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2012年高考数学二轮精品复习资料 专题03 数列(教师版)


2012 届高考数学二轮复习资料 数列(教师版) 专题三 数列(教师版)
【考纲解读 考纲解读】 考纲解读 1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法, 并能根据递推公式写出数列的前几项. 2.理解等差数列的概念, 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式, 并能运用公式解答 简单的问题. 3.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解决 简单的问题. 【考点预测 考点预测】 考点预测 1.等差(比)数列的基本知识是必考内容,这类问题既有选择题、填空题,也有解答题;难 度易、中、难三类皆有. 2.数列中 an 与 Sn 之间的互化关系也是高考的一个热点. 3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到,解答试题时 要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等. 因此复习中应注意: 1.数列是一种特殊的函数, 学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、 n 项和公式 前 等. 2.运用方程的思想解等差(比)数列,是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量 a1、d(或 q) ,掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来简化运 算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面,如等比数列求和要注意 q=1 和 q≠1 两种情况等等. 4.等价转化是数学复习中常常运用的,数列也不例外.如 an 与 Sn 的转化;将一些数列转化成 等差(比)数列来解决等.复习时,要及时总结归纳. 5.深刻理解等差(比)数列的定义,能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的 关键. 6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数

形结合法,养成良好的学习习惯,定能达到事半功倍的效果. 7.数列应用题将是命题的热点,这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 【要点梳理 要点梳理】 要点梳理 1.证明数列 {an } 是等差数列的两种基本方法: (1)定义法: an +1 ? an = d 为常数; (2) 等差中项法: 2an = an +1 + an ?1 ( n ≥ 2) . 2.证明数列 {an } 是等比数列的两种基本方法: (1)定义法: 等差中项法: an = an +1 ? an ?1 (n ≥ 2) .
2

an +1 = q (非零常数); (2) an

3.常用性质:(1)等差数列 {an } 中,若 m + n = p + q ,则 am + an = a p + aq ; (2)等比数列 {an } 中,若 m + n = p + q ,则 am ? an = a p ? aq . 4.求和: (1)等差等比数列,用其前 n 项和求出; (2)掌握几种常见的求和方法:错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法; (3)掌握等差等比数列前 n 项和的常用性质. 考点在线】 【考点在线】 考点 1 等差等比数列的概念及性质

在等差、等比数列中,已知五个元素 a1 , a n , n,d 或 q , Sn 中的任意三个,运用方程的思想, 便可求出其余两个, “知三求二” 本着化多为少的原则, 即 。 解题时需抓住首项 a 1 和公差 (或 公比 q ) 。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如 (1)等差数列 {an } 中,若 m + n = p + q ,则 a m + a n = a p + a q ;等比数列 {a n } 中,若

m + n = p + q ,则 a m a n = a p a q .
(2)等差数列 {an } 中,Sn ,S2n ? Sn ,S3n ? S2n ,LSkn ? Sk( n ?1) ,L 成等差数列。其中 Sn 是等差数列的 前 n 项和;等比数列 {an } 中( q ≠ ?1 ) Sn ,S2n ? Sn ,S3n ? S2n ,L Skn ? Sk ( n ?1) ,L 成等比数列。其中 ,

Sn 是等比数列的前 n 项和;
(3)在等差数列 {an } 中,项数 n 成等差的项 a n 也称等差数列.

(4)在等差数列 {an } 中, S2n ?1 = ( 2n ? 1) a n ; S 2 n = n ( a n + a n + 1 ) . 在复习时,要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体 思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用. 11)在等差数列 {an } 中,a3 + a7 = 37 , a2 + a4 + a6 + a8 = 则 例 1. (2011 年高考重庆卷理科 11) . 【答案】74 答案】 【解析】 a2 + a8 = a4 + a6 = a3 + a7 = 37 ,故 a2 + a4 + a6 + a8 = 2 × 37 = 74 解析】 【名师点睛】本题考查等差数列的性质. 名师点睛】 【备考提示】: 备考提示】:熟练掌握等差等比数列的概念与性质是解答好本类题的关键. 】:

考点 2 数列的递推关系式的理解与应用 在解答给出的递推关系式的数列问题时,要对其关系式进行适当的变形 ,转化为常见的 类型进行解题。如“逐差法”若 a n ? a n ?1 = n, 且 a1 = 1 ;我们可把各个差列出来进行求和, 可得到数列 {a n } 的通项.
a n = ( a n ? a n ?1 ) + ( a n ?1 ? a n ? 2 ) + L + ( a 2 ? a1 ) + a1 = n + ( n ? 1) + L + 2 + 1 =

n ( n + 1) . 2

再看“逐商法”即 a n +1 = n + 1 且 a1 = 1 ,可把各个商列出来求积。 an
an = a n a n ?1 a L 2 a1 = n ( n ? 1)( n ? 2 )L 2 1 = n! a n ?1 a n ? 2 a1

另外可以变形转化为等差数列与等比数列,利用等差数列与等比数列的性质解决问题. 2.( 9)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1, an+1 =3Sn(n ≥1),则 例 2.(2011 年高考四川卷文科 9) a6=( )
4

(A)3 ×4

(B)3 × 4 +1

4

(C) 4

4

(D)4 +1

4

【答案】A 答案】 【解析】由题意,得 a2=3a1=3.当 n ≥1 时,an+1 =3Sn(n ≥1) 解析】
4

①,所以 an+2 =3Sn+1 ②,

②-①得 an+2 = 4an+1 ,故从第二项起数列等比数列,则 a6=3 ×4 . 【名师点睛】本小题主要考查 a n 与 Sn 的关系: a = ?S1 名师点睛】 ? n
?Sn ? Sn ?1 n ≥ 2 n=1 ,数列前 n 项和 S 和通 n

项 a n 是数列中两个重要的量,在运用它们的关系式 a n = Sn ? Sn ?1 时,一定要注意条件 n ≥ 2 , 求通项时一定要验证 a1 是否适合。解决含 a n 与 Sn 的式子问题时,通常转化为只含 a n 或者 转化为只 Sn 的式子. :递推数列也是高考的内容之一,要熟练此类题的解法,这是高考的热点. 【备考提示】 备考提示】 : 2.( 5)若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为( 练习 2.(2011 年高考辽宁卷文科 5) (A)2 【答案】B 答案】 【解析】 解析】设公比是 q,根据题意 a1a2=16 ①,a2a3=162 ②,②÷①,得 q =16 .因为 a12q=16>0, a12>0,则 q>0,q=4. 考点 3 数列的通项公式 a n 与前 n 项和公式的应用 等差、等比数列的前 n 项和公式要深刻理解,等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函
n , 数 . 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式 Sn = a1 (1 ? q ) = a1 ? a1 q n ( q ≠ 1 ) 因 此 可 以 改 写 为



[Z

(B)4

(C)8

(D)16

2

1? q

1? q

1? q

Sn = aq n + b (a + b = 0) 是关于 n 的指数函数,当 q = 1 时, Sn = na1 .
13)设 其中 a1 , a 3 , a 5 , a 7 成公比为 q 的等比 例 3.(2011 年高考江苏卷 13) 1 ≤ a1 ≤ a 2 ≤ L ≤ a 7 , (2011 数列, a 2 , a 4 , a 6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是 【答案】 3 3 答案】 【解析】由题意: 1 = a1 ≤ a2 ≤ a1q ≤ a2 + 1 ≤ a1q ≤ a2 + 2 ≤ a1q , 解析】
2 3

.

∴ a2 ≤ q ≤ a2 + 1, a2 + 1 ≤ q 2 ≤ a2 + 2

【答案】A 答案】
3 【解析】通过 8a2 + a5 = 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a 2 + a 2 q = 0 ,解得 q =-2,带入 解析】

所求式可知答案选 A, 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式. 考点 4. 数列求和 (山东省济南市 月高三教学质量调研 教学质量调研理科 例 4. (山东省济南市 2011 年 2 月高三教学质量调研理科 20 题)

a S b 已知 {an } 为等比数列, 1 = 1, a5 = 256 ; n 为等差数列 {bn } 的前 n 项和, 1 = 2, 5S5 = 2 S8 .
(1) 求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2) 设 Tn = a1b1 + a2b2 + L anbn ,求 Tn . 【解析】 (1) 设 {an } 的公比为 q ,由 a5 = a1q ,得 q = 4. 所以 an = 4 .
4 n ?1

设 {bn } 的公差为 d ,由 5S5 = 2 S8 得 d = 所以 bn = b1 ( n ? 1) d = 3n ? 1. (2)

3 3 a1 = × 2 = 3 , 2 2

Tn = 1× 2 + 4 × 5 + 4 × 8L + 4n ?1 ( 3n ? 1) ①

4Tn =

4 × 2 + 42 × 5 + L + 4n ( 3n ? 1) ②

②-①得: 3Tn = ?2 ? 3 4 + 42 + ... + 4n ?1 + 4n ( 3n ? 1) = 2 + ( 3n ? 2 ) ? 4n.

(

)

所以 Tn = ? n ?

? ?

2? n 2 ??4 + . 3? 3

本小题主要考查等比等差数列的通项公式及前 n 项和公式、 数列求和等基础知 【名师点睛】 名师点睛】 识,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力. :熟练数列的求和方法等基础知识是解答好本类题目的关键. 【备考提示】 备考提示】 : 18) 练习 4. (2010 年高考山东卷文科 18) 已知等差数列 {an } 满足: a3 = 7 , a5 + a7 = 26 . {an } 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn =

1 ( n ∈ N + ),求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d,因为 a3 = 7 , a5 + a7 = 26 ,所以有 【解析】 解析】

考点 5 等差、等比数列的综合应用 等差、 解综合题要总揽全局, 尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件, 在后面求解的 过程中适时应用. 19)已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项 a1 = a ( a ∈ R ), 例 5. . (2011 年高考浙江卷理科 19) 设数列的前 n 项和为 S n , 且

1 1 1 , , 成等比数列 (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式及 S n(Ⅱ) a1 a2 a4

记 An =

1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + ,Bn = + + + ... + , n ≥ 2 时, 当 试比较 An 与 Bn S1 S 2 S3 Sn a1 a2 a22 a2 n

的大小.[

当 n ≥ 2 时, 2 = Cn + Cn + Cn + L + Cn > n + 1 即 1 ?
2 0 1 2 n

1 1 < 1? n ; n +1 2

所以当 a > 0 时, An < Bn ;当 a < 0 时, An > Bn . 本小题主要考查等差等比数列的通项与前 n 项和等基本知识, 考查逻辑思维能 【名师点睛】 名师点睛】 力、分析问题和解决问题的能力. :熟练掌握等差等比数列的基础知识是解决本类问题的关键. 【备考提示】 备考提示】 : 5.( 练习 5.(2011 年高考天津卷文科 20) 已知数列 {an } 与 {bn } 满足 bn +1an + bn an +1 = ( ?2) + 1 , bn =
n

3 + (?1) n ?1 , n ∈ N ? ,且 a1 = 2 . 2

的值; (Ⅰ)求 a2 , a3 的值; 是等比数列; (Ⅱ)设 cn = a2 n +1 ? a2 n ?1 , n ∈ N ? ,证明 {cn } 是等比数列; 项和, (Ⅲ)设 Sn 为 {an } 的前 n 项和,证明

S S S1 S 2 1 + + L + 2 n ?1 + 2 n ≤ n ? (n ∈ N ? ) . a1 a2 a2 n ?1 a2 n 3

(Ⅰ)由 bn = 【解析】 解析】

3 + (?1) n ?1 , n ∈ N ? ,可得 2

?2, n是奇数 n bn = ? , bn +1an + bn an +1 = ( ?2) + 1 , ?1, n是偶数

当 n=1 时, a1 + 2a2 = ?1, 由 a1 = 2 ,得 a2 = ? 当 n=2 时, 2a2 + a3 = 5, 可得 a3 = 8 . (Ⅱ)证明:对任意 n ∈ N ? , a2 n ?1 + 2a2 n = ?2

3 ; 2

2 n ?1

+ 1 --------①

2a2 n + a2 n +1 = 2 2 n + 1 ---------------②
②-①得: a2 n +1 ? a2 n ?1 = 3 × 2
2 n ?1

,即 cn = 3 × 2
?

2 n ?1

,于是

cn +1 = 4 ,所以 {cn } 是等比数列. cn

(Ⅲ)证明: a1 = 2 ,由(Ⅱ)知,当 k ∈ N 且 k ≥ 2 时, a2 k ?1 = a1 + ( a3 ? a1 ) + ( a5 ? a3 ) + L + ( a2 k ?1 ? a2 k ?3 ) =2+3(2+ 23 + 25 + L + 22 k ?3 )=2+ 3 × 由①得 2
2 k ?1

2(1 ? 4 k ?1 ) = 22 k ?1 ,故对任意 k ∈ N ? , , 1? 4

1 ? 22 k ?1 , k ∈ N ? , 2 k 因此, S 2 k = ( a1 + a2 ) + ( a3 + a4 ) + L + ( a2 k ?1 + a2 k ) = ,于是 2 k ? 1 2 k ?1 S 2 k ?1 = S 2 k ? a2 k = +2 , 2 k ? 1 2 k ?1 k +2 S 2 k ?1 S 2 k k ? 1 + 22 k k 1 k 2 2 故 + = + = ? 2k = 1? k ? k k , 2k 2 k ?1 1 2 2 2 ?1 4 4 (4 ? 1) a2 k ?1 a2 k ? 22 k ?1 2

+ 2a2 k = ?2 2 k ?1 + 1, 所以 a2 k =

所以

S S S1 S 2 1 + + L + 2 n ?1 + 2 n ≤ n ? (n ∈ N ? ) . a1 a2 a2 n ?1 a2 n 3

易错专区】 【易错专区】 问题: 问题:已知 Sn ,求 an 时,易忽视 n = 1 的情况 求 易忽视 21) 例. (2010 年高考上海卷文科 21) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n = n ? 5a n ?85 , n ∈ N (1)证明: {an ? 1} 是等比数列; (2)求数列 {S n } 的通项公式,并求出使得 S n +1 > S n 成立的最小正整数 n .
*

【考题回放 考题回放】 考题回放 1.(2011 年 高 考 安 徽 卷 文 科 7) 若 数 列 an } 的 通 项 公 式 是 an = ( ?1)g(3n ? 2) , 则 (2011

{

a1 + a2 + L a10 = (
(A) 15 【答案】A (B) 12

) (C )

?12

(D) ?15

【解析】法一:分别求出前 10 项相加即可得出结论; 法二: a1 + a2 = a3 + a4 = L = a9 + a10 = 3 ,故 a1 + a2 + L a10 = 3× 5 = 15 .故选 A. 2. (2011 年高考江西卷文科 5) 5)设{ an }为等差数列,公差 d = -2, Sn 为其前 n 项和.若

S10 = S11 ,则 a1 =(
A.18 B.20 C.22

) D.24

【答案】B 【解析】

Q S10 = S11 ,∴ a11 = 0

a11 = a1 + 10d ,∴ a1 = 20

.

3. (2011 年高考江西卷理科 5)已知数列{ an }的前 n 项和 S n 满足: S n + S m = S n + m ,且 年高考江西 江西卷理科

a1 =1.那么 a10 =(
A.1 B.9

) C.10 D.55

【答案】A 【解析】因为 S n + S m = S n + m ,所以令 n = m = 1 ,可得 S 2 = 2 S1 = 2 ;令 n = 1, m = 2 ,可得

S3 = S1 + S 2 = 3 ;同理可得 S 4 = 2 S 2 = 4 , S5 = S 2 + S3 = 5 , S9 = S 4 + S5 = 9 , S10 = 2 S5 = 10 ,所以 a10 = S10 ? S9 = 1 ,故选 A.
4. (2011 年 高 考 四 川 卷 理 科 8) 数 列 {an } 的 首 项 为 3 , {bn } 为等差数列且

bn = an +1 ? an (n ∈ N *) .若则 b3 = ?2 , b10 = 12 ,则 a8 = (
(A)0 【答案】B 【解析】由已知知 bn = 2n ? 8, an +1 ? an = 2n ? 8, 由叠加法 (B)3 (C)8 (D)11

)

(a2 ? a1 ) + (a3 ? a2 ) + L + (a8 ? a7 ) = ?6 + ?4 + ?2 + 0 + 2 + 4 + 6 = 0 ? a8 = a1 = 3 .
5. 2010 年高考全国 Ⅰ 卷文科 4 ) 已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 =5, ( 年高考全国Ⅰ

a7 a8 a9 =10,则 a4 a5 a6 =(
(A) 5 2 【答案】A (B) 7 (C) 6

) (D) 4 2

【解析】由等比数列的性质知 a1a2 a3 = ( a1a3 ) a2 = a2 = 5 , a7 a8 a9 = ( a7 a9 ) a8 = a8 = 10,
3 3

所以 a2 a8 = 50 3 ,所以 a4 a5 a6 = ( a4 a6 ) a5 = a5 = ( a2 a8 ) = (50 6 ) = 5 2 .
3 3 3

1

1

6. 2010 年高考全国卷Ⅱ文科 6)如果等差数列 {an } 中, a3 + a4 + a5 =12,那么 a1 + a2 +?… ( 年高考全国卷Ⅱ ? + a7 =( (A)14 【答案】C C ) (B) 21 (C) 28 (D) 35

1 a1 + a2 + L + a7 = × 7 × (a1 + a7 ) = 7 a4 = 28 a + a4 + a5 = 12 a =4 2 解析】 【解析】∵ 3 ,∴ 4
7. 2009 年高考安徽卷理科第 5 题) ( 已知 {an } 为等差数列, 1 + a3 + a5 =105, 2 + a4 + a6 =99, a a 以 Sn 表示 {an } 的前 n 项和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是 (
高.



【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q 2 ? a1q 8 = 2 a1q 4 ,即 q 2 = 2 ,因为等比数列 {an } 的公比为 正数,所以 q =

(

)

2 ,故 a1 =

a2 1 2 ,选 B = = q 2 2

9.2009 年高考湖南卷文科第 3 题) Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和, ( 设 已知 a2 = 3 , 6 = 11 , a 则 S7 等于( A.13 【答案】C 【解析】 S7 = 或由 ? ) B.35 C.49 D. 63

7(a1 + a7 ) 7(a2 + a6 ) 7(3 + 11) = = = 49. 故选 C. 2 2 2

?a2 = a1 + d = 3 ?a = 1 ?? 1 , a7 = 1 + 6 × 2 = 13. ?a6 = a1 + 5d = 11 ?d = 2

7(a1 + a7 ) 7(1 + 13) = = 49. 故选 C. 2 2 10. (2009 年高考福建卷理科第 3 题)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 =6, a1 =4,
所以 S7 = 则公差 d 等于( A.1 【答案】C 【解析】∵ S3 = 6 = B )

5 3

C.- 2

D3

3 (a1 + a3 ) 且 a3 = a1 + 2d a1 =4 ∴ d=2 .故选 C 2

11. 2009 年高考江西卷理科第 8 题) ( 数列 {an } 的通项 an = n (cos
2

2

nπ nπ ? sin 2 ), 其前 n 3 3

项和为 Sn ,则 S30 为( A. 470 【答案】A 【解析】由于 {cos
2

) B. 490 C. 495 D. 510

nπ nπ ? sin 2 } 以 3 为周期,故 3 3

S30 = (?

12 + 22 4 2 + 52 282 + 292 + 32 ) + (? + 62 ) + L + (? + 302 ) 2 2 2

= ∑ [?
k =1

10

10 (3k ? 2) 2 + (3k ? 1) 2 5 9 ×10 × 11 + (3k ) 2 ] = ∑ [9k ? ] = ? 25 = 470 故选 A 2 2 2 k =1

12.(2011 年高考湖北卷文科 9) ( 9)《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自下 而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的 容积为( A. 1 升 【答案】D 答案】 【解析】设 9 节竹子的容积从上往下依次为 a1,a2,……a9,公差为 d,则有 a1+a2+a3+a4=3, 解析】 a7+a8+a9=4,即 4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得: a5 =
67 ,所以选 B. 66

) B.
67 升 66

C.

47 升 44

D.

37 升 33

13. (2011 年高考湖南卷理科 12) Sn 是等差数列 12)设

{an }(n ∈ N ? ) 的前 n 项和,且 a1 = 1 ,

a4 = 7 ,则 S5 =
【答案】25

.

【解析】 因为 a1

= 1 , a4 = 7 ,所以 d = 2 ,则 S5 = 5a1 +

5× 4 ? d = 25.故填 25 2

14. (2011 年 高 考 广 东 卷 理 科 11) 等 差 数 列 {an } 前 9 项 的 和 等 于 前 4 项 的 和 . 若

a1 = 1, ak + a4 = 0 ,则 k =
【答案】10 答案】

.

【解析】由题得 ? 解析】

4?3 ? 9?8 d = 4+ d 1 ?9 + ∴d = ? 2 2 6 ?1 + (k ? 1)d + 1 + 3d = 0 ?

k = 10 .

2 (n + 1)(n + 5)( )n +1 2 n a 2(n + 1)(n + 5) 3 【解析】 an = n( n + 4)( ) 则 n +1 = = 2 n 3 an 3n(n + 4) n(n + 4)( ) 3
于 是 2( n + 1)( n + 5) ? 3n( n + 4) = ? n 2 + 10 令 ? n + 10 > 0 得 ? 10 < n < 10 , 则
2

an +1 a > 1 , n < 4 时递增, ? n 2 + 10 < 0 得 n > 10 , n +1 < 1 ,n ≥ 4 时递减, n = 4 令 则 故 an an
是最大项,即 k = 4 . 17. (2011 年高考江西卷文科 21) (本小题满分 14 分) (1)已知两个等比数列 {an }, {bn } ,满足 a1 = a (a > 0 ), b1 ? a1 = 1, b2 ? a2 = 2, b3 ? a3 = 3 , 若数列 {an }唯一,求 a 的值; (2) 是否存在两个等比数列 {an }, {bn } , 使得 b1 ? a1 , b2 ? a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成公差 不 为 0
?

的等差数列?若存在,求

{an }, {bn }

的通项公式;若 不 存在,说明理由.
?

【解析】 (1){a n }要唯一,∴ 当公比 q1 ≠ 0 时,由 b1 = 1 + a = 2, b2 = 2 + a 2 , b3 = 3 + a 3 且

b2 = b1b3 ? (2 + aq1 )2 = (1 + a ) 3 + aq12 ? aq12 ? 4aq1 + 3a ? 1 = 0 ,
2

(

)

Q a > 0 ,∴ aq1 ? 4aq1 + 3a ? 1 = 0 最少有一个根(有两个根时,保证仅有一个正根)
2

∴ (4a ) ? 4a (3a ? 1) ≥ 0 ? 4a (a + 1) ≥ 0 ,此时满足条件的 a 有无数多个,不符合。
2

∴ 当 公 比 q1 = 0 时 , 等 比 数 列 {a n } 首 项 为 a , 其 余各 项 均 为常 数 0 ,唯 一 , 此时 由

(2 + aq1 )2 = (1 + a )(3 + aq12 ) ? aq12 ? 4aq1 + 3a ? 1 = 0 ,可推得 3a ? 1 = 0, a = 1 符合
3
综上: a =

1 。 3

(2)假设存在这样的等比数列 {a n } {bn } 公比分别为q 1,q 2 ,则由等差数列的性质可得: , ,

(b2 ? a2 ) + (b3 ? a3 ) = (b1 ? a1 ) + (b4 ? a4 ) ,整理得: (b1 ? b3 )(q2 ? 1) = (a1 ? a3 )(q1 ? 1)
要 使 该 式 成 立 , 则 q2 ? 1 = q1 ? 1 = 0 ? q1 = q2 = 1 或 b1 = b3 = a1 = a 3 = 0 此 时 数 列

b2 ? a2 , b3 ? a3 公差为 0 与题意不符,所以不存在这样的等比数列 {a n }, {bn }.
18. (2011 年高考福建卷文科 17) 17)(本小题满分 12 分)
已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (I)求数列{an}的通项公式; (II)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. 【解析】 (I)设等差数列{an}的公差为 d ,则 an = a1 + ( n ? 1) d ,由 a1 = 1 , a3 = ?3 可得

1 + 2d = ?3 ,解得 d = ?2 ,从而 an = 1 + (n ? 1) × (?2) = 3 ? 2n .
( II ) 由 ( I ) 可 知 an = 3 ? 2n , 所 以 S n =

n[1 + (3 ? 2n)] = 2n ? n 2 , 由 Sk=-35 , 可 得 2

2k ? k 2 = ?35 ,
即 k ? 2k ? 35 = 0 ,解得 k = 7 或 k = ?5 ,又 k ∈ N ,故 k = 7 .
2 ?

19. 2011 年高考湖南卷文科 20) ( 年高考湖南卷文科 20)(本题满分 13 分) 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使用过程中逐年减少, 从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的 价值为上年初的 75%. (I)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (II)设 An =

a1 + a2 + L + an , 若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对 n

M 更新,证明:须在第 9 年初对 M 更新. (I)当 n ≤ 6 时,数列 {an } 是首项为 120,公差为 ?10 的等差数列. 【解析】 解析】

3 3 3 S n = S6 + (a7 + a8 + L + an ) = 570 + 70 × × 4 × [1 ? ( ) n ? 6 ] = 780 ? 210 × ( )n ?6 4 4 4 3 780 ? 210 × ( ) n ? 6 4 . An = n
因为 {an } 是递减数列,所以 { An } 是递减数列,又

3 3 780 ? 210 × ( )8? 6 780 ? 210 × ( )9?6 47 79 4 4 A8 = = 82 > 80, A9 = = 76 < 80, 8 64 9 96
所以须在第 9 年初对 M 更新. 20. (2011 年高考四川卷文科 20) 20)(本小题共 12 分) 已知﹛ an ﹜是以 a 为首项,q 为公比的等比数列, Sn 为它的前 n 项和. (Ⅰ)当 S1 , S3 , S 4 成等差数列时,求 q 的值; (Ⅱ)当 S m , Sn , Si 成等差数列时,求证:对任意自然数 k , am + k , an + k , ai + k 也成等差数列. 解析】 (Ⅰ)当 q = 1 时, S1 = a, S3 = 3a, S 4 = 4a ,因为 S1 , S3 , S 4 成等差数列,所以 【 解析 】

2 × 3a = a + 4a ,解得 a = 0 ,因为 a ≠ 0 ,故 q ≠ 1 ;
当 q ≠ 1 时 , S1 = a, S3 =

a (1 ? q 3 ) a(1 ? q 4 ) , S4 = , 由 S1 , S3 , S 4 成 等 差 数 列 得 1? q 1? q

2a(1 ? q 3 ) a (1 ? q 4 ) 1± 5 =a+ ,得 q 3 ? 2q 2 ? 1 = 0 ,即 ( q ? 1) ( q 2 ? q ? 1) = 0 ,∴ q = . 1? q 1? q 2

21. 2010 年高考天津卷文科 22) ( 22) (本小题满分 14 分) 在数列 {a n } 中, a1 =0,且对任意 k ∈ N , a 2k ?1 , a 2k , a 2k+1 成等差数列,其公差为 2k.
*

(Ⅰ)证明 a 4 , a 5 , a 6 成等比数列; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)记 Tn =

22 32 n2 3 + + + ,证明 < 2n ? Tn ≤ (n ≥ 2) 2 . a2 a3 an 2

解析】 (I)证明:由题设可知, a2 = a1 + 2 = 2 , a3 = a2 + 2 = 4 , a4 = a3 + 4 = 8 , 【 解析 】

a5 = a4 + 4 = 12 , a6 = a5 + 6 = 18 .从而

a6 a5 3 = = ,所以 a4 , a5 , a6 成等比数列. a5 a4 2

(II)解:由题设可得 a2 k +1 ? a2 k ?1 = 4k , k ∈ N * 所以 a2 k +1 ? a1 = ( a2 k +1 ? a2 k ?1 ) + ( a2 k ?1 ? a2 k ?3 ) + ... ( a3 ? a1 )

= 4k + 4 ( k ? 1) + ... + 4 × 1 = 2k ( k + 1) , k ∈ N * .
由 a1 = 0 ,得 a2 k +1 = 2k ( k + 1) ,从而 a2 k = a2 k +1 ? 2k = 2k .
2

? n2 ? 1 n , n为奇数 ? n 2 ( ?1) ? 1 ? 2 所以数列 {an } 的通项公式为 an = ? 2 或写为 an = + ,n∈ N *。 2 4 ? n , n为偶数 ?2 ?

(III)证明:由(II)可知 a2 k +1 = 2k ( k + 1) , a2 k = 2k ,
2

以下分两种情况进行讨论: (1) 当 n 为偶数时,设 n=2m ( m ∈ N *)

k2 若 m = 1 ,则 2n ? ∑ = 2, k = 2 ak
n

若 m ≥ 2 ,则
m ( 2k ) + m?1 ( 2k + 1) = m 4k 2 + m?1 4k 2 + 4k + 1 k2 =∑ ∑ a k =1 a ∑ a ∑ 2k 2 ∑ 2k ( k + 1) k =2 k k =1 k =1 k =1 2k 2 k +1 n 2 2 m ?1 ? m ?1 ? 4 k 2 + 4k 1 ? 1?1 1 ?? = 2m + ∑ ? + ? = 2m + ∑ ? 2 + ? ? ? 2k ( k + 1) ? 2 ? k k ? 1 ?? k =1 ? 2 k ( k + 1) k =1 ? ?

1? 1? 3 1 = 2m + 2 ( m ? 1) + ?1 ? ? = 2n ? ? . 2? m? 2 n
所以 2n ?
n k2 3 1 3 k2 = + ,从而 < 2n ? ∑ < 2, n = 4, 6,8,.... ∑a 2 n 2 k =2 k k = 2 ak n

(2) 当 n 为奇数时,设 n = 2m + 1( m ∈ N *) 。

( 2m + 1) k 2 2 m k 2 ( 2m + 1) 3 1 = 4m ? ? + ∑a =∑a + a 2 2m 2m ( m + 1) k =2 k k =2 k 2 m +1
n 2 2

1 1 3 1 = 4m + ? = 2n ? ? 2 2 ( m ? 1) 2 n +1
所以 2n ?
n k2 3 1 3 k2 = + ,从而 < 2n ? ∑ < 2, n = 3,5, 7,.... ∑ a 2 n +1 2 k =2 k k = 2 ak n

综合(1)和(2)可知,对任意 n ≥ 2, n ∈ N *, 有

3 < 2n ? Tn ≤ 2. 2

22.(2010 年高考北京卷文科 16) (2010 16)(本小题共 13 分) 已知 | an | 为等差数列,且 a3 = ?6 , a6 = 0 。 (Ⅰ)求 | an | 的通项公式; (Ⅱ)若等差数列 | bn | 满足 b1 = ?8 , b2 = a1 + a2 + a3 ,求 | bn | 的前 n 项和公式 (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。 【解析】 解析】

23.(2010 年高考江西卷文科 22) (2010 22)(本小题满分 14 分) (2 正实数数列 {an } 中, a1 = 1 , a2 = 5 ,且 an 2 成等差数列. (1)证明数列 {an } 中有无穷多项为无理数; (2)当 n 为何值时, an 为整数,并求出使 an<200 的所有整数项的和. (1)由已知有: an = 1 + 24( n ? 1) ,从而 an = 1 + 24( n ? 1) , 【解析】证明: 解析】
2

{ }

方法一:取 n ? 1 = 24

2 k ?1

,则 an = 1 + 24 ( k ∈ N ) .
2k *

用反证法证明这些 an 都是无理数. 假设 an = 1 + 24
k 2k

为有理数,则 an 必为正整数,且 an > 24 ,
k k k k

故 an ? 24 ≥ 1 . an + 24 > 1 ,与 ( an ? 24 )( an + 24 ) = 1 矛盾, 所以 an = 1 + 24 ( k ∈ N ) 都是无理数,即数列 {an } 中有无穷多项为
2k *

无理数; 方法二:因为 an +1 = 1 + 24n( n ∈ N ) ,当 n 得末位数字是 3,4,8,9 时,
2

1 + 24n 的末位数字是 3 和 7,它不是整数的平方,也不是既约分数的平
方,故此时 an +1 = 1 + 24n 不是有理数,因这种 n 有无穷多,故这种无

理项 an +1 也有无穷多. (2)要使 an 为整数,由 (an ? 1)( an + 1) = 24( n ? 1) 可知: an ? 1, an + 1 同 为偶数, 且其中一个必为 3 的倍数, 所以有 an ? 1 = 6m 或 an + 1 = 6m 当 an = 6m + 1 时,有 an = 36m + 12m + 1 = 1 + 12m(3m + 1)( m ∈ N )
2 2

又 m(3m + 1) 必为偶数,所以 an = 6m + 1( m ∈ N ) 满足
2 an = 1 + 24(n ? 1) 即 n =

m(3m + 1) + 1(m ∈ N ) 时, an 为整数;同理 2

an = 6m ? 1(m ∈ N * ) 有
2 an = 36m 2 ? 12m + 1 = 1 + 12m(3m ? 1)(m ∈ N * ) 也满足 2 an = 1 + 24(n ? 1) 即 n =

m(3m ? 1) + 1(m ∈ N * ) 时, an 为整数;显然 2

an = 6m ? 1(m ∈ N * ) 和 an = 6m + 1(m ∈ N ) 是数列中的不同项; 所以
当n =

m(3m + 1) m(3m ? 1) + 1(m ∈ N ) 和 n = + 1(m ∈ N * ) 时, an 为 2 2

整数;由 an = 6m + 1 < 200( m ∈ N ) 有 0 ≤ m ≤ 33 , 由 an = 6m ? 1 < 200( m ∈ N ) 有 1 ≤ m ≤ 33 .
*

设 an 中满足 an < 200 的所有整数项的和为 S ,则

S = (5 + 11 + ??? + 197) + (1 + 7 + 13 + ??? + 199) = 5 + 197 1 + 199 × 33 + × 34 = 6733 . 2 2

24. (2010 年高考浙江卷文科 19) (2010 19)(本题满分 14 分)设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5 S6 +15=0. (Ⅰ)若 S5 =5,求 S6 及 a1; (Ⅱ)求 d 的取值范围. 【解析】(Ⅰ)解:由题意知 S6= 解析】

-15 =-3, S5

A6=S6-S5=-8 所以 ?

?5a1 + 10d = 5, 解得 a1=7,所以 S6= -3,a1=7 ?a 1 +5d = ?8.

(Ⅱ)解:因为 S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2a12+9da1+10d2+1=0.

【解析】通过 8a2 + a5 = 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a 2 + a 2 q 3 = 0 ,解得 q =-2,带入 所求式可知答案选 A, 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 2.(2010 年高考安徽卷文科 5) (2010 5)设数列 {an } 的前 n 项和 S n = n ,则 a8 的值为( (2
2

)

(A) 15 【答案】A

(B) 16

(C)

49

(D)64

【解析】 a8 = S8 ? S 7 = 64 ? 49 = 15 . 3. 2010 年高考山东卷文科 7)设 {an } 是首项大于零的等比数列,则“ a1 < a2 ”是“数 ( 列 {an } 是递增数列”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 【答案】C 【解析】 若已知 a1 <a 2 , 则设数列 {a n } 的公比为 q , 因为 a1 <a 2 , 所以有 a1 <a1q , 解得 q>1, 又 a1 >0 ,所以数列 {a n } 是递增数列;反之,若数列 {a n } 是递增数列,则公比 q>1 且 a1 >0 , 所以 a1 <a1q ,即 a1 <a 2 ,所以 a1 <a 2 是数列 {a n } 是递增数列的充分必要条件。 4.(2010 年高考江西卷文科 7) .(2010 7)等比数列 {an } 中, a1 = 1 , a5 = ?8a2 , a5>a2 ,则 an = A. ( ?2) n?1 B. ?( ?2) n?1 C. ( ?2) n D. ?( ?2) n ) (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

5. 2010 年高考辽宁卷文科 3 )设 Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和,已知 3S3 = a4 ? 2 , (

3S 2 = a3 ? 2 ,则公比 q = (
(A)3 【答案】B

) (B)4 (C)5 (D)6

【解析】两式相减得, 3a3 = a4 ? a3 , a4 = 4a3 ,∴ q =

a4 = 4. a3

6.2010 年高考广东卷文科 4) ( . 已知数列{ an }为等比数列, n 是它的前 n 项和, a2·a3 S 若 =2a1, 且 a4 与 2a7 的等差中项为 A.35 B.33

5 ,则 S5= ( 4
w

)

C.31

D.29

7. 2010 年高考重庆卷文科 2)在等差数列 {an } 中, a1 + a9 = 10 ,则 a5 的值为( ( (A)5 (C)8 【答案】A 【解析】由角标性质得 a1 + a9 = 2a5 ,所以 a5 =5. 8. 2010 年高考湖北卷文科 7)已知等比数列{ am }中,各项都是正数,且 a1 , . ( 年高考湖北卷文科 (B)6 (D)10

)

1 a3 , 2a2 成 2

等差数列,则

a9 + a10 =( a7 + a8

)

A. 1 + 2 【答案】C

B. 1 ? 2

C. 3 + 2 2

D3? 2 2

二.填空题: 填空题: 13. 2009 年高考北京卷文科第 10 题)若数列 {an } 满足: a1 = 1, an +1 = 2an ( n ∈ N ) ,则 (
?

a5 =
【答案】255 答案】

;前 8 项的和 S8 =

.(用数字作答)

【解析】 a1 = 1, a2 = 2a1 = 2, a3 = 2a2 4, a4 = 2a3 = 8, a5 = 2a4 = 16 , 解析】 易知 S8 =

28 ? 1 = 255 . 2 ?1

14. 2010 年高考辽宁卷文科 14)设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S3 = 3,S6 = 24 , . ( 14) 则 a9 = 【答案】15 答案】 。

3× 2 ? ? S3 = 3a1 + 2 d = 3 ? a = ?1 ? 解析】 ,解得 ? 1 ,∴ a9 = a1 + 8d = 15. 【解析】由 ? ?d = 2 ? S = 6a + 6 × 5 d = 24 1 ? 6 2 ?
15. 浙江省温州市 2011 年高三第一次适应性测试理科)已知数列 {an } 是公比为 q 的等比数 ( 年高三第一次适应性测试理科) 列,集合 A = {a1 , a2 ,L , a10 } ,从 A 中选出 4 个不同的数,使这 4 个数成等比数列,这样得 到 4 个数的不同的等比数列共有 【答案】 24 答案】 【解析】以公比为 q 的等比数列有 a1 , a2 , a3 , a4 , … a7 , a8 , a9 , a10 共 7 组; 解析】 .

以公比为 q 的等比数列有 a1 , a3 , a5 , a7 , … a4 , a6 , a8 , a10 共 4 组;
3 以公比为 q 的等比数列有 a1 , a4 , a7 , a10 共 1 组.

2

再考虑公比分别为

1 1 1 , , 的情形,可得得到 4 个数的不同的等比数列共有 24 个. q q 2 q3

三.解答题: 解答题: 17.(2009 年高考山东卷理科第 20 题) ( (本小题满分 12 分) 等 比 数 列 { an } 的 前 n 项 和 为 S n , 已 知 对 任 意 的 n ∈ N , 点 ( n , S n ) , 均 在 函 数
+

y = b + r (b > 0且b ≠ 1, b, r均为常数) 的图像上.
x

(Ⅰ)求 r 的值; (文科)(Ⅱ)当 b=2 时,记 bn =

n +1 (n ∈ N ? ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 4 an

(理科)(Ⅱ)当 b=2 时,记

bn = 2(log 2 an + 1)(n ∈ N + ) ,证明:对任意的 n ∈ N + ,不等



b +1 b1 + 1 b2 + 1 · ······ n > n + 1 成立 b1 b2 bn
n

【解析】(Ⅰ) 由题意知: S n = b + r , 解析】

当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = b + r ? (b
n

n ?1

+ r ) = b n ? b n ?1 = (b ? 1)b n ?1 ,

由于 b > 0 且 b ≠ 1, 所以当 n ≥ 2 时, { an }是以 b 为公比的等比数列, 又 a1 = S1 = b + r , a2 = b(b ? 1) ,
n

a2 b(b ? 1) = b, 即 = b, 解得 r = ?1 . a1 b+r
n n ?1

(理科) (Ⅱ)∵ S n = 2 ? 1 ,∴当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = (2 ? 1) ? (2 又当 n = 1 时, a1 = S1 = 2 ? 1 = 1 ,适合上式,∴ an = 2
1

? 1) = 2n ?1 ,
n ?1

n ?1

, bn = 2(log 2 2

+ 1) = 2n ,



b + 1 3 × 5 × 7 × L × (2n + 1) b1 + 1 b2 + 1 ? ?L ? n = n , b1 b2 bn 2 ?1 × 2 × 3 × L × n 3 × 5 × 7 × L × (2n + 1) > n +1 2 n ?1 × 2 × 3 × L × n

下面用数学归纳法来证明不等式:

证明:(1)当 n = 1 时,左边=
?

3 9 = > 2 = 右边,不等式成立. 2 4
3 × 5 × 7 × L × (2k + 1) > k +1 , 2 k ? 1× 2 × 3 × L × k

(2)假设当 n = k ( k ∈ N ) 时,不等式成立,即 则当 n = k + 1 时, 不等式左边=

b + 1 bk +1 + 1 3 5 7 b1 + 1 b2 + 1 2k + 1 2k + 3 · ······ k ? = ? ? ?L ? ? b1 b2 bk bk +1 2 4 6 2k 2k + 2

> k +1?

2k + 3 (2k + 3) 2 4(k + 1) 2 + 4( k + 1) + 1 1 = = = (k + 1) + 1 + > ( k + 1) + 1 2k + 2 4( k + 1) 4( k + 1) 4( k + 1)

所以当 n = k + 1 时,不等式也成立, 综上(1)(2)可知:当 n ∈ N 时,不等式 所以对任意的 n ∈ N ,不等式
? ?

3 × 5 × 7 × L × (2n + 1) > n + 1 恒成立, 2 n ?1 × 2 × 3 × L × n

b +1 b1 + 1 b2 + 1 ? ?L ? n > n + 1 成立. b1 b2 bn
?

(文科)(Ⅱ)由(Ⅰ)知, n ∈ N , an = (b ? 1)b

n ?1

= 2 n ?1 ,所以 bn =

2 3 4 n +1 + 3 + 4 + L + n +1 , 2 2 2 2 2 1 2 3 n +1 n +1 Tn = + 4 + L + n +1 + n + 2 , 3 2 2 2 2 2 1 2 1 1 n +1 n +1 两式相减得: Tn = 2 + + 4 + L + n +1 ? n + 2 3 2 2 2 2 2 2 Tn =

n +1 n +1 = , 4 × 2n ?1 2n +1

1 1 × (1 ? n?1 ) 1 2 n +1 2 = + ? n+ 2 1 2 2 1? 2 3 1 n +1 = ? n+1 ? n + 2 , 4 2 2 3 1 n +1 3 n + 3 故 Tn = ? n ? n +1 = ? n +1 . 2 2 2 2 2

(Ⅱ)因为

bn bn+ 1 T ? Tn 1 1 1 ) , …10 分 = = n+1 = ( ? Tn Tn +1 qTn Tn +1 qTn Tn + 1 2 Tn Tn + 1 bn b b 1 1 1 1 1 1 1 所以 1 + 2 + L + ) = ( ? + ? +L+ ? T1T2 T2 T3 Tn Tn + 1 T n Tn + 1 2 T1 T2 T2 T3

=

1 1 1 1 1 ( ? ) = (1 ? n+ 1 ). 2 T1 Tn +1 2 2 ?1

…14 分

19. 天津市南开中学 2011 年 3 月高三月考文科)已知数列 {a n } 的前以项和为 S n , 且对于 ( 月高三月考文科) 任意的 n ∈ N *, 恒有 S n = 2an ? n, 设 bn = log 2 ( a n + 1) ? (1)求证:数列 {a n + 1} 是等比数列;(2)求数列 {a n }, {bn } 的通项公式 a n 和 bn ;

2bn 4 (3)若 cn = , 证明: c1 + c2 + L + cn < ? an an +1 3
【解析】 (1)当 n=l 时, S1 = 2a1 ? 1, 得 解析】 当 n ≥ 2 时, S n ?1 = 2an ?1 ? ( n ? 1), 两式相减得:

an = 2an ? 2an ?1 ? 1, ∴ an = 2an ?1 + 1. ∴ an + 1 = 2an ?1 + 2 = 2(an ?1 + 1), ∴{an + 1} 是以 a1 + 1 = 2 为首项,2 为公比的等比数列.……………………4 分

(2)由(1)得 an + 1 = 2 2

n -1

= 2n , ∴ an = 2n ? 1, n ∈ N * .

∴ bn = log 2 (an + 1) = log 2 2 n = n, n ∈ N * . ……………………………………8 分

2n 2n +1 (3)Cn = a a , cn +1 = a a , 由 {an } 为正项数列,所以 {cn } 也为正项数列, n n +1 ?1 n + 2
n 从而 c+1 = a n = n + 2 < = , 所以数列 {cn } 递减, n n+ 2 2 ? 1 2n+ 2 ? 4 2

c

2a

2(2n ? 1)

2(2 n ? 1)

1

1 1 ? ( )n 1 1 2 1 n ?1 2 c < 4 ? …12 分 所以 c1 + c2 + L + cn < c1 + c1 + ( ) c1 + L + ( ) c1 = 1 1 2 2 2 3 1? 2
另证:由 cn =

2n 1 1 = n ? n +1 , n ?1)(2n +1 ?1) (2 2 ?1 2 ?1 1 1 1 1 1 1 ? 2 )+( 2 ? 3 ) +L + n ? n +1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1
1

所以 c1 + c2 + L + cn = (

= 1?

1 2
n +1

?1

<1<

4 ? 3

20.(天津市红桥区 2011 届高三一模文科 天津市红桥区 届高三一模文科)(本题满分 14 分) 设 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 bn = 2 ? 2 S n ; 数 列 {an } 为 等 差 数 列 , 且

a5 = 14, a7 = 20 。
(1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)若 cn = an ? bn ( n = 1, 2,3…), Tn 为数列 {cn } 的前 n 项和,求证: Tn < (1)由 bn = 2 ? 2 S n , 令n = 1, 则b1 = 2 ? 2 S1 , 又S1 = b1 , 所以b1 = 【解析】 解析】

7 。 2

2 , 3

2 9 当n ≥ 2时,由bn = 2 ? 2 S n , 可得bn ? bn ?1 = ?2( S n ? S n ?1 ) = ?2bn b2 = 2 ? 2(b1 + b2 ), 则b2 = 即 bn 1 = bn ?1 3

2 1 1 所以{bn } 是以b1 = 为首项, 为公比的等比数列,于是bn = 2 ? n 3 3 3
(2)数列 {an } 为等差数列,公差 d = 从而 cn = an ? bn = 2(3n ? 1) ?

1 (a7 ? a5 ) = 3, 可得an = 3n ? 1 2

1 3n

1 1 1 1 ∴Tn = 2[2 ? + 5 ? 2 + 8 ? 3 + … + (3n ? 1) ? n ], 3 3 3 3 1 1 1 1 1 Tn = 2[ 2 ? 2 + 5 ? 3 + … + (3n ? 4) ? n + (3n ? 1) ? n +1 ] 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 d 1 ∴ Tn = 2[3 ? + 3 ? 2 + 3 ? 3 + … + 3 ? n ? ? (3n ? 1) ? n +1 ] 3 3 3 3 3 3 3
从而 Tn =

7 7 1 n 7 ? ? n ? n ?1 < 2 2 3 3 2

21. (山东省济南市 2011 年 2 月高三教学质量调研文科 月高三教学质量调研文科) 教学质量调研文科 已知{an}是递增的等差数列,满足 a2·a4=3,a1+a5=4. (1) 求数列{an}的通项公式和前 n 项和公式; (2) 设数列{bn}对 n∈N*均有

b b1 b2 + 2 + L + n = an +1 成立,求数列{bn}的通项公式. 3 3 3n

22. (山东省青岛市 2011 年 3 月高考第一次模拟理科)已知数列 {bn } 满足 bn+ 1 = 月高考第一次模拟理科) 且 b1 =

1 1 bn + , 2 4

7 , Tn 为 {bn } 的前 n 项和. 2 1 (Ⅰ)求证:数列 {bn - } 是等比数列,并求 {bn } 的通项公式; 2
*

(Ⅱ)如果对任意 n ? N ,不等式

12k ? 2n 7 恒成立,求实数 k 的取值范围. 12 + n - 2Tn

【解析】(Ⅰ) 对任意 n ∈ N ,都有 bn +1 = 解析】
*

1 1 1 1 1 bn + ,所以 bn +1 ? = (bn ? ) 2 4 2 2 2 1 1 1 则 {bn ? } 成等比数列,首项为 b1 ? = 3 ,公比为 …………2 分 2 2 2

所以 bn ?

1 1 1 1 = 3 × ( )n ?1 , bn = 3 × ( ) n ?1 + …………4 分 2 2 2 2 1 2
n ?1

(Ⅱ) 因为 bn = 3 × ( )

+

1 2

1 ) 1 1 1 n 2n + n = 6(1 ? 1 ) + n …………6 分 所以 Tn = 3(1 + + 2 + ... + n ?1 ) + = 1 2 2 2 2 2 2n 2 1? 2 12k 2n ? 7 * 因为不等式 ≥ 2n ? 7 ,化简得 k ≥ 对任意 n ∈ N 恒成立…………7 分 n (12 + n ? 2Tn ) 2 3(1 ?
设 cn =

2n ? 7 2(n + 1) ? 7 2n ? 7 9 ? 2n ,则 cn +1 ? cn = ? = n +1 …………8 分 n 2 2n +1 2n 2

当 n ≥ 5 , cn +1 ≤ cn , {cn } 为单调递减数列,当 1 ≤ n < 5 , cn +1 > cn , {cn } 为单调递增数列

1 3 3 = c4 < c5 = ,所以, n = 5 时, cn 取得最大值 …………11 分 16 32 32 2n ? 7 3 * 所以, 要使 k ≥ 对任意 n ∈ N 恒成立, k ≥ …………12 分 n 2 32


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