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面面垂直的判定定理-总结+专题练习


面面垂直的判定及性质定理
知识点 1:二面角及其平面角
1) 半平面:平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面. 2)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半 平面叫做二面角的面.棱为 l ,两个面分别为 ?、? 的二面角记为 ?- l -? .

3)二面角的平面角的定义 1 定义:在二面角 ?- l -? 的棱 l 上任取一点 O,如图,在半平面 ? 和 ? 内,从点 O 分别作垂直于棱 l 的射线 OA、OB,射线 OA、OB 组成∠AOB.则 ∠AOB 叫做二面角 ?- l -? 的平面角. 2 二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来度量.即二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度. ① 二面角的两个面重合: 0°; ② 二面角的两个面合成一个平面:180°; ③ 平面角是直角的二面角叫直二面角. 二面角的范围:[ 0°, 180°].

知识点 2:两个平面垂直的判定定理
1)两个平面垂直的定义:两个平面互相垂直两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平 面互相垂直.平面 ? 与 ? 垂直,记作 ?⊥?. 2)两个平面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.

知识点 3:二面角的平面角的做法
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知识点 4:面面垂直的性质定理
性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。(面面垂直,则线面垂直)

考点 1:面面垂直的判定定理的应用
例 1.如图,AB 是⊙O 的直径, PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A, B 的任意一点,求证:平面 PAC ⊥平面 PBC.

考点 2:求二面角的大小
例 2.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,找出下列二面角的平面角: (1)二面角 D1 ? AB ? D 和 A1 ? AB ? D ; (2)二面角 C1 ? BD ? C 和 C1 ? BD ? A .
A B C

P D C E A

E A1 B1 C1

B

图1 图2 图3 1、 如图 1,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中(正三棱柱室底面为正三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱),E∈BB1,且 BE=EB1,求证:截面 A1EC⊥侧面 AC1. 2、如图 2,在矩形 ABCD 中,AB= 2 ,BC=2,E 为 BC 中点,把⊿ABE 和⊿CDE 分别沿 AE、DE 折起使 B 与 C 重合 于点 P,(1)求证:平面 PDE⊥平面 PAD;(2)求二面角 P-AD-E 的大小. 3、如图 3,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点, (1)证明 CD⊥AE;(2)证明 PD⊥平面 ADE;(3)求二面角 A-PD-C 的正弦值 例 3.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 P, Q, R, S 分别为棱 A D , A1B1 , AB, BB1 的中点,求证平面 PQS ⊥平 1 1 面 B1RC .

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3.已知 PA ⊥⊙O 所在的平面, AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上任意一点,过 A 作 AE ⊥ PC 于点 E , AF ⊥ PB 于点 F ,求证:(1) AE ⊥平面 PBC ; (2)平面 PAC ⊥平面 PBC ; (3) PB ⊥ EF P

F

E A O B

C 同步练习: 1. 如图, ABCD 为正方形, SA ? 平面 ABCD ,过 A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB , SC , SD 于 E , F , G. 求证: AE ? SB,AG ? SD .

S

G

F D

E
B

C

A

2. 如图所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PA ? 底面 ABCD , AE ? PD , EF //CD , AM ? EF . 求证: MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线.

P
E A
M

F

D

B

C

3. 如图,直角 △ ABC 所在平面外一点 S ,且 SA ? SB ? SC ,点 D 为斜边 AC 的中点. (1)求证: SD ? 平面 ABC ; (2)若 AB ? BC ,求证: BD ? 面 SAC .

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S

A

D

C

B
4. 如图所示,平面 ? ? 平面 ? , ?

? ? l ,在 l 上取线段 AB ? 4 , AC , BD 分别在平面 ? 和平面 ? 内,且

AC ? AB , DB ? AB , AC ? 3 , BD ? 12 ,求 CD 长.

?
C

B

A
?

l

D

5.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥ PB 交 PB 于点 F. (1)证明:PA∥平面 EDB; (2)证明:PB⊥平面 EFD.

1 6.(2012 全国)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90° ,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点 2 (1)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比。 (3)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小。 C1 A1

B1

D C A
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B

7.(2009 全国)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点,DE⊥平面 BCC1 (1)证明:AB=AC
w.w.w.k.s.5.u .c.o.m

(2)设二面角 A-BD-C 为 60° ,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小 A1 B1 D A C B 8.(2010 全国)如图,四棱锥 S-ABCD 中,AB∥CD,BC ? CD,侧面 SAB 为等边三角形, E C1

AB=BC=2,CD=SD=1 (1)证明:SD ? 平面 SAB (2)求 AB 与平面 SBC 所成角的大小.

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