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浙江省镇海中学2017年高中数学竞赛模拟二试题 含答案 精品

2017 年镇海中学数学竞赛模拟试卷(2) 2 1.若集合 A ? x | x ? x ? 12 ? 0 , B ? {x | 姓名_______ ? ? x ?1 ? 0} , C ? {x | x ? A且x ? B} ,则集合 x ?1 C?( ) B. ??3, ?1? ? ?1,4? D. ??3, ?1? ??1,4? ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的值域为 [3, ? ?) ,则实数 a 的 A. ? ?3, ?1? ? ?1,4? C. ??3, ?1? ? ?1,4? 2.若函数 f ? x ? ? ? 取值范围为( A. ?1,3? C. ? 3, ? ? ? ) ? x 2 ? 2 x ? 4, x ? 3 ?2 ? log a x, x ? 3 B. ?1,3? D. [3, ? ?) 3.如图,在四面体 P ? ABC 中,已知 PA、PB、PC 两两互相垂直,且 PA ? PB ? PC ? 3 .则在该四面体表面上与点 A 距离为 2 3 的点形成的曲线段的总长度 为( ) B. A. 3? 3 3 ? 2 C. 5 3 ? 2 D. 3 3? ) 4. ABC 中, “ A ? B ? C ”是“ cos 2 A ? cos 2 B ? cos 2C ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知函数 f ? x ? ? 2016x ? log 2016 ? ) x2 ? 1 ? x ? 2016? x ? 2 ,则关于 x 的不等式 ? f (3x ? 1) ? f ( x) ? 4 的解集为( 1 , ??) 2016 1 C. (? , ??) 2 A. (? 1 3 1 D. (? , ??) 4 B. (? , ??) 6.记 M ? x, y, z ? 为 x, y, z 三个数中的最小数,若二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c(a, b, c ? 0) 2 有零点,则 M ( A.2 b?c c?a a?b , , ) 的最大值为( ) a b c 5 3 B. C. D. 1 4 2 二、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 7.数学竞赛后,小明、小乐和小强各获得一枚奖牌,其中一人得金牌,一人得银牌,一人 得铜牌,老师猜测: “小明得金牌,小乐不得金牌,小强得的不是铜牌. ”结果老师只猜对了 一个,由此推断:得金牌、银牌、铜牌的依次是 . 8. 省中医院 5 月 1 号至 5 月 3 号拟安排 6 位医生值班, 要求每人值班 1 天, 每天安排 2 人. 若 6 位医生中的甲不能值 2 号,乙不能值 3 号,则不同的安排值班的方法共有 9.已知函数 f ? x ? ? x2 ? ax ? a ?1, a ? R ,若对于任意的 a ? 使得 t ?| f ( xo ) | 成立,则 t 的取值范围为 3 3 种. ? 0, 4? ,存在 x0 ??0,2? , . . 10.已知 a ? 0,b ? 0,a ? b ? 1 ,则 a ? b 的取值范围为 11.已知 f ? x ? 是偶函数, x ? 0 时, f ? x ? ? x ? ? x? (符号 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数), 若关于 x 的方程 f ? x ? ? kx ? k ? k ? 0 ? 恰有三个不相等的实根,则实数 k 的取值范围 为 . 12.已知点 F 为椭圆 x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点,椭圆的离心率为 ,过点 F 的直 2 a b 2 , 则直线 l 的斜率为 . (写出所 线 l 交椭圆于 A, B 两点(点 A 在 x 轴的上方), 且A F ?F 3 B 13. 方程 2 ? x ?1?? y ?1? ?1 ? xyz 有可能的情况). ? x ? y ? 的正整数解 ? x, y, z ? 为 14.一个有限项的数列满足:任何 3 个连续项之和都是负数,且任何 4 个连续项之和都是 正数,则此数列项数的最大值为 . 三、解答题 (共 56 分) 15.已知函数 g ? x ? ? ? a ? 1? x?2 ? 1? a ? 0 ? 的图象恒过定点 A ,且点 A 又在函数 f ? x ? =log 3 ? x ? a ? 的图象上. (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)当方程 g ? x ? 2 ? ? 2 ? 2b 有两个不等实根时,求 b 的取值范围; (Ⅲ) 设 an ? g ? n ? 2? , bn ? an ? 1 b1 ? b2 ? b3 ? n? N? , , 求证, an ? an ?1 1 ? bn ? , (n ? N ? ) . 3 16.如图,椭圆 C : 1 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? ,短轴的两个端点分别为 B1 , B2 , 2 2 a b 焦点为 F1 , F2 ,四边形 F1B1F2 B2 的内切圆半径为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 3 . 2 x ? ?4 于点 P ,设 PM ? ? MF1 , (Ⅱ)过左焦点 F 1 的直线交椭圆于 M , N 两点,交直线 PN ? ? NF1 ,试证 ? ? ? 为定值,并求出此定值. 17.已知函数 f ? x ? ? 1 ax 2 ,直线 y ? x 为曲线 y ? f ? x ? 的切线. x e e (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)用 min{m, n} 表示 m, n 中的最小值,设函数 g ? x ? ? min{ f ( x), x ? }( x ? 0) ,若函 数 1 x h ? x ? ? g ? x ? ? cx2 为增函数,求实数 c 的取值范围. 试卷答案 一、选择题 1.D