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第二轮专题复习三角函数与平面向量


第二轮专题复习三角函数与平面向量

一,三角函数知识要点
1.与 ? (0°≤ ? <360° )终边相同的角的集合(角 ? 与角 ? 的终边重合): ? | ? ? k ? 360? ? ? , k ? Z 2. 角度与弧度的互换关系:360° =2 ? 180° = ? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 3、弧长公式: l

?

?

?| ? | ?r .

扇形面积公式: s扇形 ?

1 1 lr ? |? | ? r 2 2 2
tan ? ? y; x

y P T

4、三角函数:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于原点的)一点 P (x,y)P 与原点的距离为 r,则 sin ? ? y ;
r
cos ? ? x; r
O M Ax

5、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. 6、三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦) 7、同角三角函数的基本关系式:
sin ? ? tan ? cos ?
2 sin ? ?co2 s? ? 1

16. 几个重要结论 : (1)
y

(2)

y

|sinx|>|cosx| sinx>cosx
O x |cosx|>|sinx| O |cosx|>|sinx| x

cosx>sinx |sinx|>|cosx| ? (3) 若 o<x< ,则sinx<x<tanx 2

8 诱导公式:
把 k? “奇变偶不变,符号看象限” ? ?的三角函数化为?的三角函数,概括为: 2

(一)基本关系 公式组二 sin(? x ) ? ? sin x cos(? x ) ? cos x tan(? x ) ? ? tan x cot(? x ) ? ? cot x 公式组五 sin(2? ? x) ? ? sin x cos(2? ? x) ? cos x tan(2? ? x) ? ? tan x cot(2? ? x) ? ? cot x

公式组三
sin(2k? ? x) ? sin x cos(2k? ? x) ? cos x tan(2k? ? x) ? tan x cot(2k? ? x) ? cot x

公式组四
sin( ? ? x) ? ? sin x cos( ? ? x) ? ? cos x tan(? ? x) ? tan x cot(? ? x) ? cot x

公式组六 sin( ? ? x) ? sin x cos( ? ? x) ? ? cos x tan(? ? x) ? ? tan x cot( ? ? x) ? ? cot x 公式组二
sin 2? ? 2 sin ? cos ?

(二)角与角之间的互换 公式组一 cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ?
cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ?

cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin2 ?

tan 2? ?
sin

2 tan? 1 ? tan2 ?
1 ? cos? 2

?
2

??

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tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

cos ?? 2
tan

?

1? c o ? s 2
1 ? cos? sin? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin?

tan(? ? ? ) ?

?
2

??

公式组三
sin? ? 2 tan

公式组五
2

? ?
2

1 ? tan 2

公式组六
sin 15? ? cos75? ? 6? 4

1 ? ? 1 ? tan 2 cos( ? ? ? ) ? sin ? 2t a n 2 2 2 cos? ? t an ?? 2 ? ? 1 2 1 ? tan 1? t a n sin( ? ? ? ) ? cos ? 2 2 2 1 1 cos( ? ? ? ) ? ? sin ? sin( ? ? ? ) ? cos ? 2 2 6 ? 2 , tan15? ? cot 75? ? 2 ? 3 , tan75? ? cot15? ? 2 ? 3 . 2, ? ? sin 75 ? cos15 ?
4

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? A sin??x ? ? ?

(A、 ? >0) R

定义域 值域 周期性 奇偶性
[?

R
[?1,?1]

R
[?1,?1]

R
?

?? A, A?
2?

2?

2?

奇函数

?
2

? 2k? ,

偶函数 [?2k ? 1?? , ; 2k? ] 上为增函数 [2k? , ?2k ? 1?? ] 上为减函数 (k?Z )

奇函数 ? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? 上
? 2 2 ?

? 当 ? ? 0, 非奇非偶,当 ? ? 0, 奇函数
? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ?
? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ?

?
2

? 2k? ]

为增函数( k ? Z )

单 调 性

上为增函 数 ;
[

? ? 2 ( A), ? ? ? 上为增函数; ? 1 ? ? ?? ? 2 (? A)? ? ? ? ??
? ? 2 ( A), ? ? ? 上为减函数( k ? Z ) ? 3 ? ? ?? ? 2 (? A)? ? ? ? ??

?

?

2 3? ? 2k? ] 2

? 2k? ,

?

上为减函数 (k?Z ) 注意( 1) y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反; y ? ? cos x 与 y ? cos x 的单调性也同样相反 . 一般地,若 ▲ y y ? f ( x) 在 [a, b] 上递增(减),则 y ? ? f ( x) 在 [a, b] 上递减(增). (2) y ? sin x 与 y ? cos x 的周期是 ? ;
?x ? ? ) 或 y ? cos(?x ? ? ) ( ? ? 0 )的周期 T ? (3) y ? sin(
y ? tan x 的周期为 2 ? ; 2
2?
x

?

.,

O

?x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ? (4) y ? sin(

?
2

( k ? Z ),对称中心( k? ,0 ); y ? cos(?x ? ? ) 的对称轴方程

?x ? ? ) 的对称中心( 是 x ? k? ( k ? Z ),对称中心( k? ? 1 ? ,0 )( k ? Z ); y ? tan(
2

k? ,0 )( k ? Z ); 2

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tan ? ? 1, ? ? ? ? k? ? (5)当 tan? ·

?
2

tan ? ? ?1, ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) ; tan? ·

?
2

(k ? Z ) ;

(6)定义域关于原点对称是 f ( x) 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点 对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数: f (? x) ? f ( x) ,奇函数: f (? x) ? ? f ( x) ); (7)奇偶性的单调性:奇同偶反; .(8)奇函数特有性质:若 0 ? x 的定义域,则 f ( x) 一定有 f (0) ? 0 .( 0 ? x 的定义域,则无此性质);

(9) y ? sin x

不是周期函数; y ? sin x 为周期函数( T ? ? ); 为周期函数( T ? ? )
b 有 a 2 ?b 2 ? y . a

y ? cos x 是周期函数; y ? cos x

(10) y ? a cos? ? b sin ? ? a 2 ?b 2 sin( ? ? ? ) ? cos? ? 10、三角函数图象的作法:

1)、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正切曲线). 2)、利用图象变换作三角函数图象. 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等. 函数 y=Asin(ω x+φ)的振幅|A|,周期 T ? 2? ,频率 f ? 1 ? | ? | ,相位 ? x ? ? ; 初相 ? (即当 x=0 时
|? |
T 2?

的相位).(当 A>0,ω >0 时以上公式可去绝对值符号), 由 y=sinx 的图象利用图象变换作函数 y=Asin(ω x+φ)(A>0,ω >0)(x∈R)的图象,要特别注 意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的区别。

二,平面向量知识要点
1 平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作 a∥b.平行向量也称为共线向量.? 2.向量的运算:?向量的加法,向量的减法,向量的数乘,向量的数量积;

注意: (1)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? b ?? c ? a ? ?b ? c ? 不一定成立; a ? b ? b ? c

? ? a?c.

? ? ? ? ? ?2 ? ? ? 2 |a | | a ?b | | a | ? | b | | a | a a a (2) · = , = (针对向量非坐标求模) , ≤

(3)在△ABC 中,若 0 为重心,则 OA ? OB ? OC ? 0 。 3.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理? e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实数λ 1,λ 2, 使 a=λ 1e1+λ 2e2.? (2)两个向量平行的充要条件:? a∥b ? a=λ b(b≠0) ? x1y2-x2y1=O.? (3)两个向量垂直的充要条件:? a⊥b ? a·b=O ? x1x2+y1y2=O.? (4)线段的定比分点公式:?设点 P 分有向线段 P 1P 2 所成的比为λ ,即 P 1 P =λ PP 2 , 则:? OP =

1 1 OP OP2 (线段的定比分点的向量公式)? 1 + 1? ? 1? ?

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? x? ? ? 或? ?y ? ? ?

x1 ? ?x 2 , 1? ? (线段定比分点的坐标公式) y1 ? ?y 2 . 1? ?

x ? x2 ? x? 1 , ? 1 ? 2 ?当λ =1 时,得中点公式:? OP = ( OP 1 + OP 2 )或 ? 2 ? y ? y1 ? y 2 . ? 2 ?
(5)正、余弦定理? 正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R. sin A sin B sin C
2 2 2 2 2 2 2 2 2

余弦定理:a =b +c -2bccosA,? b =c +a -2cacosB,? c =a +b -2abcosC.? 附:三角形的四个“心”;重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. ⑹在△ABC 中,有下列等式成立 tan A ? tan B ? tanC ? tan A tan B tanC . (7)△ABC 的判定:

c 2 ?a 2 ?b 2 ? △ABC 为直角△ ? ∠A + ∠B = ?
c 2 < a 2 ?b 2 ? △ABC 为钝角△ ? ∠A + ∠B< c 2 > a 2 ?b 2 ? △ABC 为锐角△ ? ∠A + ∠B>

2

? 2 ? 2

2 2 2 附:证明: cosC ? a ?b ?c ,得在钝角△ABC 中, cosC ? 0 ?a 2 ?b 2 ?c 2 ? 0, ?a 2 ?b 2 ?c 2

2ab

(8)平行四边形对角线定理:对角线的平方和等于四边的平方和.
a ? b 2 ? a ? b 2 ? 2( a 2 ? b 2 )
x ? x 2 ? x3 ? x? 1 ? ? 3 ? 三角形重心坐标公式:△ABC 的顶点 A?x1 , y1 ?, B?x 2 , y 2 ?, C ?x3 , y 3 ? ,重心坐标 G?x, y ? : y ? y 2 ? y3 ?y ? 1 ? 3 ?

(9)三角形面积计算公式:

设△ABC 的三边为 a,b,c,其高分别为 ha,hb,hc,半周长为 P,外接圆、内切圆的半径为 R, r. ①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R ④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA

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