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[潍坊期中]潍坊市2014届高三11月期中考试(数学理)


高三数学试题(理科)
注意事项: 1.本试卷分 4 页,本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分, 考试用时 120 分钟. 2.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡及答题纸上. 3.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 4.第Ⅱ卷写在答题纸对应区域内,严禁在试题卷或草纸上答题. 5.考试结束后,将答题卡和答题纸一并交回.

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中。只有一 个符合题目要求的选项. ) 1.设 x ∈Z,集合 A 为偶数集,若命题 p : ? x ∈Z ,2 x ∈A,则 ?p A. ? x ∈Z ,2 x ? A C. ? x ∈Z ,2 x ∈A B. ? x ? Z ,2 x ∈A D. ? x ∈Z ,2 x ? A

2. 设集合 A={1,2,3},B={4,5},C={ x | x = b ? a, a ? A, b ? B },则 C 中元素的个数是 A.3 B.4 C.5 D. 6

3.已知幂函数 y ? f (x) 的图像过点(

2 1 , ) ,则 log 2 f (2) 的值为 2 2
C.-1 D.1

A.

1 2

B.-

1 2

4.在△ABC 中,内角 A、B 的对边分别是 a 、 b ,若 A.等腰三角形 C.等腰三角形或直角三角形
| x|

cos A b ? ,则△ABC 为 cos B a

B.直角三角形 D.等腰直角三角形

5.若当 x ∈R 时,函数 f ( x) ? a (a ? 0 且 a ? 1 )满足 f (x) ≤1,则函数 y ? log a ( x ? 1) 的 图像大致为

6.已知

1 1 ? ? 0 ,给出下列四个结论:① a ? b a b
2

② a ? b ? ab

③ | a |?| b |

④ ab ? b

其中正确结论的序号是 B.②④ C.②③ D.③④

A.①②

7.等差数列{ a n }的前 20 项和为 300,则 a 4 + a 6 + a 8 + a13 + a15 + a17 等于

A.60 8.已知函数 f ( x ) ? ? 围是 A. (??,?1)

B.80

C.90

D.120

?2 x ? a , x ? 0 ?2 x ? 1, x ? 0

(a?R) ,若函数 f (x) 在 R 上有两个零点,则 a 的取值范

B. (??,1]

C. [?1,0)
*

D. (0,1]

9.已知数列{ a n }的前 n 项和为 s n ,且 s n + a n =2 n ( n ∈N ) ,则下列数列中一定是等比数列的 是 A.{ a n } B.{ a n -1} C.{ a n -2} D.{ a n +2}

10.已知函数 f ( x) ? sin(?x ?

?
3

) ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? ,将函数 y ? f (x) 的图像向右 5? 12 5? 6

平移 m ( m >0)个单位长度后,所得到的图像关于原点对称,则 m 的最小值为 A.

? 6
2

B.

? 3

C.

D.

11.设函数 f ( x) ? x ? x sin x ,对任意 x1 , x2 ? (?? , ? ) ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则下列式子成 立的是 A. x1 ? x2
2 2

B. x1 ? x 2
2

2

C. x1 ?| x 2 |

D. | x1 |?| x2 |

12.不等式 2 x ? axy ? y ≤0 对于任意 x ? [1,2] 及 y ? [1,3] 恒成立,则实数 a 的取值范围是 A. a ≤ 2 2 B. a ≥ 2 2 C. a ≥

11 3

D. a ≥

9 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.

? 3t
1

2

2

dt ?

.

14.若 tan(

?
4

??) ?

1 ,则 sin? cos? ? 2

.

15.已知一元二次不等式 f ( x) ? 0 的解集为{ x | 16.给出下列命题:

1 ? x ? 2} ,则 f (2 x ) ? 0 的解集为 2



①若 y ? f (x) 是奇函数,则 y ?| f ( x) | 的图像关于 y 轴对称;②若函数 f (x) 对任意 x ∈R 满足 则 ③若 则 f ( x) ? f ( x ? 4) ? 1 , 8 是函数 f (x) 的一个周期; log m 3 ? log n 3 ? 0 , 0 ? m ? n ? 1 ; ④若 f ( x) ? e
| x ? a|

在 [1,??) 上是增函数,则 a ≤1。其中正确命题的序号是



三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 12 分) 已知全集 U=R,集合 A={ y | y ? x ?
2

3 x ? 1, x ? [0,2] },B={ x | y ? 1? | x | }。 2

(Ⅰ)求(

UA)∪B;

(Ⅱ)若集合 C={ x | x ? m 2 ≥ 充分条件,求实数 m 的取值范围。

1 },命题 p : x ∈A,命题 q : x ∈C,且 p 命题是命题 q 的 2

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (2 3 cos x ? sin x) sin x ? sin 2 ( (I)求函数 f (x) 的最大值和单调区间; (II) △ABC 的内角 A、 C 的对边分别为 a 、b 、c , B\、 已知 f ( 求△ABC 的面积。

?
2

? x)

C ) ? 2 ,c ? 2 且 sin B ? 3 sin A , 2

19. (本小题满分 12 分) 如图,某广场要划定一矩形区域 ABCD,并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化 区,这三块绿化区四周和绿化区之间设有 1 米宽的走道。已知三块绿化区的总面积为 800 平方 米,求该矩形区域 ABCD 占地面积的最小值。

20. (本小题满分 12 分)

1 。 a ∈R,解关于 x 的不等式 x ? ≥ a ( x ? 1 ) x

21. (本小题满分 12 分) 已知公比为 q 的等比数列{ a n }是递减数列,且满足 a1 + a 2 + a 3 = (I)求数列{ a n }的通项公式; (II)求数列{ (2n ? 1) ? a n }的前 n 项和为 Tn ; (Ⅲ)若 bn ?

13 1 , a1 a 2 a 3 = 9 27

n 3 1 1 1 4 ≥ . ? (n ? N *) ,证明: ? ??? b1b2 b2 b3 bn bn ?1 35 3 ? an 2
n ?1

22. (本小题满分 14 分)中学联盟网 已知 f ( x) ? a ln( x ? 1) , g ( x) ? x ? bx , F ( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) ,其中 a, b ? R 。
2

(I)若 y ? f (x) 与 y ? g (x) 的图像在交点(2, k )处的切线互相垂直,求 a, b 的值; ( II ) 若 x ? 2 是 函 数 F (x) 的 一 个 极 值 点 , x 0 和 1 是 F (x) 的 两 个 零 点 , 且 x 0 ∈

( n, n ? 1) n ? N ,求 n ; (III)当 b ? a ? 2 时,若 x1 , x 2 是 F (x) 的两个极值点,当| x1 - x 2 |>1 时,求证:| F ( x1 ) - F (x) |>3-4 ln 2 。

高三数学试题(理科)参考答案及评分标准
一选择题:DBACC 二、填空题: 13.7 BCDCA 14. BD

3 10

15.{ x | x <-1,或 x >1}

16.①②④

三、解答题:17 解:A={ y | y ? x 2 ?

3 x ? 1, x ? [0,2] } 2 3 7 7 ={ y | y ? ( x ? ) 2 ? , x ? [0,2] }={ y | ≤ y ≤2},??2 分 4 16 16

B={ x | y ? 1? | x | }={ x |1-| x |≥0}={ x |-1≤ x ≤1}??????3 分

7 },??????????????4 分 16 ( UA)∪B={ x | x ≤1 或 x >2}??????????????6 分 (Ⅱ)∵命题 p 是命题 q 的充分条件,∴A ? C,??????????7 分 1 2 ∵C={ x | x ≥ - m }??????????????8 分 2 1 7 2 ∴ -m ≤ ,??????????????10 分 2 16 1 1 1 2 ∴m ≥ ,∴ m ≥ 或 m ≤- 16 4 4 1 1 ∴实数 m 的取值范围是(-∞,- ] ∪ [ ,+∞)???????12 分 4 4

UA={

y | y >2 或 y <

18 解: (I) f ( x) ? (2 3 cos x ? sin x) sin x ? sin (
2

?

2

? x)

? (2 3 sin x cos x ? sin 2 x ? cos2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ?
∴函数 f (x) 的最大值为 2。????????????4 分

?
6

) ????3 分

? ? ? ? ? + 2k? ≤ 2 x ? ≤ + 2k? 得- + k? ≤ x ≤ + k? , 2 2 6 6 3 ? ? ∴函数 f (x) 的单调区间为[- + k? , + k? ], k ∈Z)?????????6 分 ( 6 3 C ? ? 5? ? (II)∵ f ( ) ? 2 ,∴ 2 sin(C ? ) ? 2 ,又- < C ? < , 2 6 6 6 6 ? ? 2? ∴C ? = ,C ? ????????????????8 分 6 2 3 ∵ sin B ? 3 sin A ,∴ b =3 a ,????????????9 分 2? 4 2 2 2 ∵ c =2,,4= a +9 a -2× a ×3 a cos ,∴ a = ,??????10 分 3 13
由- ∴S△ABC=

3 3 1 1 ????????????12 分 a b sin C = ×3 a 2 sin C = 13 2 2

19.解:设绿化区域小矩形的一边长为 x ,另一边长为 y ,则 3 x y =800,??2 分

800 ????????????????????????3 分 3x 所以矩形区域 ABCD 的面积 S=(3 x +4) y +2)??????5 分 ( 8 0 3200 =(3 x +4) ( +2)=800+6 x + +8????7 分 3x 3x
所以 y = ≥808+2 6400 =968??????????10 分 当且仅当 6 x =

3200 40 ,即 x = 时取“=” ,∴矩形区域 ABCD 的面积的最小值为 968 平方 3x 3

米。??????????????12 分 20.解:原不等式可转化为

( x ? 1)[(1 ? a) x ? 1] ≥0(*)??????2 分 x x ?1 (1)当 a =1 时, (*)式为 ≥0,解得 x <0 或 x ≥1.??????4 分 x 1 (1 ? a)( x ? 1)( x ? ) 1 ? a ≥0 (2)当 a ≠1 时, (*)可式为 x 1 1 ①若 a <1,则 a -1<0, <0,解得 ≤ x <0,或 x ≥1;????6 分 a ?1 a ?1 1 1 ②若 1< a ≤2,则 1- a <0, ≥1,解得 x <0,或 1≤ x ≤ ;8 分 a ?1 a ?1 1 1 ③若 a >2,则 a -1>1,0< <1,1- a <0,解得 x <0,或 ≤ x ≤1; a ?1 a ?1
??????????????????????????????????10 分 综上,当 a =1 时,不等式解集为{ x | x <0 或 x ≥1} 当 a <1 时,不等式解集为{ x |

1 ≤ x <0,或 x ≥1} a ?1 1 } a ?1

当 1< a ≤2 时,不等式解集为{ x | x <0,或 1≤ x ≤ 当 a >2 时,不等式解集为{ x | x <0,或

1 ≤ x ≤1}????12 分 a ?1 1 1 1 3 21.解:由 a1 a 2 a 3 = ,及等比数列性质得 a 2 = ,即 a 2 = ,??1 分 27 27 3 13 10 由 a1 + a 2 + a 3 = 得 a1 + a 3 = 9 9
1 1 ? ? ?a 2 ? 3 ?a1 q ? 3 1 ? q 2 10 ? ? ? 由? 得? 所以 ,即 3 q 2-10 q +3=0 q 3 ?a ? a ? 10 ?a ? a q 2 ? 10 3 1 ? 1 ? 1 9 ? 9 ?

1 ??????????3 分 3 1 1 因为{ a n }是递减数列,故 q =3 舍去,∴ q = ,由 a 2 = ,得 a1 =1 3 3 1 * 故数列{ a n }的通项公式为 a n = n ?1 ( n ∈N )??????4 分 3
解得 q =3,或 q =

2n ? 1 3 5 2n ? 1 ,所以 Tn =1+ + 2 +?+ n ?1 n ?1 3 3 3 3 1 1 3 5 2n ? 3 2 n ? 1 ②????????5 分 Tn = + 2 + 3 +?+ n?1 + n 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2n ? 1 2 ①-② 得: Tn =1+ + 2 + 3 +?+ n ?1 - 3 3 3 3 3n 3 1 1 1 2n ? 1 1 =1+2( + 2 + 3 +?+ n ?1 )- 3 3 3 3n 3 1 1 (1 ? n ?1 ) 2n ? 1 2n ? 1 1 3 =1+2 ? 3 - =2- n ?1 - n 1 3 3n 3 1? 3 n ?1 所以 Tn =3- n ?1 ????????????8 分 3
(II)由(I)知 (2n ? 1) ? a n = (Ⅲ)因为 bn ?
n ?1



n 3 3 2n ? 3 ,????????9 分 ? (n ? N *) = n + = 2 2 3 ? an 2

所以

1 1 1 2 2 2 2 2 2 = ? + ? +?+ ? ??? ? b1b2 b2 b3 bn bn ?1 5 7 7 9 2n ? 3 2n ? 5
=2[(

1 1 1 1 1 1 )] ? )+( ? )+?+( ? 5 7 7 9 2n ? 3 2 n ? 5 1 1 =2( - )????????11 分 5 2n ? 5 1 1 1 1 2 因为 n ≥1, - ≥ ? = , 5 2n ? 5 5 7 35
所以

1 1 1 4 ≥ .??????????12 分 ? ??? b1b2 b2 b3 bn bn ?1 35

22. (I) f ?( x) ? 由题知 ?

a , g ?( x) ? 2 x ? b ??????????1 分 x ?1

? f (2) ? g (2) ?0 ? 4 ? 2b ,即 ? ????????2 分 ? f ?(2) ? g ?(2) ? ?1 ? a ( 4 ? b ) ? ?1

1 ? ?a ? ? 解得 ? 2 ?b ? ?2 ?
(II) F ( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) = a ln x ? ( x ? bx) , F ?( x) ?
2

a ? 2x ? b x

?a ? F ?( 2) ? 0 ? ?4?b ? 0 由题知 ? ,即 ? 2 解得 a =6, b =-1????????6 分 ? F (1) ? 0 ?1 ? b ? 0 ?
∴ F (x) =6 ln x -( x - x ) F ?( x) ? ,
2

6 ? (2 x ? 3)( x ? 2) ? 2x ? 1= x x

∵ x >0,由 F ?(x) >0,解得 0< x <2;由 F ?(x) <0,解得 x >2 ∴ F (x) 在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)单调递减, 故 F (x) 至多有两个零点,其中 x1 ∈(0,2) x 2 ∈(2, +∞)????7 分 , 又 F (2) > F (1) =0, F (3) =6( ln 3 -1)>0, F (4) =6( ln 4 -2)<0 ∴ x 0 ∈(3,4) ,故 n =3 ????????9 分
2

(III)当 b ? a ? 2 时, F (x) = a ln x ? [ x ? (a ? 2) x] ,

F ?( x) ?

a ? (2 x ? a)( x ? 1) , ? 2 x ? (a ? 2) = x x

由题知 F ?(x) =0 在(0,+∞)上有两个不同根 x1 , x 2 ,则 a <0 且 a ≠-2,此时 F ?(x) =0 的两根为-

a ,1,????????10 分 2
a2 a 2 -1|>1,则 + a +1>1, a +4 a >0 4 2

由题知|-

又∵ a <0,∴ a <-4,此时-

a >1 2

则 F (x) 与 F ?(x) 随 x 的变化情况如下表:

x
F ?(x) F (x)

(0,1) -

1 0 极小值

(1, - +

a ) 2

- 0

a 2

(- -

a ,+∞) 2

极大值

∴| F ( x1 ) - F (x) |= F (x) 极大值- F (x) 极小值=F(- = a ln( ―

a )―F(1) 2

a 1 2 )+ a ―1,????11 分 2 4 a 1 2 a 1 设 ? (a) ? a ln(? ) ? a ? 1 ,则 ? ?(a) ? ln(? ) ? a ? 1 2 4 2 2 1 1 1 1 1 1 , ? ??(a) ? ? ,∵ a <-4,∴ >― ,∴ ? ??(a) ? ? >0, a 2 a 4 a 2
∴ ? ?(a) 在(―∞,―4)上是增函数, ? ?(a) < ? ?(?4) ? ln 2 ? 1 ? 0 从而 ? (a ) 在(―∞,―4)上是减函数,∴ ? (a ) > ? (?4) =3-4 ln 2 所以| F ( x1 ) - F (x) |>3-4 ln 2 。


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