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二轮复习之运用向量法解题的思路及方法(基础篇)


二轮复习之运用向量法解题的思路及方法(基础篇)
适用学科 适用区域
高中数学 人教版

适用年级 课时时长(分钟)

高三 60

1、利用向量知识求点到点,点到线,点到面,线到线,线到面,面到面的距离

知识点

2、利用向量知识求线线角,线面角,二面角的大小。 3、利用向量知识解决平行与垂直问题。 4、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。 1、 空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索

教学目标

性试题提供了简便、快速的解法。 2、 它的实用性是其它方法无法比拟的,因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识,提高使用向 量的熟练程度和自觉性

教学重点

1、利用向量知识求线线角,线面角,二面角的大小。 2、利用向量知识解决平行与垂直问题。 1、利用向量知识求点到点,点到线,点到面,线到线,线到面,面到面的距离 2、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。

教学难点

教学过程
一、高考解读
平面向量是新教材改革增加的内容之一,近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力 度,本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析,解决一些相关问题
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二、复习预习
??? ? ??? ? AB ? CD (1) 设 l1 , l2 是两条异面直线, 则 l1 , l2 所成的角为 arccos ??? C , D 是直线 l2 上的任意两点, A, B 是 l1 上的任意两点, ? ??? ? AB ? CD
( 2 ) 设 AB 是 平 面 ? 的 斜线 , 且 B ? ? , BC 是 斜线 AB 在 平 面 ? 内 的 射影 ,则 斜线 AB 与 平 面 ? 所 成 的角 为 ??? ? ??? ? ? AB ? BC arccos ??? ? ??? ? 。 设 n 是 平 面 ? 的 法 向 量 , AB 是 平 面 ? 的 一 条 斜 线 , 则 AB 与 平 面 ? 所 成 的 角 为 AB ? BC ??? ? ? ??? ? ? A B ? n A?B n ? ?a r c c o s? ? ,或者arcsin ??? ??? ? ? 。 2 A B? n A? B n ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 (3)设 n1 , n2 是二面角 ? ? l ? ? 的面 ? , ? 的法向量,则 ? n1 , n2 ?? arc cos ?? ?? ? 就是二面角的平面角或补角的大小。 n1 ? n2

三、知识讲解
考点 1
1、求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得,方法是:求出平面的一个法向量的坐 ? ???? n ? MP ???? ???? ? ???? 标,再求出已知点 P 与平面内任一点 M 构成的向量 MP 的坐标,那么 P 到平面的距离 d ? MP ? cos ? n, MP ? ? ? n ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 2、设 n1 , n2 是二面角 ? ? l ? ? 的面 ? , ? 的法向量,则 ? n1 , n2 ?? arc cos ?? ?? ? 就是二面角的平面角或补角的大小。 n1 ? n2

考点 2
1 解决关于向量问题时,一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换,正确地进行向量的各种运算,加深
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对向量的本质的认识
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二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想
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2 向量的数量积常用于有关向量相等,两向量垂直、射影、夹角等问题中 常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂
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直和平行问题;利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题 3 用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考
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(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决?需要用到哪些向量? (2)所需要的向量是否已知?若未知,是否可用已知条件转化成的向量直接表示? (3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示, 则它们分别最易用哪个未知向量表示?这些未知向量与 由已知条件转化的向量有何关系? (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算,才能得到需要的结论?

四、例题精析
例题 1 在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A' B'C ' D' 中, EF 分别是 BC, A' D' 的中点,
' 与DE 所成角; (1)求直线 AC

z

(2)求直线 AD 与平面 B' EDF 所成的角, (3)求平面 B' EDF 与平面 ABCD 所成的角
B'

A'

F

D'
C'

A B E

G D

y

x

C

a 【规范解答】 (1)如图建立坐标系,则 A' (0, 0, a), C (a, a, 0), D(0, a, 0), E (a, , 0) 2 ???? ???? ' ???? ???? ???? ???? a AC ? DE 15 ' ? A'C ? (a, a, ?a), DE ? (a, ? , 0) , ? cos ? AC , DE ?? ???? ???? ? ' 2 15 AC ? DE
' 与DE 所成的角为 arccos 故 AC

15 15

(2)? ?ADE ? ?ADF , 所以 AD 在平面 B' EDF 内的射影在 ? EDF 的平分线上,又 B' EDF 为菱形,
? DB' 为 ? EDF 的平分线,故直线 AD 与平面 B' EDF 所成的角为 ?ADB' ,

???? ? ??? ? 建立如图所示坐标系, 则 A(0,0,0), B' (a,0, a), D(0, a,0) ,? DA ? (0, ?a,0), DB' ? (a, ?a, a) , ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? 3 DA ? DB' 3 故 AD 与平面 B' EDF 所成角为 arccos ? cos ? DA, DB' ?? ??? ? ? ? ???? 3 3 DA ? DB' ?? ???? a 由 A(0, 0, 0), A' (0, 0, a), B ' (a, 0, a), D(0, a, 0), E (a, , 0) , 所以平面 ABCD 的法向量为 m ? AA' ? (0,0, a) 2 ???? ??? ? ? a a 下面求平面 B' EDF 的法向量, 设 n ? (1, y, z) ,由 ED ? (?a, , 0), EB ' ? (0, ? , a) , 2 2

? ??? ? ? ? ?? ? n ? ED ? 0 ?y ? 2 ? ,? n ? (1, 2,1) ? cos ? n, m ?? ? ? ? ???? ?? ' z ?1 ? ?n ? EB ? 0 ?
所以平面 B' EDF 与平面 ABCD 所成的角 arccos
6 6

?? ? m?n 6 , ?? ? ? 6 m?n

【总结与思考】 (1)设 l1 , l2 是两条异面直线, A, B 是 l1 上的任意两点, C , D 是直线 l2 上的任意两点,则 l1 , l2 所成的角 ??? ? ??? ? AB ? CD 为 arccos ??? ? ??? ? AB ? CD ( 2 ) 设 AB 是 平 面 ? 的 斜线 , 且 B ? ? , BC 是 斜线 AB 在 平 面 ? 内 的 射影 ,则 斜线 AB 与 平 面 ? 所 成 的角 为 ??? ? ??? ? AB ? BC arccos ??? ? ??? ?。 AB ? BC ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 (3)设 n1 , n2 是二面角 ? ? l ? ? 的面 ? , ? 的法向量,则 ? n1 , n2 ?? arc cos ?? ?? ? 就是二面角的平面角或补角的大小。 n1 ? n2

例题 3 如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1,底面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,

z
C1 B1 M A1

M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点
??? ? (1)求 BN 的长;

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???? ???? (2)求 cos< BA1 , CB1 >的值;
(3)求证
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N

o
A

C B

y

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A1B⊥C1M

x
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【规范解答】(1)解 依题意得
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如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 O-xyz

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B(0,1,0),N(1,0,1)
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??? ? ∴| BN |= (1 ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (1 ? 0) 2 ? 3
(2)解
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依题意得

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A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2)
z
C1 A1 M

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???? ???? ∴ BA1 = (1, ?1,2), CB1 =(0,1,2) ???? ???? BA1 ? CB1 =1×0+(-1)×1+2×2=3 ???? | BA1 |= (1 ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (2 ? 0) 2 ? 6
???? | CB1 |? (0 ? 0) 2 ? (1 ? 0) 2 ? (2 ? 0) 2 ? 5
x

B1

N

o
A

C B

y

???? ???? ???? ???? BA1 ? CB1 3 30 ? ???? ? ? cos ? BA1 , CB1 ?? ???? ? . | BC1 | ? | CB1 | 6 ? 5 10
(3)证明
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依题意得

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C1(0,0,2),M( , ,2 )

1 1 2 2

????? 1 1 ???? C1M ? ( , , 0), A1 B ? (?1,1, ?2) 2 2 ???? ????? ???? ????? 1 1 ∴ A1 B ? C1M ? (?1) ? ? 1? ? (?2) ? 0 ? 0,? A1 B ? C1M , 2 2

∴A1B⊥C1M

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【总结与思考】解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系 O-xyz,进而找到点的坐标和求出向量的坐标 可以
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先找到底面坐标面 xOy 内的 A、B、C 点坐标,然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标

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例题 4 如图, ABCD ? A1B1C1D1 是正四棱柱,侧棱长为 3,底面边长为 2,E 是棱 BC 的中点。 (1)求证: BD1 //平面 C1DE ; (2)求二面角 C1 ? DE ? C 的大小 (3)在侧棱 BB1 上是否存在点 P ,使得 CP ? 平面 C1DE ?证明你的结论。

【规范解答】 (1)建立空间直角坐标系 D ? xyz ,则又 D(0,0,0) , B(2, 2,0) , C (0, 2,0) , C1 (0, 2,3) , D1 (0,0,3) , E (1, 2, 0) 连接 CD1 ,与 C1D 相交于 O ,连接 EO 易知 O (0,1,1.5)

???? ? ??? ? ∴ BD1 ? (?2, ?2,3), EO ? (?1, ?1,1.5)

???? ? ??? ? ∴ BD1 ? 2EO

∴ EO // BD1

又 BD1 ? 平面 C1DE , EO ? 平面 C1DE

∴ BD1 // 平面 C1DE

(2) 解: 过点 C 做 CH ? DE 于 H , 连接 C1H , 在正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, CC1 ? 平面 ABCD ∴ C1H ? DE , C1HC 是二面角 C1 ? DE ? C 的平面角

???? ???? ? 根据平面几何知识,易得 H (0.8,1.6,0) ∴ HC ? (?0.8,0.4,0), HC1 ? (?0.8,0.4,3) ???? ???? ? ???? ???? ? HC ?HC1 2 ∵ cos C1HC ? cos( HC ?HC1 ) ? ???? ???? ? ? HC ?HC1 7
2 2 ∴ ?C1 HC ? arccos ∴二面角 C1 ? DE ? C 的大小为 arccos 7 7

(3)解:在侧棱 BB1 上不存在点 P ,使得 CP ? 平面 C1DE 证明如下:假设 CP ? 平面 C1DE ,则必有 CP ? DE

??? ? ??? ? 设 P(2, 2, a) ,其中 0 ? a ? 3 ,则 CP?DE ? 2 ? 0 ,这显然与 CP ? DE 矛盾
∴假设 CP ? 平面 C1DE 不成立,即在侧棱 BB1 上不存在点 P ,使得 CP ? 平面 C1DE 【总结与思考】空间向量中的二面角问题及探索性问题的考察

例题 5

如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? 底面 ABCD,AD=PD,E,F 分别 CD、PB 的中点.

(1)求证:EF ? 平面 PAB; (2)设 AB= 2 BC,求 AC 与平面 AEF 所成角的大小.
x C F E A y z P

D

B

【规范解答】 (1)证明:建立空间直角坐标系(如图) , 设 AD=PD=1,AB= 2a ( a ? 0 ) ,
??? ? ??? ? ??? ? 1 1 1 1 则 E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1), F ( a, , ) .得 EF ? (0, , ) , PB ? (2a,1, ?1) , AB ? (2a,0,0) . 2 2 2 2 ??? ? ??? ? 1 1 由 EF ? AB ? (0, , ) ? (2a, 0, 0) ? 0 , 2 2
??? ? ??? ? 得 EF ? AB ,即 EF ? AB ,
z P

同理 EF ? PB ,又 AB ? PB ? B , 所以,EF ? 平面 PAB. (2)解:由 AB ? 2BC ,得 2a ? 2 ,
B

x C

F

E A y

D

即a ?

2 1 1 2 2 . 得 E( , , ) , C( 2,0,0) . , 0, 0) , F ( 2 2 2 2 2

??? ? ??? ? ??? ? 1 1 2 有 AC ? ( 2, ?1,0) , AE ? ( , ?1, 0) , EF ? (0, , ) . 2 2 2

设平面 AEF 的法向量为 n ? ( x, y,1) ,

1 1 1 ? ?1 ??? ? ( x, y,1) ? (0, , ) ? 0 y? ?0 ? ? ? 2 2 2 ? ?2 ?n ? EF ? 0 ?? ?? 由 ? ??? , ? 2 2 n ? AE ? 0 ? ?( x, y,1) ? ( ? , ?1, 0) ? 0 ? x? y ?0 ? ? ? 2 ? 2

? ? y ? ?1 解得 ? . 于是 n ? (? 2, ?1,1) . x ? ? 2 ? ?

??? ? ??? ? 设 AC 与面 AEF 所成的角为 ? , AC 与 n 的夹角为 ? AC, n ? . ??? ? ( 2, ?1,0) ? (? 2, ?1,1) AC ? n ??? ? 3 则 sin ? ? cos ? AC, n ? ? ??? . ? ? ? 6 2 ?1? 0 2 ?1?1 AC ? n
得 ? ? arcsin
3 3 . 所以,AC 与平面 AEF 所成角的大小为 arcsin . 6 6

课程小结
1、求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得,方法是:求出平面的一个法向量的坐 ? ???? n ? MP ???? ???? ? ???? 标,再求出已知点 P 与平面内任一点 M 构成的向量 MP 的坐标,那么 P 到平面的距离 d ? MP ? cos ? n, MP ? ? ? n ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 2、设 n1 , n2 是二面角 ? ? l ? ? 的面 ? , ? 的法向量,则 ? n1 , n2 ?? arc cos ?? ?? ? 就是二面角的平面角或补角的大小。 n1 ? n2 3、解决关于向量问题时,一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换,正确地进行向量的各种运算,加 深对向量的本质的认识
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二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想
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4、向量的数量积常用于有关向量相等,两向量垂直、射影、夹角等问题中 常用向量的直角坐标运算来证明向量的
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垂直和平行问题;利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题 5、用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考
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(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决?需要用到哪些向量?

(2)所需要的向量是否已知?若未知,是否可用已知条件转化成的向量直接表示? (3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示, 则它们分别最易用哪个未知向量表示?这些未知向量与 由已知条件转化的向量有何关系? (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算,才能得到需要的结论?


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