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2017年高中数学第二章参数方程考前过关训练含解析新人教A版选修4


(二)参数方程
考前过关训练 (40 分 钟 80 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.下列点在曲线 (θ 为参数)上的是 ( )

A.(1,1) C.

B. D.

【解析】选 D.曲线

(θ 为参数)的普通方程为 x +y =1,只有选项 D 的坐标满足条件.

2

2

2.对于参数方程为 A.是倾斜角为 30°的平行线 B.是倾斜角为 30°的同一直线 C.是倾斜角为 150°的同一直线 D.是过点(1,2)的相交直线 【解析】选 C.因为两条直线的斜率分别为 =, =-



的曲线,正确的结论是(

)

.斜率相等,且都经过点(1,2),所以是倾斜角为 150°的同一直线.

3.(2016?西安高二检测)直线 l:

(t 为参数)与圆 C:

(θ 为参数)的

位置关系是 ( A.相离 C.相交且过圆心

) B.相切 D.相交但不过圆心
2 2

【解析】 选 D.直线 l 的普通方程为 x-y+1=0,圆 C 的普通方程为(x-2) +(y-1) =4,圆心 C(2,1)到直线 l 的距 离为 d= = <r=2,所以 l 与 C 相交,且不过圆心.

4.曲线 A.(±3,0)

(θ 为参数)的焦点坐标为 ( B.(0,±3)

)

-1-

C.(±6,0) 【解析】选 D.曲线
2 2 2 2

D.(0,±6) (θ 为参数)的普通方程为 + =1,这是焦点在纵轴上的椭圆,

c =a -b =6 ,所以焦点坐标为(0,±6). 5.参数方程 A.y -x =1 C.y -x =1(|x|≤ 【解析】选 C.x = y =2+ sinα ,所以 y -x =1. 又 x=sin +cos = sin ∈[, ],即|x|≤ .
2 2 2 2 2 2 2 2

(α 为参数)的普通方程为 ( B.x -y =1 ) D.x -y =1(|x|≤ =1+sinα ,
2 2 2 2

)

)

6.已知直线 l 的参数方程为 C 的位置关系为 ( A.相离 C.相交 ) B.相切 D.由参数确定

(t 为参数)圆 C 的极坐标方程为ρ =2

sinθ ,则直线 l 与 圆

【解析】选 C.将直线 l 的参数方程

(t 为参数)化为普通方程,得 2x-y+1=0.

将圆 C 的极坐标方程ρ =2 圆心到直线的距离为 d= 所以直线 l 与圆 C 相交.

sinθ 化为直角坐标方程,得 x +y -2 <r= ,

2

2

y=0,即 x +(y-

2

) =2,

2

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.直线 l 的斜率是-1,且过曲线 (θ 为参数)的对称中心,则直线 l 的方程是________.

【解析】 曲线 直线是 x+y-5=0. 答案:x+y-5= 0

化为普通方程是(x-2) +(y-3) =4,此圆的对称中心即为圆心(2,3), 所求

2

2

-2-

8.点 P(x,y)是椭圆 4x +9y =36 上的一个动点,则 x+2y 的最大值为________. 【解析】椭圆的标准方程为 设 P(3cosθ ,2sinθ ),得 x+2y=3cosθ +4sinθ =5sin(θ +φ )≤5. 所以 x+2y 的最大值为 5. 答案:5 9.(2016 ?太原高二 检测)已知抛物线 C 的参数方程 为 线 C 的焦点,且与圆(x-4) +y =r (r>0)相切,则 r=________. 【解题提示】化抛物线的参数方程为普通方程,求出焦点,写出直线方程,求圆心到直线的距离即可. 【解析】 抛物线的普通方程为 y =8x,过焦点(2,0)且斜率为 1 的直线为 x-y-2=0,圆心(4,0)到直线的距离为 ,因为直线和圆相切,故圆的半径为 r=d= 答案: 三、解答题(10 题、11 题 10 分,12 题 12 分,共 32 分) 10.如图,双曲线 b x -a y =a b 的动弦 CD 与实轴 AA′垂直,求动直线 A′C 与 AD 的交点 P 的轨迹.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

+

=1,

(t 为参数).若斜率为 1 的直线经过抛物

.

【解析】设 A′(-a,0), A(a,0),C(asecθ ,btanθ ), 则 D(asecθ ,-btanθ ). 从而,A′C 的方程为 = AD 的方程为 (x≠-a). ① = (x≠a). ②

①?②,得

=-

.

-3-

所以

+

=1(x≠±a).

11.(2016?福州高二检测)已知直线 l 的极坐标方程是ρ cosθ +ρ sinθ -1=0.以极点为平面直角坐标系的 原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,在曲线 C: 使它到直线 l 的距离最小,并求出该点坐标和最小距离. 【解析】直线 l 的直角坐标方程是 x+y-1=0, 设所求的点为 P(-1+cosθ ,sinθ ), 则 P 到直线 l 的距离 d= = . (θ 为参 数)上求一点,

当θ + =2kπ + ,k∈Z,即θ =2kπ + ,k∈Z 时, d 的最小值为 -1,此时 P .

12.(2016? 安庆高二检测)以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的

长度单位.已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数)曲线 C 的极坐标方程为(1+sin θ )ρ =2.

2

2

(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程. (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,若点 P 为(1,0),求 【解析】(1)消去参数 t 得直线 l 的普通方程为 直角坐标方 程为 x +2y =2,即
2 2

+

.
2 2 2

x-y-

=0,曲线 C 的极坐标方程ρ +ρ sin θ =2,化成

+y =1.
2 2 2

2

(2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C:x +2y =2,得 7t +4t-4=0. 设 A,B 两点在直线 l 的参数方程中对应的参数分别为 t1,t2, 则 t1+t2=- ,t1t2=- , 所以 + = +

=

=

= .

-4-

【补偿训练】(2016?沈阳高二检测)已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数),曲线 C 的

极坐标方程是ρ = 交于 A,B 两点.

,以极点为原点,极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系,点 M(-1,0),直线 l 与曲线 C

(1)求直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程. (2)线段 MA,MB 长度分别记为|MA|,|MB|,求|MA|?|MB|的值.

【解析】(1)直线 l:

(t 为参数)

的直角坐标方程为 x-y+1=0, 所以极坐标方程为 曲线 C:ρ = ρ cos
2

=-1,

,即(ρ cosθ ) =ρ sinθ ,
2

所以曲线的普通方程为 y=x .

(2)将

(t 为参数)

代入 y=x 得 t -3

2

2

t+2=0,

所以 t1t2=2,所以|MA|?|MB|=|t1t2|=2.

-5-


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