 1 , ?BAO ? )在

?
6

, ?OBA ?

5? ?? . 6

OA . ? ? 5? ? sin sin ? ?? ? 6 ? 6 ? ? 5? ? ? ? 5? 所以 OA ? 2sin ? ? ? ? (其中 ? ? ? , ? 6 ? ?2 6
由正弦定理,得

OB

?

? ? ). ?

(Ⅱ 由(Ⅰ 得 ) )

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? 5? ? OA ? OB ?| OA | ? | OB | cos? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? cos2 ? ? 3 sin ? cos? ? 6 ? ? ? 5? ? 因为 tan ? ? ? 2 , ? ? ? , ?, ?2 6 ? 2 1 所以 sin ? ? ,cos ? ? ? . 3 3 ??? ??? ? 1 ?2 ? ? 2 ? 1 ? 1? 6 则 OA ? OB ? ? ? ?? ? ? ? 3? ?? 3 . 3? 3 ? 3? ?
【考点】解三角形、平面向量、三角恒等变换、 【点评】本题在众多知识点的交汇处命制,是一道难度不大,但综合度很多的试题。在三角 形有关的问题中往往要先通过正弦定理、 余弦定理得到其中边角满足的一些关系式, 再结合 其它的已知条件解决问题。 21.(本题满分 12 分) 已 知 数 列 ?an ? 的 各 项 都 为 正 数 , a1 ? 1 , 前 n 项 和 S n 满 足 S n ? S n?1 ? ( n ? 2 ). (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式;

S n ? S n?1

1 ? ( n ? N ) 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , an?1 ? ?Tn 对任意正整数 n , 若 a n a n ?1 都成立,求实数 ? 的取值范围.
(Ⅱ 令 bn ? ) 【分析】 (1)通过对 S n ? S n?1 ?

S n ? S n?1 进行因式分解,可得

? S ? 为等差数列,这
n

样就可以求出 Sn ,再根据 an , S n 的关系求解 an ; (2)求出 Tn ,分离参数,问题等价于

???

? an ?1 ? ? 。 ? Tn ? min

【解析】 )∵S n ? S n?1 ? (Ⅰ 又∵an ? 0 ,∴ S n ? ∴ 数列
n

S n ? S n?1 , S n ? S n?1 ,
S1 ? 1 ,公差为 1,

∴( S n ? S n?1 )( S n ? S n?1 ) ?

? S ?是等差数列,首项为

, S n?1 ? 0 ,∴ S n ? S n?1 ? 1 ( n ? 2 )

∴ S n ? 1 ? n ? 1 ? n ,∴S n ? n

2

2 2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? n ? (n ? 1) ? 2n ? 1 ;

又 a1 ? 1 ,∴ 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1 .

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1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ) ? (1 ? )? ∴Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? . 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 n 由 an?1 ? ?Tn 得 2n ? 1 ? ? ? 对任意正整数 n 都成立, 2n ? 1 ∴(2n ? 1) 2 ? ?n ,
(Ⅱ bn ? )

(2n ? 1) 2 4n 2 ? 4n ? 1 1 ? ? 4n ? 4 ? . n n n 1 1 令 f ( x ) ? 4 x ? ( x ? 1) ,则 f ?( x) ? 4 ? 2 ? 0 , x x ∴ f (x) 在 ?1, ? ? ?上递增, 1 ∴ 对任意正整数 n , 4 n ? 的最小值为 5,∴? ? 9 . n
∴? ? 【考点】数列、不等式。 【点评】本题考查数列和不等式的综合。高考试题中的数列解答题,难度稍微大一点的试题 一般都与不等式相关,特别是求和式与不等式的关系,在复习中要注意这个特点。 22. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? (Ⅱ )若 x ? (0, 1) ,求 f (x) 的单调区间. 【分析】 (1) a ? 1 时, 在 求出函数 f ( x ) 在 (0,1] 的极值, 如果在 (0,1] 内有唯一的极大值点, 就是最大值点,如果在 (0,1] 无极值点,在函数在这个区间单调,根据单调性解答; (2)根 据函数 f ( x ) 的导数的符号以及导数等于零的根与区间 (0,1) 的关系进行讨论。

(Ⅰ )若 a ? 1 ,求 f (x) 在 ?0, 1? 上的最大值;

1 ? a(3 ? ln x) ( a ? 0 ). x

1 ? 3 ? ln x , x 1 3 (x ? )2 ? 1 1 x2 ? x ?1 2 4, 则 f ?( x) ? 1 ? 2 ? ? ? 2 2 x x x x 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f (x) 在 ?0, 1? 上单调递增, ∴ f (x) 在 ?0, 1? 上的最大值为 f (1) ? 3 .
【解析】 ) a ? 1 时, f ( x) ? x ? (Ⅰ

1 a x 2 ? ax ? 1 2 ? ? ( 0 ? x ? 1) ,判别式 ? ? a ? 4 . x2 x x2 ∵0 ? x ? 1 , a ? 0 ,∴ ? ? 0 时, 当 2 即 0 ? a ? 2 时, x ? ax ? 1 ? 0 ,因此, f ?( x) ? 0 , 此时, f (x) 在 ?0, 1? 上单调递增,即 f (x) 只有增区间 ?0, 1? . 2 当 ? ? 0 时,即 a ? 2 时,方程 x ? ax ? 1 ? 0 有两个不等根,
(Ⅱ f ?( x) ? 1 ? ) 设 x1 ?

a ? a2 ? 4 , 2 a ? a2 ? 4 ,则 0 ? x1 ? x2 . 当 x 变化时, f ?(x) , f (x) 的变化如下: x2 ? 2 x ( x1 , x2 ) x2 (0, x1 ) x1 ( x 2 , ??)
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f ?( x ) f ( x)

+ 单调递增
2

0 极大值
2

— 单调递减

0 极小值

+ 单调递增

a? a ?4 a?2? a ?4 . ?1 ? 2 2 ∵a ? 2 ,∴a ? 2 ? 0 . x1 ? 1 ?
而 (a ? 2) 2 ? a 2 ? 4a ? 4 , ( a 2 ? 4 ) 2 ? a 2 ? 4 ,由 a ? 2 可得

a 2 ? 4a ? 4 ? a 2 ? 4 ,∴a ? 2 ? a 2 ? 4 ,∴x1 ? 1 ? 0 ,∴x1 ? 1 .

a ? a2 ? 4 a ? 2 ? a2 ? 4 ,由 a ? 2 可得 x2 ? 1 ? 0 ,∴x2 ? 1 . ?1 ? 2 2 ? a ? a2 ? 4 ? ? a ? a2 ? 4 ? 因此,当 a ? 2 时, f (x) 的增区间为 ? 0, ,减区间为 ? , 1? . ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? x2 ? 1 ?
【考点】导数及其应用。 【点评】本题考查导数在研究函数性质中的应用。本题的难点是第二问,即讨论函数 f ( x ) 在 区 间 (0,1) 上 的 单 调 性 , 由 于 函 数 的 导 数 符 号 以 及 导 数 等 于 零 的 点 可 以 由 函 数

g ( x) ? x2 ? ax ? 1 符号和零点确定,因此需要根据判别式进行分类讨论,在判别式大于零 时,即 a ? 2 时,二次函数的对称轴是 x ? 1 ,以及 g (0) ? 0 根据二次函数的零点分布规律 可知一定在区间 (0,1) 内和 (1, 2) 内各有一个零点。
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