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湖南省浏阳一中2019届高三上学期第二次月考试题 数学理_图文

浏阳一中 2019 年下学期高三年级第二次月考试题

理科数学
时量:120 分钟 总分:150 分

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中。 只有一个符合题目要求. 1.已知集合 A ? {x x ? 1} , B ? {x x 2 ? 2 x ? 0} ,则 A ? B ? A. {x x ? 0} B. {x x ? 1} C. {x 1 ? x ? 2} D. {x 0 ? x ? 2}

2.下列命题的说法 错误 .. 的是 A.若复合命题 p ? q 为假命题,则 p, q 都是假命题. B. “ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件. C.对于命题 p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0, 则 ?p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 .
2 2 D 命题“若 x ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 3 x ? 2 ? 0 ”

3.下列函数中,既是奇函数又在区间 ? 0, ?? ? 上单调递增的是
1 B. y ? e x ? e ? x C. y ? x 3 ? x D. y ? x ln x x 4.已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项和 S10 ?

A. y ? x ?

A. 85

B. 135

C. 95

D. 23

3 3 5.下列三个数: a ? ln ? , b ? ln ? ? ? , c ? ln 3 ? 3 ,大小顺序正确的是 2 2 A.a ? c ? b B.a ? b ? c C.a ? c ? b D.b ? a ? c

6.已知函数① y ? sin x ? cos x ,② y ? 2 2 sin x cos x ,则下列结论正确的是 ? A.两个函数的图象均关于点 (? , 0 ) 成中心对称 4 ? B.两个函数的图象均关于直线 x ? ? 对称 4
·1·

? ? C.两个函数在区间 (? , ) 上都是单调递增函数 4 4 ? D.可以将函数②的图像向左平移 个单位得到函数①的图像 4

7.已知向量 a ? (1,3 ) , b ? (?2, m ) ,若 a 与 a ? 2b 垂直,则 m 的值为 A. 1 B. ?1 C. ?
1 2

D.

1 2

? x ? 1, ? 8.已知 a ? 0 , x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3, 若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1 ,则 a ? ? y ? a ( x ? 3) ?

A.

1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2
a b ? ? 2c ,则 ?A 的大小是 sin B sin A

9.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 A.

?
2

4 6 π π 10.已知函数 f ( x) ? a cos x ? x sin x , x ? [? , ] .当 1 ? a ? 2 时,则函数 f ( x ) 极值 2 2 点个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

B.

?
3

C.

?

D.

?

11.设 a, b 为单位向量,若向量 c 满足 c ? (a ? b) ? a ? b ,则 c 的最大值是( A. 2 2 B.2 C. 2 D.1 )



12.已知 a 为常数,函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则( A. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?
1 2 1 C. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? 2

B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?
1 2

1 2

·2·

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。共 20 分.

? ?? 4 ? 13.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为______ 6? 5 12 ?
?x +x,x<0, 14.设函数 f(x)=? 2 ?-x ,x≥0,
2

若 f(f(a))≤2,则实数 a 的取值范围是________.

15.若函数 f(x)= | e x ?

a ? 1 ? | 在 x ? ? ? ,1? 上增函数,则实数 a 的取值范围是__. x e ? 2 ?
n

3+?-1?n-1 16.若数列{an}与{bn}满足 bn+1an+bnan+1=(-1) +1, , bn= , n∈N+,且 a1=2, 2 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S63=________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,数列 {bn } 是等比数列,满足 a1 ? 3, b1 ? 1 ,

b2 ? S 2 ? 10, a5 ? 2b2 ? a3 . (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;
(Ⅱ)令 设数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ,求 T2 n . ?2 ? , n 为奇数, cn ? ? Sn ?b , ? n n 为偶数,

18.(本小题满分 12 分) 有甲乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀统计 成绩后,得到如下的列联表. 已知在全 优秀 非优秀 总计 部 105 人 甲班 10 中抽到随 乙班 30 机抽取 1 合计 105 人为优秀 2 的概率为 . 7 (Ⅰ)请完成上面的列联表; (Ⅱ)根据列联表的数据,若按 95% 的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系” ; (Ⅲ)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进
·3·

行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到 6 或 10 号的概率. n(ad ? bc) 2 参考公式: K2 ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 参考数据:
P ( K 2 ? k0 )

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

k0

0.010sj .fjjy.o rg 6.635

19.(本小题满分 12 分) 如 图 , 在 △ ABC 中 , B ?

? , BC ? 2 , 点 D 在 边 A B 3 D? D C, D 上, A E? A C, E 为垂足.
3 3

A

(Ⅰ)若△ BCD 的面积为
6 2

,求 CD

的长;

E D

(Ⅱ)若 D E ?

,求角 A 的大小.

B

C

20.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°. (1)证明 AB⊥A1C; (2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。

21.(本小题满分 12 分) 如图所示,椭圆 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且 A(0,2)是椭圆 C 的顶点. 2 5 a b
·4·

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 A 作斜率为 1 的直线 l ,设以椭圆 C 的右焦点 F 为抛物线 E : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的 焦点,若点 M 为抛物线 E 上任意一点,求点 M 到直线 l 距离的最小值.

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? m ? ln(2 x) . (1)设 x ? 1 是函数 f ( x) 的极值点,求 m 的值并讨论 f ( x) 的单调性; (2)当 m ? 2 时,证明: f ( x) > ? ln 2 .

·5·

浏阳一中 2019 年下学期高三年级第二次月考理科数学参考答案
一 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1-5 AABCA 6-10 CBBCC 11-12 AD 二、填空题(每小题 5 分。共 20 分) 13

17 2 50

14 (-∞, 2]

15

? 1 1? ? , ? ? e e? ?

16 560

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分) 17、 (本小题满分 12 分) 解 (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d,数列 {bn } 的公比为 q,则
?b ? S2 ? 10, ?q ? 6 ? d ? 10, ?d ? 2, 由? 2 得? 解得 ? ?q ? 2, ?a5 ? 2b2 ? a3 , ?3 ? 4d ? 2q ? 3 ? 2d , 所以 an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 , bn ? 2n ?1 .

…………………5 分

(Ⅱ)由 a1 ? 3 , an ? 2n ? 1 得 Sn ? n(n ? 2) , 1 ? 2 ?1 , n 为奇数, ? n(n ? 2) , n 为奇数, c ? ? ? 则 cn ? ? 即 n ?n n ? 2 ?2n ?1 , ?2n ?1 , n 为偶数, ? n 为偶数, ? T2 n ? (c1 ? c3 ? ? c2 n ?1 ) ? (c2 ? c4 ? ? c2 n ) 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] ? (2 ? 23 ? ? 22 n ?1 ) 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

…………………6 分

…………………8 分

?1?

1 2(1 ? 4n ) 2n 2 ? ? ? (4n ? 1) 2n ? 1 1? 4 2n ? 1 3

…………………10 分

18(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) 甲班 乙班 合计 (Ⅱ)根据列联表中的数据,得到 优秀 10 20 30 非优秀 45 30 75 总计 55 50 105 ……………4分

k?

105 ? (10 ? 30 ? 20 ? 45) 2 ? 6.109 ? 3.841 55 ? 50 ? 30 ? 75

因此有 95%的把握认为“成绩与班级有关系”. ……………8 分 (Ⅲ)设“抽到 6 或 10 号”为事件 A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为(x,y).
·6·

所有的基本事件有(1,1) 、 (1,2) 、 (1,3) 、……、 (6,6) ,共 36 个. 事件 A 包含的基本事件有: (1,5) 、 (2,4) 、 (3,3) 、 (4,2) 、 (5,1) (4,6) 、 (5,5) 、 (6、4) , 共 8 个? P ( A) ?

8 2 ? . 36 9

……………12 分

19(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由已知得 S ? B C D ?

1 3 , B C ? B D ? sin B ? 2 3

又 BC ? 2 , s i n B ?

3 2

得B D ?

2 3
2

…………3 分

在△ BCD 中,由余弦定理得

CD ?
2 3 7

2 1 ?2? ? 2 ? ? ? ? 2? 2? ? ? 2 7 , 3 2 ?3? 3
2

所以 CD

的长为

…………………………….6 分

(Ⅱ)因为 CD ? AD ?

DE 6 ? sin A 2 sin A
BC CD ,又 ? , B D C?2 A ? sin ? BDC sin B

………….8 分

在△ BCD 中,由正弦定理得



2 6 , ? sin 2 A 2 sin A sin 60 ?

解得 c o s A ?

2 2

,所以 A ?

? 即为所求 4

…………….12 分

20(本小题满分 12 分) (Ⅰ)取AB中点E,连结CE, A1 B , A1 E ,∵AB= AA1 , ?BAA1 = 600 , ∴ ?BAA1 是正三角形,∴ A1 E ⊥AB, ∵ CE ? A1 E =E,∴AB⊥面 CEA1 , ∵CA=CB, ∴AB⊥ A1C ; ∴CE⊥AB, ……6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 EC⊥AB, EA1 ⊥AB, 又 ∵ 面 ABC ⊥ 面 ABB1 A1 , 面 ABC ∩ 面
·7·

ABB1 A1 =AB,∴EC⊥面 ABB1 A1 ,∴EC⊥ EA1 ,
∴EA,EC, EA1 两两相互垂直,以 E 为坐标原点, EA 的方向为 x 轴正方向,| EA |为单位长度,建 立如图所示空间直角坐标系 O ? xyz , 由题设知 A(1,0,0), A1 (0, 3 ,0),C(0,0, 3 ),B(-1,0,0),则 BC =(1,0, 3 ), BB1 = AA1 =(- 1,0, 3 ), A1C =(0,- 3 , 3 ), 设 n = ( x, y, z ) 是平面 CBB1C1 的法向量, 则? ……9 分

? ?n ? BC ? 0 ? ?n ? BB1 ? 0

,即 ?

? ? x ? 3z ? 0 ? ?x ? 3y ? 0

,可取 n =( 3 ,1,-1),

∴ cos n, A1C =

n ? A1C 10 , | n || A1C | 5
10 . 5
……12 分

∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为

21(本小题满分 12 分) 解:(1)由题意可知, b ? 2

c2 a2 ? 4 1 c 5 ,即 2 ? ? ,? a 2 ? 5 e? ? 2 a a 5 a 5
? 所以椭圆 C 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 5 4
………….5 分

(2)由(1)可求得椭圆 C 的右焦点 F 坐标(1,0)

? 抛物线 E 的方程为: y 2 ? 4 x ,而直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0
2 y0 设动点 M 为 ( , y0 ) ,则点 M 到直线 l 的距离为 4
2 y0 1 ? y0 ? 2 | | ( y0 ? 2) 2 ? 1 | 1 2 d? 4 ? 4 ? ? . 2 2 2 2

|

·8·

即抛物线 E 上的点到直线 l 距离的最小值为

2 . 2

………….12 分

(22) (本小题满分 12 分) 解证: (Ⅰ) f ?( x) ? e x ? m ?

1 ,由 x ? 1 是 f ( x) 的极值点得 f ?(1) ? 0 , x
………………………………2分

即 e1? m ? 1 ? 0 ,所以 m ? 1 . 于是 f ( x) ? e
x ?1

1 , f ?( x) ? e x ?1 ? , ? ln(2 x),(x ? 0) x 1 由 f ??( x) ? e x ?1 ? 2 ? 0 知 f ?( x) 在 x ? (0, ??) 上单调递增,且 f ?(1) ? 0 , x
所以 x ? 1 是 f ?( x) ? 0 的唯一零点. ……………………………4分

因此,当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,所以,函数 f ( x) 在 (0,1) 上单 调递减,在 (1, ??) 上单调递增. ……………………………5 分 (Ⅱ)解法一 解:当 m ? 2 , x ? (0, ??) 时, e x ? m ? e x ? 2 , 故只需证明当 m ? 2 时, f ( x) > ? ln 2 . ………………………………6 分 当 m ? 2 时,函数 f ?( x) ? e x ? 2 ? 又 f ?(1) ? 0, f ?(2) ? 0 , 故 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上有唯一实根 x0 ,且 x0 ? (1, 2) .…………………8 分 当 x ? (0, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ( x0 , ??) 时, f ?( x) ? 0 , 从而当 x ? x0 时, f ( x) 取得最小值且 f ?( x0 ) ? 0 .
x ?2 由 f ?( x0 ) ? 0 得 e 0 ?

1 在 (0, ??) 上单调递增, x

1 , ln x0 ? 2 ? x0 .…………………………………10 分 x0

故 f ( x) ? f ( x0 )

f ( x0 ) ? e x0 ? 2 ? ln(2 x) =

1 1 ? ln 2 ? 2 ? x0 = ( ? x0 ) 2 ? ln 2 ? ? ln 2 . x0 x0
·9·

综上,当 m ? 2 时, f ( x) ? ? ln 2 . …………………………12 分 解法二:当 m ? 2 , x ? (0, ??) 时, e x ? m ? e x ? 2 ,又 e x ? x ? 1 ,所以

e x?m ? e x?2 ? x ? 1 .

………………………………………8分

取函数 h( x) ? x ? 1 ? ln(2 x)( x ? 0) ( x ? 0) , h' ( x) ? 1 ?

1 ,当 0 ? x ? 1 时, h' ( x) ? 0 , h( x) 单调 x

递减;当 x ? 1 时, h' ( x) ? 0 , h( x) 单调递增,得函数 h( x) 在 x ? 1 时取唯一的极小值即最小值为

h(1) ? ? ln 2 . ……10 分
所以 f ( x) ? e
x?m

? ln(2 x) ? e x ? 2 ? ln(2 x ) ? x ? 1 ? ln(2 x ) ? ? ln 2 ,而上式三个不等号不能同时成

立,故 f ( x) > ? ln 2 .…………………………………12 分

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·10·


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