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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义:第一章 易错题目辨析练——集合与常用逻辑用语


易错题目辨析练——集合与常用逻辑用语
A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1. 已知集合 P={y=x2+1},Q={y|y=x2+1},R={x|y=x2+1},M={(x,y)|y=x2+1},N ={x|x≥1},则 A.P=M C.R=M 答案 D 解析 集合 P 是用列举法表示的,只含有一个元素,即函数 y=x2+1.集合 Q,R,N 中 的元素全是数,即这三个集合都是数集,集合 Q={y|y=x2+1}={y|y≥1},集合 R 是一 切实数.集合 M 的元素是函数 y=x2+1 图像上所有的点.故选 D. 2. 命题“对任意的 x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是 A.不存在 x∈R,x -x +1≤0 B.存在 x∈R,x3-x2+1≤0 C.存在 x∈R,x3-x2+1>0 D.对任意的 x∈R,x3-x2+1>0 答案 C 解析 由已知得,对任意的 x∈R,x3-x2+1≤0,是全称命题.它的否定是特称命题, “任意的”的否定是“存在”,“≤0”的否定是“>0”,故选 C. 3.“2a>2b”是“log2a>log2b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 若 2a>2b,只能得到 a>b,但不能确定 a,b 的正负性, 当 0>a>b 时,log2a,log2b 均无意义,更不能比较其大小,从而未必有“log2a>log2b”; 若 log2a>log2b,则可得 a>b>0,从而有 2a>2b 成立. 综上,“2a>2b”是“log2a>log2b”的必要不充分条件. 4. 已知集合 A={x|x2- mx+1=0},若 A∩R=?,则实数 m 的取值范围为 A.m<4 B.m>4 ( ) ( )
3 2

( B.Q=R D.Q=N

)

(

)

C.0<m<4 答案 A

D.0≤m<4

解析 ∵A∩R=?,则 A=?,即等价于方程 x2- mx+1=0 无实数解,即 Δ=m-4<0, 即 m<4,选 A. 注意 m<0 时也表示 A=?. 5. 定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合 A={1,2},B={3,4},则 集合 A⊙B 所有元素之积为 A.4 500 C.345 600 答案 C 解析 依题意,x,y 的取值应为 x=1,y=3;x=1,y=4;x=2,y=3;x=2,y=4. 从而 A⊙B={12,20,30,48}. 故所有元素之积为 12×20×30×48=345 600. 二、填空题 6. 设集合 M={y|y=2 x,x<0},N={a|a= b-1},则 M∩N=________.


( B.342 000 D.135 600

)

答案

{x|x>1}


解析 ∵y=2 x,x<0,∴M={y|y>1}, ∴集合 M 代表所有大于 1 的实数; 由于 N={a|a= b-1}, ∴a= b-1≥0,∴N={a|a≥0}, ∴集合 N 代表所有大于或等于 0 的实数, ∴M∩N 代表所有大于 1 的实数,即 M∩N={x|x>1}. 7. 设集合 A、B 是全集 U 的两个子集,则“A∪B=B”是“?UA??UB”的________条件. 答案 充要 解析 由 Venn 图知?UA??UB?A?B,而 A∪B=B?A?B. 8. 设 A,B 为两个集合,给出下列三个命题: ①A ②A ③A B 是 A∩B≠A 的充要条件; B 是 A?B 的必要条件; B 是“存在 x∈A,使得 x?B”的充要条件.

其中真命题是________.(写出所有真命题的序号) 答案 ①③ 解析 因为 A?B?A∩B=A,A?B?A∪B=B, 又原命题与它的逆否命题是等价的,所以①是真命题;

对于②,由于 A?B 包含了 A=B 的情形,而此时 A?B 成立,故②是假命题; 对于③,它的正确性不言自明. 三、解答题 9. 已知集合 A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y},若 A=B,求 x,y 的值. 解 由 A=B 知需分多种情况进行讨论, 由 lg(xy)有意义,则 xy>0. 又 0∈B=A,则必有 lg(xy)=0,即 xy=1. 此时,A=B,即{0,1,x}={0,|x|,y}. x=|x|, ? ? ∴?xy=1, ? ?y=1, x=y, ? ? 或?xy=1, ? ?|x|=1,

解得 x=y=1 或 x=y=-1.

当 x=y=1 时, A=B={0,1,1}与集合元素的互异性矛盾,应舍去; 当 x=y=-1 时, A=B={0,-1,1}满足题意,故 x=y=-1. 10.已知 p:x2-8x-20≤0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, 求实数 m 的取值范围. 解 由 x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10. 由 x2-2x+1-m2≤0(m>0),得 1-m≤x≤1+m. ∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, ∴q 是 p 是必要不充分条件, 即 p 是 q 的充分不必要条件,即 p?q 且 qD?/p, ∴{x|-2≤x≤10}是{x|1-m≤x≤1+m,m>0}的真子集, m>0, ? ? ∴?1-m<-2, ? ?1+m≥10, m>0, ? ? 或?1-m≤-2, ? ?1+m>10.

即 m≥9 或 m>9.

∴m≥9.∴实数 m 的取值范围为 m≥9. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) 1.“a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 ( )

D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若“a=1”,则函数 f(x)=|x-a|=|x-1|在区间[1,+∞)上为增函数;而若 f(x)= |x-a|在区间[1,+∞)上为增函数,则 0≤a≤1,所以“a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区 间[1,+∞)上为增函数”的充分不必要条件,选 A. 2. 下列命题的否定中真命题的个数是 ①p:当 Δ<0 时,方程 ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈R)无实根; ②q:存在一个整数 b,使函数 f(x)=x2+bx+1 在[0,+∞)上是单调函数; ③r:存在 x∈R,使 x2+x+1≥0 不成立. A.0 答案 B 解析 由于命题 p 是真命题,∴命题①的否定是假命题; 命题 q 是真命题,∴命题②的否定是假命题; 命题 r 是假命题,∴命题③的否定是真命题. 故只有一个是正确的,故选 B. 3. 已知集合 M={x|x=a2-3a+2, a∈R}, N={x|y=log2(x2+2x-3)}, 则 M∩N=________. 答案 {x|x>1} B.1 C.2 D.3 ( )

3?2 1 1 解析 ∵a2-3a+2=? ?a-2? -4≥-4, 1? ? ∴M=?x|x≥-4?;
? ?

由 x2+2x-3>0,即(x-1)(x+3)>0, 解得 x>1 或 x<-3,故 N={x|x>1 或 x<-3}. ∴M∩N={x|x>1}. 1 1 1 ? ? 4. 若 x∈A,则 ∈A,就称 A 是伙伴关系集合,集合 M=?-1,0,3,2,1,2,3,4?的所 x ? ? 有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为________. 答案 15 解析 子集只有 1 个元素的有{-1},{1}共 2 个; 1 1 子集有 2 个元素的有{-1,1},{ ,3},{ ,2},共 3 个; 3 2 1 1 1 1 子集有 3 个元素的有{-1, ,3},{-1, ,2},{1, ,3},{1, ,2},共 4 个; 3 2 3 2 1 1 1 1 子集有 4 个元素的有{-1,1, ,3},{-1,1, ,2},{2, , ,3},共 3 个; 3 2 2 3 1 1 1 1 子集有 5 个元素的有{-1,2, , ,3},{1,2, , ,3},共 2 个; 2 3 2 3

1 1 子集有 6 个元素的有{-1,1,2, , ,3},共有 1 个,共 15 个. 2 3 1 ? 2 5. 已知命题 p:函数 f(x)=lg? ?ax -x+16a?的定义域为 R;命题 q:不等式 2x+1<1+ax 对一切正实数 x 均成立.如果命题 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围. 解 1 命题 p 为真命题等价于 ax2-x+ a>0 对任意实数 x 均成立.当 a=0 时,-x>0, 16

其解集不是 R,∴a≠0. a>0, ? ? 于是有? 1 2 ?1-4a <0, ? 解得 a>2,故命题 p 为真命题等价于 a>2. 命题 q 为真命题等价于 a> 2x+1-1 2x 2 = = 对一切实数 x 均成立. x x? 2x+1+1? 2x+1+1

由于 x>0,∴ 2x+1>1, 2x+1+1>2, ∴ 2 <1,从而命题 q 为真命题等价于 a≥1. 2x+1+1

根据题意知,命题 p、q 有且只有一个为真命题, 当 p 真 q 假时实数 a 不存在; 当 p 假 q 真时,实数 a 的取值范围是 1≤a≤2.


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