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辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 探究出手角度对抛物运动的影响


辽宁省沈阳市第十五中学 2013 年高中数学论文 图形计算器应用能 力测试活动学生 探究出手角度对抛物运动的影响
摘要 投掷这一动作在生活中非常普遍,而在体育项目中,实心球、标枪、铅球等运动项目也 是以此动作为基础而发展起来的。而在抛物运动中,则分为平抛、斜抛、上抛、下抛等多种 情况, 使用何种方式能使物体被抛最远就成了我们思考的方向。 通过数学图形计算器上的函 数功能描绘出抛物线以及最远的距离得出一个普遍的、在理想状态下的一个通式和结论。 关键字 抛物线、高度差、扔物体 研究背景 投掷这一动作在生活中非常普遍,而在体育项目中,实心球、标枪、铅球等运动项目也 是以此动作为基础而发展起来的。 如果能通过计算以相同的力量投出又能飞行的距离最远的 角度,必然可以为这些项目的突破做出贡献。 研究目的 漫无目的的投掷也是一种浪费, 浪费体力浪费能量, 怎么扔东西最省力并且最远就是一 个比较棘手的问题了。通过一系列的物理公式以及数学计算得出一个普遍的投掷公式和结 论。 研究路线 如图 1。

图1

研究内容 在扔某样东西的时候,我们普遍的认为用相同的力 45°向上抛并且下坠后最远,事实 真的是这样的吗? 假设研究对象为质量 m 为 1kg 的小球,忽略所有阻力作用,只考虑重力作用,小球所 获得的初速度 v0 为 10m/s,重力加速度 g=10m/s2。
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如果没下坠而且没有达到最高点, 那么后点必然比前点要远。 而斜向下抛的话下坠速度 比平抛更快,而前进速度比平跑要慢。如果要比较平抛和上抛并且下坠的话,后文会有所提 及。 首先是将速度分解成一个数值向上的速度和一个水平向前的速度来考虑,如图 2 所示: (0°≤α ≤180°)



假设落点和球出手点的高度是一样高的, 那么我们可以很简单地算出在空中飞行的时间 2 是 2cos ? ,而求的落点的距离就是 20sin ? cos? ,将这个式子放入函数计算其中,可得到 图像,如图 3 所示: 而当α 取到 45°的时候便可以取得这个函数的最大值。

图3 所以可以读出结论: 在抛出的点和落点的高度以及初速度一样的时候, 45°向上抛出扔 得最远。 而在实际生活当中,扔到同一个高度的的情况很少,就比如说实心球,再扔实心球的时 候,出手的瞬间球的高度是在头顶以上的而落点却是在地面上那么假设,出手的高度在 1.7m。 把这么一个情况放在函数图象里面,把原点变成出手点,那么抛物线的函数应该是

y ? ax 2 ? bx ,求导一下可以得出,切线斜率 y ? 2ax ? b ,因为在原点的斜率为 1,所以
b=1 , 在 再 原 函 数 中 代 入 (10,0) , 就 可 以 求 出 45 ° 起 球 的 时 候 的 函 数 解 析 式 为

y??

1 2 x ? x ,它的图像就是,如图 4 所示: 10

2 图4

将 y=-1.7 代入,如图 5 所示:

图5

这样就可以求出 45°起球的时候可以扔 11.48 米。当 44°起球的时候,可以求出扔的 是 11.52097 米>11048 米。 所以当起球高度和落点高度不一致的时候, 45°不是扔得最远的。 那么这个时候几度起 球是最远的呢? 设 x ° 起 球 最 远 , 根 据 物 理 学 公 式 可 以 得 出 扔 出 去 的 距 离 是
1 ? ? 2 1.7 ? ? 2 ? y ? 10cos x ? ? sin x ? ? sin x ? 得到图像并可以读出大约 40°的时候扔出去最远。 ?? 5 ? ? ? ?

而通过一系列的物理公式我们可以表达出当落点距离起点所在的平面的距离是 h(若在
1 ? ? 2 h ? ? 2 起点以上则为负)时,扔出去距离 y 是: y ? 10cos x ?? ? sin x ? ? sin x ? ?? 5 ? ? ? ?

将 h=-3、-1,0,1,2,3 代入成为 6 个函数图像,如图 6~11 所示:

图6

图7

3

图8

图9

图 10

图 11

由此可以看出来,起点越高,扔出最大距离的合适角度越小。当 h<0 时,45<y<90;当

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h=0 时,y=45;h>0 时,0<y<45。 如果是平抛的话那么距离就是再把之前的 h 趋近于无穷大的话根据之前的结论 (起点越 高,扔出最大距离的合适角度越小。当 h<0 时,45<y<90;当 h=0 时,y=45;h>0 时,0<y<45。

? h ?2 可以得出 x=90°,此时 y ? 10 ? ? ? 。 ?5?
所以平抛没有向上抛并且下坠远。

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结论 由此可以看出来,起点越高,扔出最大距离的合适角度越小。当 h<0 时,45<y<90;当 h=0 时,y=45;h>0 时,0<y<45。
1 ? ? 2 ? ? h 2 ? ? sin x ? ? sinx ? 设 x°起球: y ? v0 cos x ? ?? 0.5v0 ? ? ? ? ? ?

(y 是扔出去的距离,h=起手高度-目标高度,v0:出手速度) 展望 人类的祖先在早期的狩猎活动中,就已经开始投射标枪,远程制服猎物,这种活动已经 体现了对抛物线运动轨迹的预测。 而在当下, 生活中的大大小小行为活动已普遍受益于抛物 运动的研究。例如,橄榄球运动中的四分卫和板球运动中的出色投球手都用到抛物线,他们 在投射物离开手指之前,首先在头脑中预测抛物线轨迹,然后再将球投出;射水鱼的捕猎行 为是针对特定方位喷射水柱, 将昆虫打下; 载满货物的船过拱桥时对货物高度进行测量以确 定能否通过拱桥;在立定跳远时怎样才能跳的更远,需考虑离开地面时的角度;农田或草地 灌溉时,利用抛物线知识设计喷水口,根据范围的大小,计算出最适合的喷水半径,既能全 部灌溉,又不会造成水源的浪费。 可见抛物运动在过去和现在生活中的影响既广泛又深入, 在未来也将扮演着越来越重要 的角色。因此,我们的课题研究对学习探究和实际应用都有着积极意义。

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